1、2019-2020 学年八年级（上）第一次月考数学试卷学年八年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1在数 0、1、2、3中，最小的数是（ ） A0 B1 C2 D3 2若二次根式 + 3有意义，则 x 应满足（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 3下列说法不正确的是（ ） A实数包括正实数、零、负实数 B正整数和负整数统称为整数 C无理数一定是无限小数 D2 是 4 的平方根 4下列各组数，不是勾股数的是（ ） A3，4，5 B6，8，10 C12，16，20 D32，42，52 5做课间操时，小明、小刚和小红三人的相对位置（如
2、图） ，如果用（3，4）表示小明的位 置， （1，3）表示小刚的位置，则小红的位置可表示为（ ） A （0，0） B （0，1） C （1，0） D （1，2） 6如图点 A，B，C 在正方形网格中的格点上，每个小正方形的边长为 1，则下列关于ABC 边长的说法，正确的是（ ） AAB，BC 长均为有理数，AC 长为无理数 BAC 长是有理数，AB，BC 长均为无理数 CAB 长是有理数，AC，BC 长均为无理数 D三边长均为无理数 7若 a216， 3 = 2，则 a+b 的值是（ ） A12 B12 或 4 C12 或4 D12 或 4 8 如图： 一个长、 宽、 高分别为 4cm、 3c
3、m、 12cm 的长方体盒子能容下的最长木棒长为 （ ） A11cm B12cm C13cm D14cm 9如图，在 22 的正方形网格中，每个小正方形边长为 1，点 A、B、C 均为格点，以点 A 为圆心， AB 长为半径作弧， 交格线于点 D， 则以 B、 C、 D 为顶点的三角形面积为 （ ） A1 4 B1 5 C31 2 D23 2 10在我国古代数学著作九章算术的第九章勾股中记载了这样的一个问题： “今天 有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（AD 和 BC） ， 门边缘 D，C 两点到门槛 AB 的距离是 1 尺，两扇门的间隙 CD 为 2 寸，则门宽
4、 AB 长是 （ ）寸 （1 尺10 寸） A101 B100 C52 D96 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分）分） 1116 + 27 3 = 12比较大小：33 27（填“”或“” ） 13如图，在ABC 中，ABC90，AB2BC2，在 AC 上截取 CDCB在 AB 上截 取 APAD，则 = 14 如图， ABCD 是长方形地面， 长 AB10m， 宽 AD5m， 中间竖有一堵砖墙高 MN1m 一 只蚂蚱从点 A 爬到点 C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m 15如图，长方形 ABCD 中，AB8，BC12，点 E 是
5、边 BC 上一点，BE5，点 F 是射线 BA 上一动点，连接 EF，将BEF 沿着 EF 折叠，使 B 点的对应点 P 落在长方形边的垂 直平分线上，连接 BP，则 BP 的长是 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16 （16 分）计算： （1）5032 8 8 3 （2）3 (24 21 6) （3）3 + (23)2 (48 1 2 6) （4）(3 22)2(11 + 46) (23 2)(32 + 3) 17 （7 分）实数与数轴上的点成一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来 （1）如图，A 点表示的数是 ； （2）请你借助刻度尺、三角板、圆规等
6、作图工具，运用合理的方法，在数轴上作出表示 1 5的点（保留作图痕迹，标清数据，不写作法，不另下结论） 18 （7 分）如图，用两个边长为 103的小正方形拼成一个大的正方形 （1）大正方形的边长长度是 ； （2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，使长方形的边与大正大方形的边重合或 平行，能否使剪出的长方形的长宽之比为 3：2，且面积为 400cm2？说明理由 19某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间 t（h）可以用下面的公式来估计：t2= 3 900， 其中 d（km）是雷雨区域的直径 （1） 如果雷雨区域的直径为 6km， 那么这场雷雨大约能持续多长时间？ （结果如有根号， 请保留根号
7、） （2）如果一场雷雨持续了 0.9h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？ 20 如图， 一块铁皮 （图中阴影部分） ， 测得 AB3， BC4， CD12， AD13， B90 求 阴影部分的面积 21 在一棵树的 10 米高的 B 处有两只猴子 一只猴子爬下树走到离树 20 米的池塘的 A 处 另 一只爬到树顶 D 后直按跃到 A 处 距离以直线计算 如果两只猴子所经过的距离相等 则 这棵树高多少米？ 22数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转 化， 数形结合就是把抽象的数学语言、 数量关系与直观的几何图形、 位置关系结合起来， 通过“以形助数”或“以
