1.2.1 命题与量词 学案（含答案）

1、1.21.2 常用逻辑用语常用逻辑用语 1 1. .2.12.1 命题与量词命题与量词 学习目标 1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断.2.理解全称(存在)量词、全称(存在) 量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题， 并会判断它们的真假 知识点一 命题的概念 知识点二 全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 命题 含有全称量词的命题称为全称量词 命题 含有存在量词的命题称为存在量 词命题 命题 形式 “对集合 M 中所有元素 x，r(x)”， 可用符号简记为“xM，r(x)” “存在集合 M 中的元素 x， s

2、(x)”， 可用符号简记为“xM， s(x)” 1“这盆花长得太好了！”是命题( ) 2全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”( ) 3全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词( ) 4在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略( ) 5“四边形的内角和是 360 ”是全称量词命题( ) 一、全称量词命题与存在量词命题的辨析 例 1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列 命题 (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数 x，满足 x22； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； (4)存在实数 a，使函数 yaxb

3、 的值随 x 的增大而增大 解 (1)是全称量词命题，表示为xN，x20. (2)是存在量词命题，表示为xR，x22. (3)是存在量词命题，表示为四边形是平行四边形，它的对角线不互相垂直 (4)是存在量词命题，表示为aR，函数 yaxb 的值随 x 的增大而增大 反思感悟 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 (1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题 (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量 词的命题是存在量词命题 (3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质 跟踪训练 1 判断下列命题是全称量词

4、命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表 示下列命题： (1)不等式 x2x10 恒成立； (2)有的一次函数图像经过原点； (3)所有的二次函数的图像的开口都向上 解 (1)全称量词命题表示为xR，x2x10. (2)存在量词命题一次函数，它的图像过原点 (3)全称量词命题二次函数，它们的图像的开口都向上 二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例 2 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假 (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数 a，b，若 ab，都有 a2b2； (4)存

5、在一个实数 x，使得 x22x30. 解 (1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题 (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所 以该命题是真命题 (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题 (3)存在 a5，b3，a(3)2，所以该命题是假命题 (4)由于 xR，则 x22x3(x1)222，因此使得 x22x30 的实数 x 不存在，所以 该命题是假命题 反思感悟 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定全称量词命题“xM，p(x)”是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；

6、 但要判定全称量词命题是假命题， 却只要能举出集合 M 中的一个 xx0， 使得 p(x0) 不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”) (2)判断存在性命题“xM，p(x)”的真假性的关键是探究集合 M 中 x0的存在性，若找到 一个元素 x0M，使 p(x0)成立，则该命题是真命题；若不存在 x0M，使 p(x0)成立，则该命 题是假命题 跟踪训练 2 判断下列命题的真假 (1)xR，x210； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)xN，x20. 解 (1)因为 x2110， 所以命题是真命题 (2)真命题，如梯形 (3)因为 0N,020，所以命题“xN，x20”是假命题 三

7、、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 例 3 已知命题“x1,2，2x1m0”为真命题，求实数 m 的取值范围 解 “x1,2，2x1m0”成立， 2x1m0 在 x1,2上恒成立 又 y2x1m 在1,2上的最小值为 1m. 1m0.解得 m1. 实数 m 的取值范围是(，1 延伸探究 若把本例中的“”改为“”，其他条件不变，求实数 m 的取值范围 解 “x1,2，2x1m0”成立， 2x1m0 在 x1,2上有解 函数 y2x1m 在1,2上的最大值是 221m3m. 3m0，故 m3. 实数 m 的取值范围是(，3 反思感悟 应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型 (1

8、)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集 合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质 (2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等 语句表述解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发， 结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定 了假设 跟踪训练 3 (1)是否存在实数 m，使不等式 mx22x50 对于任意 xR 恒成立，并说明 理由； (2)若存在一个实数 x，使不等式 m(x22x5)0 成立，求实数 m 的取值范

9、围 解 (1)不等式 mx22x50 可化为 mx22x5(x1)24. 要使 m(x1)24 对于任意 xR 恒成立，只需 m4 即可 故存在实数 m 使不等式 mx22x50 对于任意 xR 恒成立，此时需 m4. (2)不等式 m(x22x5)0 可化为 mx22x5. 令 tx22x5，若存在一个实数 x 使不等式 mx22x5 成立，只需 mtmin. 又 t(x1)24， tmin4， m4. 所以所求实数 m 的取值范围是(4，) 1下列命题不是全称量词命题的是( ) A任何一个实数乘以零都等于零 B自然数都是正整数 C我班绝大多数同学是团员 D每一个方程都有实数解 答案 C 解

10、析 “我班绝大多数同学是团员”，即“我班有的同学不是团员”，是存在量词命题 2给出下列命题： 存在实数 x1，使 x21； 全等的三角形必相似； 有些相似三角形全等； 至少有一个实数 a，使 ax2ax10 的根为负数 其中存在量词命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 为存在量词命题，为全称量词命题 3下列是存在量词命题且是真命题的是( ) AxR，x30 BxZ，x22 CxN，x2N Dx，yR，x2y20 是全称量词命题，不合题意； 对于 B，xZ，x22 是存在量词命题，且是真命题，满足题意； 对于 C，xN，x2N 是全称量词命题，不合题意； 对于 D，x，yR

11、，x2y20 是存在量词命题，是假命题，不合题意 4下列命题：若 xy1，则 x，y 互为倒数；平行四边形是梯形；若 x，y 互为相反数， 则 xy0，其中真命题为_ 答案 解析 是真命题；平行四边形不是梯形，假命题；是真命题 5命题 p：xR，x22x50 是_(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)， 它是_命题(填“真”或“假”) 答案 存在量词命题 假 解析 命题中含有量词“”，故为存在量词命题又 2245160，故方程 x2 2x50 无实根，即命题为假命题 1知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的概念 (2)含量词的命题的真假判断 (3)通过含量词的命题的真假求参数 2方法归纳：转化与化归、分离参数法 3常见误区： 有些命题省略了量词， 全称量词命题强调“整体、 全部”， 存在量词命题强调“个别、 部分”