1、20202020 年河北省唐山市高考数学二模试卷（文科）年河北省唐山市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合，则AB（ ） A2，2 B2，1，2 C1，0，1 D1，0 2已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数a（ ） A3 B3 C D 3 冰雹猜想 （也叫 3X+1 猜想） ： 任意给出一个正整数X， 如果X是奇数， 下一步变成 3X+1； 如果X是偶数，下一步变成，依次进行计算，无论X是一个怎样的数字，最终都会回 到数字 1若给出的数字是X6，当第一次回到数字 1 时，经过的计算次数为（ ） A6 B7 C8 D9 4已知x，y满足约束条件则zxy的
2、最大值为（ ） A2 B0 C2 D4 5已知 sin（+），则 cos2（ ） A B C D 6现有甲、乙、丙、丁 4 名大学生，若将 4 人随机分配到两个单位去实习，要求每个单位 两人，则甲、乙恰好被分到同一单位的概率为（ ） A B C D 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（ ） A B3 C D 8函数f（x）e x|x|3的零点个数是（ ） A1 B2 C3 D4 9已知F1，F2为双曲线的左，右焦点，P为双曲线C的渐近 线上一点，若F1PF2为等腰直角三角形，则双曲线C渐近线的方程为（ ） Ayx By2x C D 10已知f（x）为f（x）的导函数，且满足
3、xf（x）f（x），则（ ） A2f（2）f（1） B2f（1）f（2） C2f（2）f（1） Df（2）2f（1） 11已知f（x）cos 2x+sinx，有以下三个命题： 为f（x）的一个周期；f（x）为奇函数；f（x）的图象关于直线对称； 则正确命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 12 已知向量 ， 满足| |1， （ ） （3 ） ， 则 与 的夹角的最大值为 （ ） A30 B60 C120 D150 二、填空题（共 4 小题）. 13若Sn为等差数列an的前n项和，a13，S525，则a5 14已知是椭圆的右焦点，且E过点（，1）， 则椭圆E的标准方程为 15在ABC中，角
4、A，B，C的对边为a，b，c，若，则A 16在三棱锥PABC中，BAC90，PAPBPCBC2，则三棱锥PABC外接球 的表面积为 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知等比数列an的各项均为正，且a1+a212，a4a272 （1）求数列an的通项公式； （2）若，求数列cn的前n项和Tn 18成年人收缩压的正常范围是（90，140）（单位：mmHg），未在此范围的献血志愿者不 适合献血，某血站对志愿者的收缩压进行统计，随机抽取男
5、志愿者 100 名、女志愿者 100 名，根据统计数据分别得到如下直方图： （1）根据直方图计算这 200 名志愿者中不适合献血的总人数； （2）估计男志愿者收缩压的中位数； （3）估计女志愿者收缩压的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 19如图，在梯形ABCD中，ABAD，ADBC，AD2AB2BC2，AE平面ABCD，CF平 面ABCD （1）求证：CDEF； （2）AE2，CF3，求点F到平面CDE的距离 20已知函数f（x）axlnx，g（x）x 2b，若曲线 yf（x）与yg（x）相交于P（1， 0），且在点P处有相同的切线 （1）求a，b的值； （2）比较f（x）与g
6、（x）的大小关系 21已知F为抛物线C：y 22px（p0）的焦点，过 F的直线l与抛物线C交于点A，B当 l的倾斜角为 45时，|AB|4 （1）求抛物线C的方程； （2）M（m，0），当l绕点F旋转时，抛物线C上总存在点N，使得四边形AMBN为平行 四边形（点M，N在直线l的两侧） （）求m的值； （）记平行四边形AMBN的面积为S，求S的最小值 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系xOy中，曲线C：（x1） 2+y21，直线 l：yx以坐标原点O为极 点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线C与直线l的极坐标方程； （2）已知P为曲线C上一点，PHl于H，求SPOH的