8、数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题 简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的 （1） 【思想应用】 已知 m， n 均为正实数， 且 m+n2， 求2+ 1 + 2+ 4的最小值 通 过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，AB2，AC1，BD 2，ACAB，BDAB，点 E 是线段 AB 上的动点，且不与端点重合，连接 CE，DE， 设 AEm，BEn， 用含 m 的代数式表示 CE ，用含 n 的代数式表示 DE ； 据此求2+ 1 + 2+ 4的最小值； （2） 【类比应用】根据上述的方法，代数式2+ 25 + ( 16)2+ 49的最小值
9、 是 23 我们新定义一种三角形： 两边平方和等于第三边平方的 4 倍的三角形叫做常态三角形 例 如：某三角形三边长分别是 5，6 和 8，因为 62+82452100，所以这个三角形是常态 三角形 （1）若ABC 三边长分别是 2，5和 4，则此三角形 常态三角形（填“是”或 “不是” ） ； （2） 如图， RtABC中， ACB90， BC6， 点D为AB的中点， 连接CD， CD= 1 2AB， 若 ACD 是常态三角形，求ABC 的面积； （3）若 RtABC 是常态三角形，斜边是 210，则此三角形的两直角边的和 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（
10、每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1在数 0、1、2、3中，最小的数是（ ） A0 B1 C2 D3 【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得 3 201， 四个有理数 0，1，2，3中，最小的数是3 故选：D 2若二次根式 + 3有意义，则 x 应满足（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 【解答】解：由题意知，x+30 解得 x3 故选：B 3下列说法不正确的是（ ） A实数包括正实数、零、负实数 B正整数和负整数统称为整数 C无理数一定是无限小数 D2 是 4 的平方根 【解答】解：A、实数包括正实数、零、负实数，正确； B、正整数、0 和负整数统称为整数，错误； C、无理数一
11、定是无限小数，正确； D、2 是 4 的平方根，正确； 故选：B 4下列各组数，不是勾股数的是（ ） A3，4，5 B6，8，10 C12，16，20 D32，42，52 【解答】解：A、32+4252，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； B、62+82102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； C、122+162202，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； D、92+162252，不能构成直角三角形，故不是勾股数； 故选：D 5做课间操时，小明、小刚和小红三人的相对位置（如图） ，如果用（3，4）表示小明的位 置， （1，3）表示小刚的位置，则小红的位置可表示为（ ） A （
12、0，0） B （0，1） C （1，0） D （1，2） 【解答】解：如图所示：小红的位置可表示为（0，1） 故选：B 6如图点 A，B，C 在正方形网格中的格点上，每个小正方形的边长为 1，则下列关于ABC 边长的说法，正确的是（ ） AAB，BC 长均为有理数，AC 长为无理数 BAC 长是有理数，AB，BC 长均为无理数 CAB 长是有理数，AC，BC 长均为无理数 D三边长均为无理数 【解答】解：由勾股定理得：AC= 32+ 42=5，是有理数，不是无理数； BC= 22+ 32= 13，是无理数； AB= 12+ 52= 26，是无理数， 即网格上的ABC 三边中，AC 长是有理数，
13、AB，BC 长均为无理数， 故选：B 7若 a216， 3 = 2，则 a+b 的值是（ ） A12 B12 或 4 C12 或4 D12 或 4 【解答】解：a216， 3 = 2， a16 =4，b（2）38， a4，b8， a+b4+812 或 a+b4+84 故选：B 8 如图： 一个长、 宽、 高分别为 4cm、 3cm、 12cm 的长方体盒子能容下的最长木棒长为 （ ） A11cm B12cm C13cm D14cm 【解答】解：侧面对角线 BC232+4252， CB5m， AC12m， AB= 122+ 52=13（m） ， 空木箱能放的最大长度为 13m， 故选：C 9如图
14、，在 22 的正方形网格中，每个小正方形边长为 1，点 A、B、C 均为格点，以点 A 为圆心， AB 长为半径作弧， 交格线于点 D， 则以 B、 C、 D 为顶点的三角形面积为 （ ） A1 4 B1 5 C31 2 D23 2 【解答】解：连接 AD， 由勾股定理得，DE= 2 2= 3， CDECED23， BCD 的面积= 1 2 （23）1= 23 2 ， 故选：D 10在我国古代数学著作九章算术的第九章勾股中记载了这样的一个问题： “今天 有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（AD 和 BC） ， 门边缘 D，C 两点到门槛 AB 的距离是 1 尺，两
