1、 第一章一元二次方程单元培优测试卷第一章一元二次方程单元培优测试卷 一、选择题（共一、选择题（共 1010 题；共题；共 3030 分）分） 1.下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A. B.ax 2bxc0 C.（x1）（x 2）1 D.3x22xy5y20 2.用配方法解一元二次方程 x 2-8x+11=0，此方程可化为( ) A.(x-4) 2=5 B.(x+4)=5 C.(x-4)=27 D.(x+4)=27 3.一元二次方程 x 22x10 的根的情况为（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.已知一元二次方程 x
2、24x+m0 有一个根为 2，则另一根为（ ） A.4 B.2 C.4 D.2 5.从正方形铁片，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的矩形的面积是 ，则原来的正方形铁片的面积 是（ ） A. B. C. D. 6.三角形的两边长分别为 3 米和 6 米，第三边的长是方程 x 26x+8=0 的一个根，则这个三角形的周长为 （ ） A.11 B.12 C.11 或 13 D.13 7.如果关于 x 的一元二次方程 有两个实数根，那么 的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 8.菱形 ABCD 的一条对角线长为 6，另一条对角线的长为方程 y 22y80 的一个根，则菱形 ABCD 的
3、面积 为（ ） A.10 B.12 C.10 或 12 D.24 9.某公司今年 1 月的营业额为 250 万元，按计划第 1 季度的营业额要达到 900 万元，设该公司 2、3 月的 营业额的月平均增长率为 根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10.若 m 是一元二次方程 x 2-4x-1=0 的一个根，则代数式 4m-m的值为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-22 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 题；共题；共 2424 分）分） 11.若 ，则 _ 12.一元二次方程 的解为_ 13.设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为_ 14.已知关于 x 的一元二次方
4、程 有一个根为 ，则 a 的值为_ 15.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总 数是 21，则每个支干长出_ 16.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大 正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为 1：13，则直角三角形较短的直角边 a 与较长的直角边 b 的 比值为_ 三、解答题（共三、解答题（共 7 7 题；共题；共 6666 分）分） 17.解方程 （1） （2） 18.一个两位数的个位数字与十位数字的和为 9， 并且个位数字与十位数字的平方和为 45， 求这个两位数。 19.已知方程
5、2x 2+3x-4=0 的两实数根为 x 1、x2 ， 不解方程求: （1）x1 2+x 2 2的值; （2）(x1-2)(x2-2) 的值 20.已知关于 x 的方程 x 2+5x-p2=0， （1）求证:无论 p 取何值方程，总有两个不相等的实数根，; （2）设方程两个实数根为 x1、x2 ， 当 x1+x2= x1x2时，求 p 的值 21.如图是一个五边形的空地 ABCDE， B=C=D=90， A=135， 已知 AB=4m， BC=8m， CD=10m， DE=2m， 准备在五边形 ABCDE 内按如图方式设计一个长方形 FGCH 铺设木地板，剩下部分铺设地砖点 F、G、H 分 别
6、在边 AE、BC、CD 上。 （1）求五边形 ABCDE 的面积； （2）若长方形 FGCH 的面积为 35m，求 BG 的长。 （3）若铺设木地板的成本为每平方米 200 元，铺设地砖的成本为每平方米 100 元，投资 7300 元能否完成 地面铺设？通过计算说明。 22.宾馆有 50 间房供游客居住，原定价每间房每天 190 元，当每间房每天定价为 180 元时，宾馆会住满； 当每间房每天的定价每增加 10 元时，就会空闲一间房（物价部门规定，此类宾馆的入住费用不得超过原 定价的 15 倍）。如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 20 元的费用。 （1）如果每间房当天的定价比房间住
7、满时的房价增加 x 元时，宾馆_间房有游客居住（用含 x 的 代数式表示）； （2）当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为 9450 元？ 23.如图，已知直线 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，线段 的长是方程 的一 个根， 请解答下列问题： （1）求点 A，B 的坐标； （2） 直线 交x轴负半轴于点E， 交y轴正半轴于点F， 交直线 于点C 若C是 的中点， ， 反比例函数 图象的一支经过点 C，求 k 的值； （3）在（2）的条件下，过点 C 作 ，垂足为 D，点 M 在直线 上，点 N 在直线 上坐标 平面内是否存在点 P，使以 D，M，N，P 为顶点的四边形是正方形？若存在
8、，请写出点 P 的个数，并直接写 出其中两个点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 答案答案 一、选择题 1.解：A.含有分式，故不是； B.没有说明 a0，则不是； C.是一元二次方程； D.含有两个未知数，故不是； 故答案为：C 2.解：用配方法解一元二次方程 x 2-8x+11=0 移项：x 2-8x=-11 方程两边同时加上 x 系数绝对值一半的平方：x 2-8x+42=-11+42 即： (x-4)=5 故答案为：A 3.解：根据题意（2） 24（1）80， 所以方程有两个不相等的实数根. 故答案为：B. 4.解：设方程的另一个根为 x1 ， 根据题意得：2+x14， 解得：x12.
