1、 高一（上）高一（上）10 月段考数学试卷月段考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若集合 A1，2，3，B1，3，4，则 AB 的子集个数为（ ） A2 B3 C4 D16 2 （5 分）若集合 Ax|x24，Bx|x2+3x0，则 AB（ ） Ax|3x2 Bx3x2 Cx|x0 或 x2 Dx|x0 或 x2 3 （5 分）已知 M，N 为集合 I 的非空真子集，且 M，N 不相等，若 N
2、IM，则 MN 是（ ） AM BN CI D 4 （5 分）已知函数 f（x），若 f（a）+f（1）0，则实数 a 的值等于（ ） A3 B1 C1 D3 5 （5 分）在映射 f：AB 中，AB（x，y）|x，yR，且 f： （x，y）（xy，x+y） ， 则与 B 中的元素（1，2）对应的 A 中的元素为（ ） A （3，1） B （1，3） C （1，3） D （） 6 （5 分）若 f（x）x2+2（a1）x+2 在（，4上是减函数，则 a 的取值范围是（ ） A （，3 B3，+） C （，5 D3，+） 7 （5 分）函数 y（x1）在区间2，5）上的最大值、最小值分别是（ ）
3、 A，4 B无最大值，最小值 7 C4，0 D最大值 4，无最小值 8 （5 分）设 f（x）是（，+）上的减函数，则不等式 f（2）f（）的解集是（ ） A （0，） B （，） C （，+） D （，0）（，+） 9 （5 分）函数 f（x）x24x+5 在区间0，m上的最大值为 5，最小值为 1，则实数 m 的 取值范围是（ ） A2，+） B2，4 C0，4 D （2，4 10（5 分） 函数 f （x） 是 R 上的减函数， 则实数 a 的取值 a 范围 （ ） A，0） B （， C1， D （，1 11 （5 分）已知函数 f（x）是定义在a1，2a上的偶函数，且当 x0 时，f
4、（x）单调递增， 则关于 x 的不等式 f（x1）f（a）的解集为（ ） A B C D随 a 的值而变化 12 （5 分）已知函数 f（x）是（，+）上的增函数，且 ff（x）x，定义在 R 上的 奇函数 g（x）在（0，+）上 为增函数且 g（1）0，则不等式0 的解集为（ ） A （1，0）（1，+） B （，1）（0，1） C （1，0）（0，1） D （，1）（1，+） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13 （5 分）已知 A，B 是非空集合，定义运算 ABx|xA 且 xB，若 Mx|y，N y|yx
5、2，1x1，则 MN 14 （5 分）已知集合a，1a2，a+b，0，则不等式 a2019x2（a+b）2019x2a2018 0 的解集为 15 （5 分）设集合 M（x，y）|a1，集合 N（x，y）|（a21）x+（a1）y 15，且 MN，则实数 a 的取值集合为 16 （5 分）已知函数 f（x）若存在唯一的整数 x，使得 0 成立，则实数 a 的取值范围为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）设集合 Ax|a3xa+3，Bx|x1 或 x
6、3 （1）若 a3，求 AB； （2）若 ABR，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）设 Ax|x2+3x+100，Bx|m+1x2m1，若 BA （1）求 A； （2）求实数 m 的取值范围 19 （12 分）已知关于 x 的不等式 ax23x+20 的解集为x|x1 或 xb （1）求 a，b 的值 （2）当 cR 时，解关于 x 的不等式 ax2（ac+b）x+bc0 20 （12 分）已知是定义在（1，1）上的奇函数，且 （1）求 a，b 的值； （2）求函数 f（x）的值域 21 （12 分）已知函数 f（x）x22ax+5（a1） （1）若函数 f（x）的定义域和值域均为1，
7、a，求实数 a 的值； （2）若 f（x）在区间（，2，上是减函数，且对任意的 x1，x21，a+1，总有|f（x1） f（x2）|4，求实数 a 的取值范围 22 （12 分）已知集合 D（x1，x2）|x10，x20，x1+x2k（其中 k 为正常数） （1）设 ux1x2，求 u 的取值范围； （2）求证：当 k1 时不等式对任意（x1，x2）D 恒 成立； （3）求使不等式对任意（x1，x2）D 恒成立的 k2的 范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中