7、最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知xR，y0，x+y2xy （1）若x0，求证：xy1； （2）若x0，求|x|+的最小值 参考答案 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合，则AB（ ） A2，2 B2，1，2 C1，0，1 D1，0 【分析】求出集合A，由此能求出AB 解：集合， Ax|1x1， 故选：D 2已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数a（ ） A3 B3 C D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解 解：为纯虚数， ，即a6 故选：A 3 冰雹猜想 （也叫 3X+1 猜想） ： 任意给出一个正整数X， 如果X是奇数，
8、下一步变成 3X+1； 如果X是偶数，下一步变成，依次进行计算，无论X是一个怎样的数字，最终都会回 到数字 1若给出的数字是X6，当第一次回到数字 1 时，经过的计算次数为（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】根据要求一步一步的推理，即可得到答案 解：由题意，可得 63105168424， 故选：C 4已知x，y满足约束条件则zxy的最大值为（ ） A2 B0 C2 D4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由zxy得y xz，利用平移即可得到结论 解：x，y满足约束条件的对应的平面区域如图：（阴影部分） 由平移可知当直线yxz，经过点B时， 由，解得B（1，1）
9、代入zxy得z0， 故选：B 5已知 sin（+），则 cos2（ ） A B C D 【分析】由已知利用诱导公式可求 cos 的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可计 算得解 解：sin（+）， cos， 故选：A 6现有甲、乙、丙、丁 4 名大学生，若将 4 人随机分配到两个单位去实习，要求每个单位 两人，则甲、乙恰好被分到同一单位的概率为（ ） A B C D 【分析】基本事件总数n6，甲、乙恰好被分到同一单位包含的基本事件个数m 2，由此能求出甲、乙恰好被分到同一单位的概率 解：现有甲、乙、丙、丁 4 名大学生， 将 4 人随机分配到两个单位去实习，要求每个单位两人， 甲、乙恰好被分到
10、同一单位包含的基本事件个数m2， 故选：C 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（ ） A B3 C D 【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求得每条棱的棱长，据此即可确定最大 的棱长 解：如图所示，在棱长为 2 的正方体中，点C为所在边的中点， 则题中的三视图所对应的几何体为四棱锥PABCD，正方体的棱长为 2， 则最长的棱长为：5 故选：B 8函数f（x）e x|x|3的零点个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】 分x0 与x0 时， 结合函数的单调性与零点存在性定理， 可求出零点的个数 解：当x0 时，函数f（x）e x+x3， f（x）e x+3x25，
11、故 f（x）在（，0上单调递增 f（x）在（，0有一个零点； 此时原函数的零点即为：g（x）x3lnx，x0 的零点 当x（0，3）时，g（x）4，此时g（x）单调递减；当x（3，+）时，g（x） 0，此时g（x）单调递增 故g（x）在（0，3）和（4，+）上各有一个零点， 综上，f（x）共有 3 个零点 故选：C 9已知F1，F2为双曲线的左，右焦点，P为双曲线C的渐近 线上一点，若F1PF2为等腰直角三角形，则双曲线C渐近线的方程为（ ） Ayx By2x C D 【分析】利用双曲线的简单性质，通过三角形是等腰直角三角形，列出方程求解即可 解：F1、F2为双曲线的左、右焦点， 点P在C的渐
12、近线上，PF1x轴， 若F5PF2为等腰直角三角形， |PF1|F1F2|， |PF1| 所以双曲线的渐近线方程为：y7x 故选：B 10已知f（x）为f（x）的导函数，且满足xf（x）f（x），则（ ） A2f（2）f（1） B2f（1）f（2） C2f（2）f（1） Df（2）2f（1） 【 分析 】不等 式xf（x） f（x）可 化为xf（x） f（x） 0 ，即 0，由此可得g（x）在（，0），（0，+） 上单调递增，由此问题可解 解：由已知得xf（x）f（x）0，即0， 所以g（x）在（，0），（0，+）上单调递增， 故选：D 11已知f（x）cos 2x+sinx，有以下三个命题：
