1、1 1. .2.32.3 充分条件、必要条件充分条件、必要条件 第第 1 1 课时课时 充分条件、必要条件充分条件、必要条件 学习目标 1.理解充分条件、必要条件的定义.2.会判断充分条件、必要条件.3.会根据充分不 必要条件、必要不充分条件求参数的取值范围 知识点 1充分条件与必要条件 命题真假 “若 p， 则 q”是真命题 “若 p，则 q”是假命题 推出关系 pq pq 条件关系 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 p 不是 q 的充分条件 q 不是 p 的必要条件 思考 (1)p 是 q 的充分条件与 q 是 p 的必要条件所表示的推出关系是否相同？ (2)以下五种表述形式
2、：pq；p 是 q 的充分条件；q 的充分条件是 p；q 是 p 的必要 条件；p 的必要条件是 q.这五种表述形式等价吗？ 答案 (1)相同，都是 pq.(2)等价 2充分条件与必要条件的判断 3充分条件、必要条件与集合的关系 Ax|x 满足条件 p，Bx|x 满足条件 q AB p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 A B p 是 q 的不充分条件 q 是 p 的不必要条件 BA q 是 p 的充分条件 p 是 q 的必要条件 BA q 是 p 的不充分条件 p 是 q 的不必要条件 思考 (1)“x2”是“x3”的_条件，“x3”是“x1”是“x0”的充分条件， p 也可以是“
3、x2”“x3”或“2x3”等 1“x1”是(x1)(x2)0 的_条件(填“充分”“必要”) 答案 充分 2 设集合 Mx|0x3， Nx|05”是“x4”的充分条件； “xy0”是“x0 且 y0”的充分条件； “2x2”是“x2 且 b2，q：ab4，ab4. 答案 解析 (x2)(x3)0， x2 或 x3，不能推出 x20. p 不是 q 的充分条件 两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等， p 不是 q 的充分条件 由 a2 且 b2ab4，ab4， p 是 q 的充分条件 反思感悟 充分条件的两种判定方法 (1)定义法： 确定谁是条件，谁是结论； 尝试从条件推结论，若由条件能推
4、出结论，则条件是结论的充分条件，否则就不是充分条 件 (2)命题判断法： 如果命题：“若 p，则 q”为真命题，那么 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件； 如果命题：“若 p，则 q”为假命题，那么 p 不是 q 的充分条件，同时 q 也不是 p 的必要条 件 跟踪训练 1 判断下列说法中，p 是 q 的充分条件的是_(填序号) p：“x1”，q：“x22x10”； 设 a，b 是实数，p：“ab0”，q：“ab0”； 已知 a，b 为正实数，p：ab1，q：a2b20. 答案 解析 当 x1 时，x22x10，故 pq，所以 p 是 q 的充分条件 由 ab0 不能推出 a
5、b0，故 p 不是 q 的充分条件 因为 ab1a2b20，所以 p 是 q 的充分条件 二、必要条件的判断 例 2 在下列各命题中，q 是 p 的必要条件吗？为什么？ (1)p：x20；q：(x2)(x3)0； (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等； (3)p：m2；q：方程 x2xm0 无实根 解 (1)x20(x2)(x3)0， q 是 p 的必要条件 (2)两个三角形相似推不出两个三角形全等， q 不是 p 的必要条件 (3)方程 x2xm0 无实根， b24ac141(m)14m0， 解得 m1 4. m2m2 同时 y3，q：xy5； (2)p：一个四边形的四个角都相等，q
6、：四边形是正方形 (3)p： 为锐角，q：45 ； (4)p：(x1)(x2)0，q：x10. 解 (1)由于 pq，故 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 (2)由于 qp，故 q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件 (3)由于 qp，故 p 是 q 的必要条件，q 是 p 的充分条件 (4)由于 qp，故 p 是 q 的必要条件，q 是 p 的充分条件 三、充分条件与必要条件的应用 例 3 已知命题 p：2x10，q：1mx1m(m0)，若 p 是 q 的必要条件，但不是充 分条件求实数 m 的取值范围 解 p：2x10，q：1mx1m(m0) 因为 p 是 q 的必要
7、条件，但不是充分条件， 所以 q 是 p 的充分条件但不是必要条件， 即x|1mx1mx|2x10， 故有 1m2， 1m2， 1m10， 解得 m3.又 m0， 所以实数 m 的取值范围为(0,3 延伸探究 若本例中“p 是 q 的必要条件但不是充分条件”改为“p 是 q 的充分条件但不是必要条件”， 其他条件不变，求实数 m 的取值范围 解 p：2x10，q：1mx1m(m0) 因为 p 是 q 的充分条件但不是必要条件， 设 p 代表的集合为 A，q 代表的集合为 B， 所以 AB. 所以 1m2， 1m10 或 1m9 或 m9， 所以 m9， 即实数 m 的取值范围是9，) 反思感悟
8、 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题 (2)求解步骤：先把 p，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关 于参数的不等式(组)进行求解 跟踪训练 3 已知集合 Ay|yx23x1，xR，Bx|x2m0；命题 p：xA，命题 q：xB. (1)若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围； (2)若 p 是 q 的必要条件，求实数 m 的取值范围 解 由已知可得 A y y x3 2 25 4，xR y y5 4 ， Bx|x2m (1)若 p 是 q 的充分条件， 则 pq，所以 AB，
9、所以2m5 4，所以 m 5 8， 即 m 的取值范围是 5 8， . (2)若 p 是 q 的必要条件， 则 qp，所以 BA， 所以2m5 4，解得 m 5 8. 即 m 的取值范围是 ，5 8 . 1若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的( ) A充分条件 B必要条件 C既不是充分条件也不是必要条件 D既是充分条件又是必要条件 答案 B 解析 因为 p 是 q 的充分条件，所以 pq，所以 q 是 p 的必要条件 2“同位角相等”是“两直线平行”的( ) A充分条件但不是必要条件 B必要条件但不是充分条件 C既是充分条件，也是必要条件 D既不是充分条件也不是必要条件 答案 C 3“2x1 或 x1”的( ) A充分条件但不是必要条件 B必要条件但不是充分条件 C既不是充分条件也不是必要条件 D既是充分条件，也是必要条件 答案 C 解析 2x1 或 x1 或 x12x1，“2x1 或 x1”是“xa”的充分条件，则 a 的取值范围是_ 答案 (，1 解析 因为 x1xa，所以 a1. 1知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念 (2)充分条件、必要条件的判断 (3)充分条件与必要条件的应用 2方法归纳：转化法 3常见误区： 充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值
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