8、，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若集合 A1，2，3，B1，3，4，则 AB 的子集个数为（ ） A2 B3 C4 D16 【分析】找出 A 与 B 的公共元素求出交集，找出交集的子集个数即可 【解答】解：A1，2，3，B1，3，4， AB1，3， 则 AB 的子集个数为 224 故选：C 【点评】此题考查了交集及其运算，以及子集，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 （5 分）若集合 Ax|x24，Bx|x2+3x0，则 AB（ ） Ax|3x2 Bx3x2 Cx|x0 或 x2 Dx|x0 或 x2 【分析】分别求出集合 A
9、，B，由此能 AB 【解答】解：集合 Ax|x24x|x2 或 x2， Bx|x2+3x0 x|3x0， ABx|x0 或 x2 故选：C 【点评】本题考查并集的求法，考查并集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 3 （5 分）已知 M，N 为集合 I 的非空真子集，且 M，N 不相等，若 NIM，则 MN 是（ ） AM BN CI D 【分析】由 NIM可得 NMN，从而可得 MNM 【解答】解：NIM， NMN， 即 MNM， 故选：A 【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题 4 （5 分）已知函数 f（x），若 f（a）+f（1）0，则实数 a 的值等于（ ） A3
10、B1 C1 D3 【分析】先求出 f（1）212，从而 f（a）2，当 a0 时，f（a）2a2， 当 a0 时，f（a）a+12，由此能求出实数 a 的值 【解答】解：函数 f（x）， f（1）212， f（a）+f（1）0， f（a）2， 当 a0 时，f（a）2a2，解得 a1，不成立， 当 a0 时，f（a）a+12，解得 a3 实数 a 的值等于3 故选：A 【点评】本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质 的合理运用 5 （5 分）在映射 f：AB 中，AB（x，y）|x，yR，且 f： （x，y）（xy，x+y） ， 则与 B 中的元素（1，2）对应的
11、 A 中的元素为（ ） A （3，1） B （1，3） C （1，3） D （） 【分析】设与 B 中的元素（1，2）对应的 A 中的元素为（x，y） ，则，由 此能求出与 B 中的元素（1，2）对应的 A 中的元素 【解答】解：解：在映射 f：AB 中，AB（x，y）|x，yR，且 f： （x，y）（x y，x+y） ， 设与 B 中的元素（1，2）对应的 A 中的元素为（x，y） ， 则，解得 x，y， 与 B 中的元素（1，2）对应的 A 中的元素为（，） 故选：D 【点评】本题考查与 B 中的元素（1，2）对应的 A 中的元素的求法，考查映射等基础 知识，考查运算求解能力，考查函数与方
12、程思想，是基础题 6 （5 分）若 f（x）x2+2（a1）x+2 在（，4上是减函数，则 a 的取值范围是（ ） A （，3 B3，+） C （，5 D3，+） 【分析】利用二次函数的性质，建立对称轴和 4 之间的关系，即可 【解答】解：f（x）x2+2（a1）x+2 的对称轴为 x， 函数 f（x）在（，1a上单调递减， 要使 f（x）x2+2（a1）x+2 在（，4上是减函数， 则对称轴 1a4，解得 a3 即 a 的取值范围是（，3 故选：A 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用二次函数单调性由对称轴决定，从 而得到对称轴与已知区间的关系是解决本题的关键 7 （5 分）函数
13、y（x1）在区间2，5）上的最大值、最小值分别是（ ） A，4 B无最大值，最小值 7 C4，0 D最大值 4，无最小值 【分析】函数 y1+在2，5）上递减，计算即可得到所求最值 【解答】解：函数 y1+在2，5）上递减， 即有 x2 处取得最大值 4， 由 x5 取不到，则最小值取不到 故选：D 【点评】本题考查函数的最值的求法，考查单调性的运用，属于基础题 8 （5 分）设 f（x）是（，+）上的减函数，则不等式 f（2）f（）的解集是（ ） A （0，） B （，） C （，+） D （，0）（，+） 【分析】根据函数单调性的性质进行转化求解即可得到结论 【解答】解：f（x）是（，+）