13、 为f（x）的一个周期；f（x）为奇函数；f（x）的图象关于直线对称； 则正确命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】直接利用函数的性质，周期，奇偶性应用求出结果 解：已知f（x）cos 2x+sinx， 所以f（x+）cos 2（x+）+sin（x+）cos2xsinxcos4x+sinx， 由于xR， 由于f（x）f（x），故函数的图象关于直线对称；故正确 故选：B 12 已知向量 ， 满足| |1， （ ） （3 ） ， 则 与 的夹角的最大值为 （ ） A30 B60 C120 D150 【 分 析 】 根 据即 可 得 出， 进 而 可 求 出 ，而根据基本不等式即可得出
14、，从而 可得出 与 夹角的最大值 解：， ， ，且 ， 故选：A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若Sn为等差数列an的前n项和，a13，S525，则a5 7 【分析】利用等差数列的求和公式即可得出 解：由题意可得：S525， 解得：a57 故答案为：7 14已知是椭圆的右焦点，且E过点（，1）， 则椭圆E的标准方程为 【分析】利用已知条件求出c，结合椭圆经过的点，列出方程组，求解a，b即可 解：知是椭圆的右焦点，且E过点（，1）， 可得， 所以所求椭圆方程为： 故答案为： 15 在ABC中， 角A，B，C的对边为a，b，c， 若， 则A 【分析】由已知结合正弦
15、定理及和差角公式，辅助角公式进行化简即可求解 解：因为， 由正弦定理可得，sinAcosC+sinCsinAsinC+sinBsinAsinC+sin（A+C） sinAsinC+sinAcosC+sinCcosA， 即 2sin（A+）1，sin（A+）， 故答案为： 16在三棱锥PABC中，BAC90，PAPBPCBC2，则三棱锥PABC外接球 的表面积为 【分析】先判断球心所在位置，再结合勾股定理求解即可 解：因为三棱锥PABC中，BAC90，PAPBPCBC2， 故顶点P在下底面的投影为ABC的外心， 则PD面ABC，且球心在PD上； OPOCRR； 故答案为： 三、 解答题： 共 7
16、0 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知等比数列an的各项均为正，且a1+a212，a4a272 （1）求数列an的通项公式； （2）若，求数列cn的前n项和Tn 【分析】（1）设数列an的公比为q，依题意有，解出利用等比 数列的通项公式即可得出an （2），利用裂项求和方 法即可得出 解：（1）设数列an的公比为q， 依题意有， 因为an的各项均为正，所以q3，a53， （2）， 所以 18成年人收缩压的正常范围是（90，140）（单位：mmHg），未在
17、此范围的献血志愿者不 适合献血，某血站对志愿者的收缩压进行统计，随机抽取男志愿者 100 名、女志愿者 100 名，根据统计数据分别得到如下直方图： （1）根据直方图计算这 200 名志愿者中不适合献血的总人数； （2）估计男志愿者收缩压的中位数； （3）估计女志愿者收缩压的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出m，从而这些男志愿者中有 5 人不适合献血，由此能求出故这些女志愿者中有 15 人不适合献血进崦这些志愿者中 共有 20 人不适合献血 （2）设男志愿者收缩压的中位数为x（mmHg），则 110 x120由此可以估计男志
18、愿 者收缩压的中位数 （3）由 950.05+1050.10+1150.15+1250.35+1350.20+1450.15125，能估 计女志愿者收缩压的平均值为 125（mmHg） 解：（1）由（m+0.010+0.015+80.020+0.030）101 得m0.005， 故这些男志愿者中有 5 人不适合献血， 故这些女志愿者中有 15 人不适合献血 （2）设男志愿者收缩压的中位数为x（mmHg），则 110 x120 因此，可以估计男志愿者收缩压的中位数为 115（mmHg） 因此，可以估计女志愿者收缩压的平均值为 125（mmHg） 19如图，在梯形ABCD中，ABAD，ADBC，A