9、故答案为：D. 5.解：设正方形的边长是 xcm,根据题意得 x(x-2)=48, 解得 (舍去), , 那么原正方形铁片的面积是 88=64cm. 故答案为：D. 6.解：x 26x+8=0，即（x2）（x4）=0， x2=0 或 x4=0， 解得：x=2 或 x=4， 若 x=2，则三角形的三边 2+36，构不成三角形，舍去； 当 x=4 时，这个三角形的周长为 3+4+6=13， 故答案为：D. 7.解：关于 x 的一元二次方程 kx 2-3x+1=0 有两个实数根， =（-3） 2-4k10 且 k0， 解得 k 且 k0， 故答案为：C 8.y 22y80， （y+2）（y4）0，
10、y+20 或 y40， 解得：y2（舍）或 y4， 菱形 ABCD 的面积= 6412， 故答案为：B 9.解：根据题意列方程得： 故答案为：D 10.解：由意义得： m 2-4m-1=0, m 2-4m=1， 4m-m =-1. 故答案为：B. 二、填空题 11.解： 或 - 又 ， 12. 当 x2=0 时,x=2, 当 x20 时,4x=1,x= , 故答案为:x= 或 x=2 13.解：由方程 可知 ， 故答案为： 14. 代入方程得： 解得： 是关于 的一元二次方程 故答案为-1 15.解：设每个支干长出 x 个小支干， 根据题意得：1+x+x 221， 解得：x15（舍去），x24
11、 故答案为：4 个小支干 16.小正方形与大正方形的面积之比为 1：13， 设大正方形的面积是 13， c 2=13， a 2+b2=c2=13， 直角三角形的面积是 =3， 又直角三角形的面积是 ab=3， ab=6， （a+b） 2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+26=13+12=25， a+b=5 则 a、b 是方程 x 25x+6=0 的两个根， 故 b=3，a=2， 故答案是：2:3 三、解答题 17. （1）解：移项得 两边直接开平方得 ， （2）解：移项得 提取公因式得 即 或 解得 ， 18. 解：设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为（9-x）,根据题意得 x
12、2+（9-x）2=45 解之：x1=3，x2=6. 当 x=3 时 9-x=6； 当 x=6 时 9-x=3. 这个两位数为 63 或 36. 19. （1）解：根据题意得 （2）解：由（1）可知 所以： 20. （1）证明: 因为无论 p 取何值时,总有 p 20， 所以，25+ p 20, 所以无论 p 取何值方程，总有两个不相等的实数根， （2）解：由题意得，x1+x2-5 ， x1x2- p 2 因为，x1+x2= x1x2 ， 所以，-5- p 2 所以， . 21. （1）解：如图，过 E、A 分别作 EMBC 于 M，作 ANEM 于 N， 则EAN=AEN=45， AN=EN，
13、 MN=AB，EM=CD， EN=EM-MN=DC-AB=10-4=6(m)， AN=6(m)， S五边形 ABCDE=S梯形 ABME+S长方形 EMCD= (4+10)6+210=62(m 2) （2）解：设 BG=xm，则 FG=(4+x)m，CG=(8-x)m， 根据题意，得(4+x)(8-x)=35， 解得：x1=1，x2=3 BG 的长为 1m 或 3m （3）解：设 BG=ym， 由题意，得 200(4+y)(8-y)+10062-(4+y)(8-y)=7300， 化简，得 y 2-4y-21=0， 解得：y1=7，y2=-3 均不合题意， 投资 7300 元不能完成地面铺设 2
14、2. （1）50- （2）解：根据题意，得：（180+x-20）（50- ）=9450 整理得 x-340 x+14500=0，解得 x1=50，x2=290（2 分）（x2不符合题意，舍去）， 房价定为 230 元 答：当房价定为 230 元时，宾馆当天的利润为 9450 元。 （1）根据题意， 当每间房每天的定价每增加 10 元时，就会空闲一间房 ， 即为空闲的房间，总的房间 为 50，则 为旅客居住房间。 故答案为： . 23. （1）解：线段 的长是方程 的一个根， 解得：x=9 或-2（舍），而点 A 在 x 轴正半轴， A（9，0）， ， B（0， ）； （2）解： ， E（-6，
15、0）， 设直线 AB 的表达式为 y=kx+b，将 A 和 B 代入， 得： ，解得： ， AB 的表达式为： ， 点 C 是 EF 的中点， 点 C 的横坐标为-3，代入 AB 中，y=6， 则 C（-3，6）， 反比例函数 经过点 C， 则 k=-36=-18； （3）解：存在点 P，使以 D，M，N，P 为顶点的四边形是正方形， 如图，共有 5 种情况， 在四边形 DM1P1N1中， M1和点 A 重合， M1（9，0）， 此时 P1（9，12）； 在四边形 DP3BN3中，点 B 和 M 重合， 可知 M 在直线 y=x+3 上， 联立： ， 解得： ， M（1，4）， P3（1，0）， 同理可得：P2（9，-12），P4（-7，4），P5（-15，0）. 故存在点 P 使以 D，M，N，P 为顶点的四边形是正方形， 点 P 的坐标为 P1（9，12），P2（9，-12），P3（1，0），P4（-7，4），P5（-15，0）.
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