14、上的减函数，则由不等式 f（2）f（）可得 2 ， x0，或 x， 故选：D 【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，首先根据函数的性质把不等式转化为 f（g （x） ）f（h（x） ）的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式 （组） ，此时要注意 g（x）与 h（x）的取值应在外层函数的定义域内，属于基础题 9 （5 分）函数 f（x）x24x+5 在区间0，m上的最大值为 5，最小值为 1，则实数 m 的 取值范围是（ ） A2，+） B2，4 C0，4 D （2，4 【分析】由函数的解析式可得函数 f（x）x24x+5（x2）2+1 的对称轴为 x2，此 时，函数取得
15、最小值为 1，当 x0 或 x4 时，函数值等于 5，结合题意求得 m 的范围 【解答】解：函数 f（x）x24x+5（x2）2+1 的对称轴为 x2，此时，函数取得 最小值为 1， 当 x0 或 x4 时，函数值等于 5 且 f（x）x24x+5 在区间0，m上的最大值为 5，最小值为 1， 实数 m 的取值范围是2，4， 故选：B 【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，属于中档题 10（5 分） 函数 f （x） 是 R 上的减函数， 则实数 a 的取值 a 范围 （ ） A，0） B （， C1， D （，1 【分析】若函数 f（x）是 R 上的减函数，则，解 得实数 a 的取值 a
16、范围 【解答】解：函数 f（x）是 R 上的减函数， ， 解得：a（，1， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关 键 11 （5 分）已知函数 f（x）是定义在a1，2a上的偶函数，且当 x0 时，f（x）单调递增， 则关于 x 的不等式 f（x1）f（a）的解集为（ ） A B C D随 a 的值而变化 【分析】 具有奇偶性的函数定义域关于原点对称可求得 a 值， 由偶函数性质知， f （x1） f（a）可化为 f（|x1|）f（） ，根据 f（x）的单调性可得|x1|，再考虑到定义 域即可解出不等式 【解答】解：因为 f（x）是定义在a1，
17、2a上的偶函数， 所以（a1）+2a0，解得 a 则 f（x）定义域为， 由偶函数性质知，f（x1）f（a）可化为 f（|x1|）f（） ， 又 x0 时，f（x）单调递增，所以|x1|， 又x1， 联立解得x或x， 故不等式 f（x1）f（a）的解集为，）（， 故选：C 【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的应用，考查抽象不等式的求解，属中等题 12 （5 分）已知函数 f（x）是（，+）上的增函数，且 ff（x）x，定义在 R 上的 奇函数 g（x）在（0，+）上 为增函数且 g（1）0，则不等式0 的解集为（ ） A （1，0）（1，+） B （，1）（0，1） C （1，0）（0，1）
18、D （，1）（1，+） 【分析】函数 f（x）利用赋值法结合函数是单调函数分析出 f（0）的值，g（x）利用奇 偶性及其函数值的正负情况解决 【解答】解：由 ff（x）x 有 ff（0）0， 设 f（0）t，则 f（t）0， 若 t0，则 f（0）f（t） 这与函数单调递增相矛盾； 若 t0，则 f（0）f（t） 这与函数单调递增相矛盾； 所以 t0，即 f（0）0， ， 即 f（x）g（x）0， 或 ， 所以 不等式的解集为（1，0）（0，1） ， 故选：C 【点评】本题主要是分析出 f（0）0，利用赋值法结合函数单调性 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每
19、小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13 （5 分）已知 A，B 是非空集合，定义运算 ABx|xA 且 xB，若 Mx|y，N y|yx2，1x1，则 MN x|x0 【分析】由题意可知 Mx|x1，Ny|0y1，再由 AB 的运算定义可求出 M N 的值 【解答】解：Mx|x1，Ny|0y1， MNx|x0 故答案：x|x0 【点评】本题考查集合的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用 14 （5 分）已知集合a，1a2，a+b，0，则不等式 a2019x2（a+b）2019x2a2018 0 的解集为 R 【分析】根据a，1a2，a+b，0可得出，再根据集合元素的 互异性即可求出
20、a1， b0， 从而将原不等式变成x2+x20， 解出 x 的范围即可 【解答】解：a，1a2，a+b，0， 或，且 a1， 解得， 由 a2019x2（a+b）2019x2a20180 得，x2+x20，解得 xR， 原不等式的解集为 R 故答案为：R 【点评】考查列举法的定义，集合相等的定义，集合元素的互异性，以及一元二次不等 式的解法 15 （5 分）设集合 M（x，y）|a1，集合 N（x，y）|（a21）x+（a1）y 15，且 MN，则实数 a 的取值集合为 1，0，4， 【分析】先确定出集合 M、N 所表示点集的性质，再讨论 N以及直线（a1）xy 2a+50 与直线（a21）x