15、扇门的间隙 CD 为 2 寸，则门宽 AB 长是 （ ）寸 （1 尺10 寸） A101 B100 C52 D96 【解答】解：过点 D 作 DEAB，垂足为 E， 设单门的宽度 AO 是 x 寸，则 AEx1，DE10 寸， 根据勾股定理，得：AD2DE2+AE2， 则 x2102+（x1）2， 解得：x50.5， 故 AB101 寸， 故选：A 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分）分） 1116 + 27 3 = 1 【解答】解：原式431， 故答案为：1 12比较大小：33 27（填“”或“” ） 【解答】解：33 = 27，27
16、= 28， 3327， 故答案为： 13如图，在ABC 中，ABC90，AB2BC2，在 AC 上截取 CDCB在 AB 上截 取 APAD，则 = 51 2 【解答】解：如图所示： 在 RtABC 中，由勾股定理得： = 2+ 2， AB2BC2， AC= 5， 又BCDC，ACAD+CD， AD= 5 1， 又APAD， AP= 5 1， = 51 2 ， 故答案为：51 2 14 如图， ABCD 是长方形地面， 长 AB10m， 宽 AD5m， 中间竖有一堵砖墙高 MN1m 一 只蚂蚱从点 A 爬到点 C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 13 m 【解答】解：如图所示， 将图展开，
17、图形长度增加 2MN， 原图长度增加 2 米，则 AB10+212m， 连接 AC， 四边形 ABCD 是长方形，AB12m，宽 AD5m， AC= 2+ 2= 52+ 122= 13m， 蚂蚱从 A 点爬到 C 点，它至少要走 13m 的路程 故答案为：13 15如图，长方形 ABCD 中，AB8，BC12，点 E 是边 BC 上一点，BE5，点 F 是射线 BA 上一动点，连接 EF，将BEF 沿着 EF 折叠，使 B 点的对应点 P 落在长方形边的垂 直平分线上，连接 BP，则 BP 的长是 45或 25或 215 【解答】解：分两种情况： 当 P 落在 AB 边的垂直平分线上，且 F
18、在 BA 延长线上时，如图 1 所示： 作 PMBC 于 M， 则 PM= 1 2AB4，PMB90， 由折叠的性质得：PEBE5， EM= 2 2=3， BMBE+EM8， BP= 2+ 2= 82+ 42=45； 当 P 落在 AB 边的垂直平分线上，且 F 在线段 BA 上时，如图 2 所示： 作 PNBC 于 N， 则 PN= 1 2AB4，PNB90， 由折叠的性质得：PEBE5， EN= 2 2=3， BNBEEN2， BP= 2+ 2= 22+ 42=25； 当 P 落在 BC 边的垂直平分线上时，如图 3 所示： 则 BN= 1 2BC6，PNB90， 由折叠的性质得：PEBE
19、5， ENBNBE1，PN= 2 2= 52 12=26， BP= 2+ 2= 36 + 24 =215； 综上所述，BP 的长是 45或 215； 故答案为：45或 25或 215 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16 （16 分）计算： （1）5032 8 8 3 （2）3 (24 21 6) （3）3 + (23)2 (48 1 2 6) （4）(3 22)2(11 + 46) (23 2)(32 + 3) 【解答】解： （1）原式= 50 2+2 102 +2； （2）原式= 3 56 3 = 3 52 = 32 10 ； （3）原式= 3 +1
20、2（43 3） = 3 +1233 1223； （4）原式（1146） （11+46）（66 +666） 2556 17 （7 分）实数与数轴上的点成一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来 （1）如图，A 点表示的数是 5 2 ； （2）请你借助刻度尺、三角板、圆规等作图工具，运用合理的方法，在数轴上作出表示 1 5的点（保留作图痕迹，标清数据，不写作法，不另下结论） 【解答】解： （1）由勾股定理得：12+ 052=5 4 = 5 2 ， A 点表示的数是： 5 2 ， 故答案为： 5 2 ； （2）设点 A 表示的数为 1，点 O 为原点，以 OB2 为直角边作直角三角形 AOB， 则 A
21、B= 12+ 22= 5， 以 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交数轴负半轴于 P， 则 P 表示的数为 15 18 （7 分）如图，用两个边长为 103的小正方形拼成一个大的正方形 （1）大正方形的边长长度是 106 ； （2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，使长方形的边与大正大方形的边重合或 平行，能否使剪出的长方形的长宽之比为 3：2，且面积为 400cm2？说明理由 【解答】解： （1）大正方形的边长是(103)2+ (103)2= 106； 故答案为：106 （2）设长方形纸片的长为 3xcm，宽为 2xcm， 则 3x2x400， 解得：x= 106 3 ， 因为106 3
22、106， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形， 能使剪出的长方形纸片的长宽之比为 2： 3， 且面积为 400cm2 19某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间 t（h）可以用下面的公式来估计：t2= 3 900， 其中 d（km）是雷雨区域的直径 （1） 如果雷雨区域的直径为 6km， 那么这场雷雨大约能持续多长时间？ （结果如有根号， 请保留根号） （2）如果一场雷雨持续了 0.9h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？ 【解答】解： （1）根据：t2= 3 900，其中 d6（km） ， t= 63 900 = 6 5 （h） ， 答：这场雷雨大约能持续 6 5 h； （2）根据：t2=