19、D2AB2BC2，AE平面ABCD，CF平 面ABCD （1）求证：CDEF； （2）AE2，CF3，求点F到平面CDE的距离 【分析】（1）证明CFCDACCD，推出CD平面ACFE，得到CDEF （2）设点F到平面CDE的距离为d，利用通过VFCDEVECDFVACDF，求出点F到平面CDE 的距离 解：（1）证明：因为CF平面ABCD，CD平面ABCD，所以CFCD 因为AD2，ABBC1， 因为AE平面ABCD，CF平面ABCD， 又ACCFC，所以CD平面ACFE， （2）解：由（1）可知，AC平面CDF， 在CDF中， 设点F到平面CDE的距离为d， 所以AE平面CDF，所以VEC
20、DFVACDF， 所以， 即点F到平面CDE的距离为 20已知函数f（x）axlnx，g（x）x 2b，若曲线 yf（x）与yg（x）相交于P（1， 0），且在点P处有相同的切线 （1）求a，b的值； （2）比较f（x）与g（x）的大小关系 【分析】（1）根据两函数在（1，0）处有相同的切线，则在切点处函数值相等，切点处 的导数值相等，列出a，b的方程组求解； （2）作差后构造函数h（x）f（x）g（x），然后讨论函数h（x）的单调性，判断 函数值的符号解决问题 解：（1）由g（1）0，得b1 f（x）a（lnx+3），g（x）2x 所以a2，b1 令，则， 因此 0 x1 时，h（x）h（1
21、）0； 故 7x1 时，f（x）g（x）； x1 时，f（x）g（x） 21已知F为抛物线C：y 22px（p0）的焦点，过 F的直线l与抛物线C交于点A，B当 l的倾斜角为 45时，|AB|4 （1）求抛物线C的方程； （2）M（m，0），当l绕点F旋转时，抛物线C上总存在点N，使得四边形AMBN为平行 四边形（点M，N在直线l的两侧） （）求m的值； （）记平行四边形AMBN的面积为S，求S的最小值 【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，设出A，B的坐标，求得直线l的方程与抛物线 的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程可得p，进而得到抛物线的方程； （2）（i）设l：xty+，与抛物
22、线的方程联立，运用韦达定理，以及平行四边形的性 质，求得N的坐标（关于t的式子），代入抛物线的方程，可得m； （ii）求得y1+y22t，y1y21，运用S2SAMB|MF|y1y2|，结合二次函数的最值 求法，可得所求最小值 解：（1）依题意，设A（x1，y1），B（x2，y8）， 当l的倾斜角为 45时，l：yx， 从而|AB|x1+x2+p5p+p4p，解得p1， （2）（i）设l：xty+，与y 22x 联立得y 82ty10， 设点N（x0，y3），由平行四边形AMBN可得，x1+x2x0+m；y1+y2y4， 又N在抛物线C上，所以（2t） 22（2t2+7m）， （ii）由（i）
23、得，y1+y22t，y7y21， 所以t0 时，S取得最小值为 1 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系xOy中，曲线C：（x1） 2+y21，直线 l：yx以坐标原点O为极 点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线C与直线l的极坐标方程； （2）已知P为曲线C上一点，PHl于H，求SPOH的最大值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2） 利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及二次函数的性质的应 用求出结果 解： （1） 曲线C： （x1） 2+y21， 根据 转换为极坐标方程为 2cos 直线l：yx转换为极坐标方程为 所以|OH|OP|cos（）|2cos 所以 当 cos 21，当 7 时，S POH的最大值为 1 选修 4-5：不等式选讲 23已知xR，y0，x+y2xy （1）若x0，求证：xy1； （2）若x0，求|x|+的最小值 【分析】（1）利用基本不等式，转化证明即可 （2）通过已知条件，利用“1”的代换，结合基本不等式转化求解表达式的最小值即可 【解答】（1）证明：因为x0，y0，x+y2xy，可得 2xy7，所以1，可 得xy1，当且仅当xy1 时取等号 （2）解：因为xR，y0，x+y2xy，可得， 所以当且仅当x，y时，|x|+的最小值为：
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