1、3.13.1 不等式的基本性质不等式的基本性质 学习目标 1.了解等式的基本性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问 题.3.初步学会用作差法(作商法)比较两实数的大小 知识点一 等式的基本性质 1如果 ab 且 bc，那么 ac. 2如果 ab，那么 a cb c. 3如果 ab，那么 acbc，a c b c(c0) 知识点二 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 abbb，bcac 不可逆 3 可加性 abacbc 可逆 4 可乘性 ab，c0acbc c 的符号 ab，c0acb，cdacbd 同向 6 同向同正可乘性 ab0，cd0acbd 同向 7
2、 可乘方性 ab0anbn(nN*) 同正 思考 1 若 ab，cd，那么 acbd 成立吗？acbd 呢？ 答案 acbd 成立，acbd 不一定成立，但 adbc 成立 思考 2 若 ab，cd，那么 acbd 成立吗？ 答案 不一定，但当 ab0，cd0 时，一定成立 1若 ab，则 acbc.( ) 2.a b1ab.( ) 3abacbc.( ) 4. ab， cd acbd.( ) 一、利用不等式的性质判断命题的真假 例 1 对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题是( ) A若 ab，则 ac2bc2 B若 ab0，则1 a 1 b C若 ab a b D若 ab，1 a 1 b
3、，则 a0，bb0，有 ab0 a ab b ab 1 b 1 a，故 B 为假命题； abb01 b 1 a0， abb0 a b b a，故 C 为假命题； abba 1 b 1 a 1 b0 ba ab 0 abb，a0 且 b0，故 D 为真命题 方法二 特殊值排除法 取 c0，则 ac2bc2，故 A 错 取 a2，b1，则1 a 1 2， 1 b1.有 1 a 1 b，故 B 错 取 a2，b1，则b a 1 2， a b2，有 b a a b，故 C 错 反思感悟 利用不等式性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭
4、想当 然随意捏造性质 (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则： 一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算 跟踪训练 1 (多选)若1 a 1 b|b| Bab Caba2 答案 CD 解析 由1 a 1 b0 可得 ba0，从而|a|b|，A，B 均不正确；ab0，则 aba2，D 正确 二、利用不等式的性质证明简单的不等式 例 2 已知 ab0，cd0，e e bd. 证明 因为 cdd0，因为 ab0，所以 acbd0，所以 0 1 ac 1 bd， 又因为 e e bd. 延伸探究 若 ab0，cd0，e e bd2. 证明 cdd0.
5、又ab0，acbd0. (ac)2(bd)20. 两边同乘以 1 ac2bd2，得 1 ac2 1 bd2. 又 e e bd2. 反思感悟 利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用 (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或 跳步推导，更不能随意构造性质与法则 跟踪训练 2 已知 cab0，求证： a ca b cb. 证明 cab0，ca0，cb0，ab， 0ca 1 cb0. 又 ab0 a ca b cb. 三、
6、作差法比较大小 例 3 已知 a，b 均为正实数试利用作差法比较 a3b3与 a2bab2的大小 解 a3b3(a2bab2)(a3a2b)(b3ab2) a2(ab)b2(ba) (ab)(a2b2)(ab)2(ab) 当 ab 时，ab0，a3b3a2bab2； 当 ab 时，(ab)20，ab0，a3b3a2bab2. 综上所述，a3b3a2bab2. 延伸探究 1若 a0，b0，则比较 a5b5与 a3b2a2b3的大小 解 (a5b5)(a3b2a2b3)a5a3b2b5a2b3 a3(a2b2)b3(b2a2)(a2b2)(a3b3) (ab)2(ab)(a2abb2) a0，b0
7、，(ab)20，ab0，a2abb20. a5b5a3b2a2b3. 2对于 anbn，你能有一个更具一般性的猜想吗？ 解 若 a0，b0，nr，n，rN*， 则 anbnarbn ranrbr. 反思感悟 作差法比较两个实数大小的基本步骤： 跟踪训练 3 比较 2x25x3 与 x24x2 的大小 解 (2x25x3)(x24x2)x2x1 x1 2 23 4. x1 2 20， x1 2 23 4 3 40. (2x25x3)(x24x2)0， 2x25x3x24x2. 1设 ba，dbd Bacbd Cacbd Dadbc 答案 C 解析 因为 ba，dc，所以 bdac. 2已知 xa
8、0，则一定成立的不等式是( ) Ax2a2axa2 Cx2axa2ax 答案 B 解析 因为 xaa2； 不等号两边同时乘 x， 则 x2ax， 故 x2axa2. 3已知1aa3a Baa2a3 Ca3aa2 Da2aa3 答案 B 解析 1a0,0a0，a2(a3)a2(1a)0， aa2a3.故选 B. 4已知 a 为实数，则(a3)(a5)_(a2)(a4)(填“”“”或“”) 答案 解析 因为(a3)(a5)(a2)(a4) (a22a15)(a22a8) 70， 所以(a3)(a5)b，则 a2ab_bab2.(填“”或“ 解析 因为(a2ab)(bab2)(ab)2， 又 ab，所以(ab)20. 1知识清单： (1)等式的性质 (2)不等式的性质及其应用 (3)作差法(作商法)比较大小 2方法归纳：作差法(作商法)、特殊值法 3常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性
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