23、 3 900，其中 t0.9h， d9（km） ， 答：这场雷雨区域的直径大约是 9km 20 如图， 一块铁皮 （图中阴影部分） ， 测得 AB3， BC4， CD12， AD13， B90 求 阴影部分的面积 【解答】解：如图，连接 AC ABC 中，B90，AB3，BC4， AC= 32+ 42=5 CD12，AD13，AC5， AC2+CD2AD2， ACD 是直角三角形， S阴影SACDSABC= 1 2 512 1 2 3430624 21 在一棵树的 10 米高的 B 处有两只猴子 一只猴子爬下树走到离树 20 米的池塘的 A 处 另 一只爬到树顶 D 后直按跃到 A 处 距离以
24、直线计算 如果两只猴子所经过的距离相等 则 这棵树高多少米？ 【解答】解： 设树高为 xm，则 BDx10， 则题意可知 CD+ACx+2030， AB30BD30（x10）40 x， ABC 为直角三角形， AB2AC2+BC2，即（40 x）2202+x2， 解得 x15，即树高为 15m， 22数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转 化， 数形结合就是把抽象的数学语言、 数量关系与直观的几何图形、 位置关系结合起来， 通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题 简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的 （1
25、） 【思想应用】 已知 m， n 均为正实数， 且 m+n2， 求2+ 1 + 2+ 4的最小值 通 过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，AB2，AC1，BD 2，ACAB，BDAB，点 E 是线段 AB 上的动点，且不与端点重合，连接 CE，DE， 设 AEm，BEn， 用含 m 的代数式表示 CE 2+ 1 ，用含 n 的代数式表示 DE 2+ 4 ； 据此求2+ 1 + 2+ 4的最小值； （2）【类比应用】 根据上述的方法， 代数式2+ 25 + ( 16)2+ 49的最小值是 20 【解答】解： （1）在 RtACE 中，CE= 2+ 1， 在 RtBDE 中，
26、DE= 2+ 22= 2+ 4； 2+ 1 + 2+ 4 =CE+DE， 而 CE+DECD（当且仅当 C、E、D 共线时取等号） ， 作 DHCA 交 CA 的延长线于 H，如图，易得四边形 ABDH 为矩形， AHBD2，DHAB2， 在 RtCHD 中，CD= 22+ (1 + 2)2= 13， CE+DE 的最小值为13， 即2+ 1 + 2+ 4的最小值为13； （2）如图，设 AB16，CA5，BD7，AEx，则 BE16x， 在 RtACE 中，CE= 2+ 52= 2+ 25， 在 RtBDE 中，DE= (16 )2+ 72= ( 16)2+ 49； 2+ 25 + ( 16
27、)2+ 49 =CE+DE， 而 CE+DECD（当且仅当 C、E、D 共线时取等号） ， 作 DHCA 交 CA 的延长线于 H，如图，易得四边形 ABDH 为矩形， AHBD7，DHAB16， 在 RtCHD 中，CD= 162+ (5 + 7)2=20， CE+DE 的最小值为 20， 即2+ 25 + ( 16)2+ 49的最小值为 20 故答案为2+ 1，2+ 22+ 2+ 4；20 23 我们新定义一种三角形： 两边平方和等于第三边平方的 4 倍的三角形叫做常态三角形 例 如：某三角形三边长分别是 5，6 和 8，因为 62+82452100，所以这个三角形是常态 三角形 （1）若
28、ABC 三边长分别是 2，5和 4，则此三角形 是 常态三角形（填“是”或“不 是” ） ； （2） 如图， RtABC中， ACB90， BC6， 点D为AB的中点， 连接CD， CD= 1 2AB， 若 ACD 是常态三角形，求ABC 的面积； （3） 若RtABC是常态三角形， 斜边是210， 则此三角形的两直角边的和 26 +4 【解答】解： （1）22+424（5）220， ABC 三边长分别是 2，5和 4，则此三角形是常态三角形 故答案为：是； （2）RtABC 中，ACB90，BC6，点 D 为 AB 的中点， CDADBD= 1 2AB 设 CDADBD= 1 2ABx，则
29、AB2x 由勾股定理得：AC2+62（2x）2 AC24x236 ACD 是常态三角形 CD2+AD24AC2 x2+x24（4x236） x2= 144 14 AC24 144 14 36= 36 7 AC= 67 7 ABC 的面积为： 1 2 ACBC = 1 2 67 7 6 = 187 7 ABC 的面积为187 7 （3）RtABC 是常态三角形 设其两直角边分别为：a，b，斜边为 c 则由勾股定理和常态三角形的定义得： a2+b2c2，a2+c24b2 2a23b2 a：b= 3：2 设 a= 3x，b= 2x 则 c= 5x 斜边是 210，即 c210 5 =210 x22 a+b= 3 22 + 2 22 =26 +4 故答案为：26 +4
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