21、+（a1）y15 平行和直线（a21）x+（a1）y15 经过 （2，3）点时，三种情况下 a 的取值情况，综合讨论结果得出 a 的值 【解答】解：集合 M（x，y）|a1，表示直线（a1）xy2a+50 上除 （2，3）以外的所有点组成的集合； 当 a1 时，N，满足 MN； 当 a0 时，直线（a1）xy2a+50 与直线（a21）x+（a1）y15 平行，满足 MN； 当直线（a21）x+（a1）y15 经过（2，3）点，代入得，2a2+3a200，a4， 或 a时，满足 MN； 综上，a 的所有取值是：1，0，4， 故答案为：1，0，4， 【点评】本题考查了集合关系中的参数取值的应用问
22、题，分析出集合表示直线（a+1）x y2a+1 上除（2，3）以后的所有点组成的点集，进而确定分类讨论的分类标准是解 答本题的关键 16 （5 分）已知函数 f（x）若存在唯一的整数 x，使得 0 成立，则实数 a 的取值范围为 0，23，8 【分析】作出 f（x）的函数图象，得出 f（x）的单调性和极值，对 x 的符号进行讨论， 根据不等式只有 1 整数解得出 a 的范围 【解答】解：作出 f（x）的函数图象如图所示： （1）当 x0 时，f（x）f（1）3， 存在唯一的整数 x，使得0 成立， af（x）只有 1 个整数解，又 f（2）0， 0a3 （2）若 x0，则 f（x）f（0）0，
23、 存在唯一的整数 x，使得0 成立， af（x）只有 1 个整数解，又 f（1）2，f（2）8， 2a8 当 0a2 或 3a8 时，0 只有 1 个整数解 故答案为：0，23，8 【点评】本题考查了分段函数的图象，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）设集合 Ax|a3xa+3，Bx|x1 或 x3 （1）若 a3，求 AB； （2）若 ABR，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）a3 时，得出集合 A，然后进行并集的运算即可； （2
24、）根据 ABR 即可得出，解出 a 的范围即可 【解答】解： （1）a3 时，Ax|0 x6，且 Bx|x1，或 x3， ABx|x1，或 x0； （2）ABR， ， 0a2， 实数 a 的取值范围为（0，2） 【点评】考查描述法的定义，以及并集的定义及运算 18 （12 分）设 Ax|x2+3x+100，Bx|m+1x2m1，若 BA （1）求 A； （2）求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）解x2+3x+100 可得其解集，即可得集合 A； （2） 分2种情况讨论： 、 当m+12m1， B， 、 当m+12m1， 必有， 解可得 m 的范围，综合可得答案 【解答】解： （1）根据题意
25、，x2+3x+1002x5， 则 Ax|x2+3x+100 x|2x5； （2）分 2 种情况讨论： 、当 m+12m1，即 m2 时，B，BA 成立； 、当 m+12m1，即 m2 时，B， 若 BA，必有， 解可得 2m3； 综合可得：m3 即 m 的取值范围为m|m3 【点评】本题考查集合的包含关系的应用，涉及空集的性质，注意集合 B 可能为空集 19 （12 分）已知关于 x 的不等式 ax23x+20 的解集为x|x1 或 xb （1）求 a，b 的值 （2）当 cR 时，解关于 x 的不等式 ax2（ac+b）x+bc0 【分析】 （1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得
26、1 和 b 是相应方程的两个 实数根，由根与系数的关系建立关于 a、b 的方程组，解之即可得到实数 a、b 的值 （2）由（1）的结论，所求不等式即 x2（c+2）x+2c0，再讨论实数 c 与 2 的大小关 系，即可得到不等式在各种情况下的解集，得到本题答案 【解答】解： （1）根据题意，不等式 ax23x+20 的解集为x|x1 或 xb， 即 1、b 是方程 ax23x+20 的两根， 则有，解可得， （2）由（1）的结论，a1，b2； 原不等式即 x2（c+2）x+2c0；即（x2） （xc）0， 方程 x2（c+2）x+2c0 有两根，2 和 c， 当 c2 时，不等式的解集为x|2
27、xc， 当 c2 时，不等式的解集为x|cx2， 当 c2 时，不等式的解集为 综合可得：当 c2 时，不等式的解集为x|2xc， 当 c2 时，不等式的解集为x|cx2， 当 c2 时，不等式的解集为 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，涉及一元二次不等式的解集与一元二次方程 的根的关系，关键是求出 a、b 的值 20 （12 分）已知是定义在（1，1）上的奇函数，且 （1）求 a，b 的值； （2）求函数 f（x）的值域 【分析】 （1）根据函数的奇偶性和对应的函数值求出 a，b 的值； （2）问题转化为 yx2x+y0 这个方程一定有解，根据二次函数的性质求出 y 的范围即 可 【解答
28、】解： （1）由题意得：0（1，1） ， f（0）b0，f（x）， f（） a1， （2）由（1）f（x）y， 则 yx2+yx，即 yx2x+y0 这个方程一定有解 当 y0 时，x0， 当 y0 时：14y20， y且 y0， 综上可知：y， 【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数的值域以及二次函数的性质，是一道 中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x22ax+5（a1） （1）若函数 f（x）的定义域和值域均为1，a，求实数 a 的值； （2）若 f（x）在区间（，2，上是减函数，且对任意的 x1，x21，a+1，总有|f（x1） f（x2）|4，求实数 a 的取值范围 【
29、分析】 （1）确定函数的对称轴，从而可得函数的单调性，利用 f（x）的定义域和值域 均是1，a，建立方程，即可求实数 a 的值 （2）可以根据函数 f（x）x22ax+5（xa）2+5a2开口向上，对称轴为 xa， 可以推出 a 的范围，利用函数的图象求出1，a+1上的最值问题，对任意的 x1，a+1， 总有|f（x1）f（x2）|4，从而求出实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）函数 f（x）x22ax+5（a1） ，f（x）开口向上，对称轴为 xa 1，（2 分） f（x）在1，a是单调减函数，（6 分） f（x）的最大值为 f（1）62a；f（x）的最小值为 f（a）5a2（10 分
30、） 62aa，且 5a21 a2（14 分） （2）函数 f（x）x22ax+5（xa）2+5a2开口向上，对称轴为 xa， f（x）在区间（，2上是减函数，对称轴大于等于 2， a2，a+13， f（x）在（1，a）上为减函数，在（a，a+1）上为增函数， f（x）在 xa 处取得最小值，f（x）minf（a）5a2， f（x）在 x1 处取得最大值，f（x）maxf（1）62a， 5a2f（x）62a， 对任意的 x1，a+1，总有|f（x1）f（x2）|4， 62a（5a2）4，解得：1a3； 综上：2a3 【点评】 本题考查二次函数的最值问题， 考查函数的单调性， 确定函数的单调性是关
31、键， 此题是一道函数的恒成立问题，第二问难度比较大，充分考查了函数的对称轴和二次函 数的图象问题，是一道中档题 22 （12 分）已知集合 D（x1，x2）|x10，x20，x1+x2k（其中 k 为正常数） （1）设 ux1x2，求 u 的取值范围； （2）求证：当 k1 时不等式对任意（x1，x2）D 恒 成立； （3）求使不等式对任意（x1，x2）D 恒成立的 k2的 范围 【分析】 （1）利用基本不等式，其中和为定值，积有最大值； （2）结合（1）中的范围直接将左边展开，利用 u 在上单调递增即可，或者作 差法比较； （3）结合（2）将（3）转化为求使对恒成立的 k 的范围， 利用函数
32、的单调性解决，或者作差法求解 【解答】解： （1），当且仅当时等号成立， 故 u 的取值范围为 （ 2 ） 解 法 一 （ 函 数 法 ） 由，又 k1，k210， f（u）u在上是增函数 所以 即当 k1 时不等式成立 解法二（不等式证明的作差比较法） ， 将 k24x1x2（x1x2）2代入得： （x1x2）20，k1 时 4k2x1x24k24（1k2）k2x1x20， ， 即当 k1 时不等式成立 （3）解法一（函数法） 记， 则， 即求使对恒成立的 k2的范围 由（2）知，要使 对任意（x1，x2）D 恒成立，必有 0k1， 因此 1k20， 函数在上递减，在上递增， 要使函数 f（u）在上恒有，必有，即 k4+16k2 160， 解得 解法二（不等式证明的作差比较法） 由（2）可知， 要不等式恒成立，必须 4k2x1x24k20 恒成立 即恒成立 由得，即 k4+16k2160， 解得 因此不等式恒成立的 k2的范围是 【点评】本题考查不等式的综合应用，以及利用转化思想、函数思想转化为函数问题利 用函数的单调性解决不等式问题，属于中档题
浙公网安备33030202001339号