1、20202020 年山东省滨州市高考数学三模试卷年山东省滨州市高考数学三模试卷 一、单项选择题（共 8 小题）. 1设集合Mx|x4n+1，nZ，Nx|x2n+1，nZ，则（ ） AMN BNM CMN DNM 2函数ylnx的图象在点xe（e为自然对数的底数）处的切线方程为（ ） Ax+ey1+e0 Bxey+1e0 Cx+ey0 Dxey0 3已知xR，当复数zx+（x3）i的模长最小时，z的虚部为（ ） A B2 C2 D2i 4 已知m，n为两条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面， 则下列命题正确的是 （ ） A若m，n，则mn B若 ， 且 m，则m C若m，n，m，n，则 D若
2、m，n，则mn 5已知随机变量 服从正态分布N（0，1），如果P（1）0.8413，则P（1 0）（ ） A0.3413 B0.6826 C0.1587 D0.0794 6分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科其中把部分与整体以某种方 式相似的形体称为分形分形是一种具有自相似特性的现象图象或者物理过程标准 的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构也就是说，在分形中，每一 组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已谢尔宾斯基三角形就是一 种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出的，其构造方法如下：取一个 实心的等边三角形（如图 1），沿三边的中点连
3、线，将它分成四个小三角形，挖去中间的 那一个小三角形（如图 2），对其余三个小三角形重复上述过程（如图 3）若图 1（阴 影部分）的面积为 1，则图 4（阴影部分）的面积为（ ） A B C D 7已知抛物线C：y 24x 与圆E：（x1） 2+y29 相交于 A，B两点，点M为劣弧上不 同A，B的一个动点，平行于x轴的直线MN交抛物线于点N，则MNE的周长的取值范围 为（ ） A（3，5） B（5，7） C（6，8） D（6，8 8 已知O是三角形ABC内部一点， 满足+2+m ， 则实数m （ ） A2 B3 C4 D5 二、多项选择题（共 4 小题）. 92020 年 3 月 12 日，
4、国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放 40 年，特别是党的十 八大以来我国脱贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩，这些成绩为全面脱贫初步建成小康 社会奠定了坚实的基础 如图是统计局公布的 2010 年2019 年年底的贫困人口和贫困发 生率统计表则下面结论正确的是（ ） 【年底贫困人口的线性回归方程为（其中x年份2009），贫困 发生率的线性回归方程为（其中x年份2009）】 A2010 年2019 年十年间脱贫人口逐年减少，贫困发生率逐年下降 B2012 年2019 年连续八年每年减贫超过 1000 万，且 2019 年贫困发生率最低 C2010 年2019 年十年间超过 1.65 亿人脱贫，
5、其中 2015 年贫困发生率低于 6% D根据图中趋势线可以预测，到 2020 年底我国将实现全面脱贫 10已知曲线，则下面结论正确的是（ ） A把C1上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个 单位长度，得到曲线C2 B把C1上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个 单位长度，得到曲线C2 C把C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍纵 坐标不变，得到曲线C2 D把C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵 坐标不变，得到曲线C2 11已知曲线C：x 2+y22|x|+2|y|，则曲线 C（ ）
6、A关于x轴对称 B关于y轴对称 C关于原点对称 D所围成图形的面积为 8+4 12已知函数f（x）e x+ex+|x|则下面结论正确的是（ ） Af（x）是奇函数 Bf（x）在0，+）上为增函数 C若x0，则 D若f（x1）f（1），则 0 x2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13的展开式中，x 6的系数为 14已知 ，（0，），sin+sinsin，cos+coscos，则 cos （） ， 15已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，PA平面ABC，PA2BC6，ABAC，则 球O的表面积为 16已知函数f（x）若x13，+），x23，+ ），使得f（x1）
7、h（x2），则实数a的最大值为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17如图，半圆O的直径AB2，点C在AB的延长线上，BC1，点P为半圆上异于A，B 两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角PCD，且点D与圆心O分布在PC的两 侧，设PAC （1）把线段PC的长表示为 的函数； （2）求四边形ACDP面积的最大值 18在下面的数表中，各行中的致从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上 到下依次成公比为正数的等比数列，且公比都相等，a（n，m）表示第n行，第m列的数已 知a（1，1）1，a（2，2）4，a（3，3）12 第一列 第二列
8、第三列 第四列 第一行 a（1，1） a（1，2） a（1，3） a（1，4） 第二行 a（2，1） a（2，2） a（2，3） a（2，4） 第三行 a（3，1） a（3，2） a（3，3） a（3，4） 第四行 a（4，1） a（4，2） a（4，3） a（4，4） （1）求数列a（n，2）的通项公式； （2）设，求数列cn的前n项和Sn 19在如图所示的圆柱O1O2中，AB为圆O1的直径，C，D是的两个三等分点，EA，FC，GB 都是圆柱O1O2的母线 （1）求证：FO1平面ADE； （2） 设BC1， 已知直线AF与平面ACB所成的角为 30， 求二面角AFBC的余弦值 20在平面直角
9、坐标系xOy中， 已知点，直线l：x2，动点P满足到点Q的距离与到直线l的距离之 比为 已知点是圆E：x 2+y22 x210 上一个动点，线段HG的垂直平 分线交GE于P 点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|3，动点P满足 （1）在，这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程； （2）设圆O：x 2+y22 上任意一点 A处的切线交轨迹C于M，N两点，试判断以MN为直 径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标若不过定点，请说明理由 21近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首 位 某电动汽车厂新开发了一款电动汽车 并对该电动汽车的电池使用情况进行
10、了测试， 其中剩余电量y与行驶时问x（单位：小时）的测试数据如表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 2.77 2 1.92 1.36 1.12 1.09 0.74 0.68 0.53 0.45 （1）根据电池放电的特点，剩余电量y与行驶时间x之间满足经验关系式：yae bx，通 过散点图可以发现y与x之间具有相关性 设 lny， 利用表格中的前 8 组数据求相关 系数r，并判断是否有 99%的把握认为x与 之间具有线性相关关系；（当相关系数r 满足|r|0.789 时，则认为有 99%的把握认为两个变量具有线性相关关系） （2）利用x与 的相关性及表格中前 8 组数据求出y与
11、x之间的回归方程；（结果保 留两位小数） （3）如果剩余电量不足 0.8，电池就需要充电从表格中的 10 组数据中随机选出 8 组， 设X表示需要充电的数据组数，求X的分布列及数学期望 附： 相关数据： 表格中前8组数据的一些相关量： ， ， 相关公式：对于样本（i，ui）（i1，2，3，n），其回归直线的斜率 和戗距的最小二乘估计公式分别为：， 相关系数 22已知函数f（x）e x（x+a），其中 e是自然对数的底数，aR （1）求函数f（x）的单调区间； （2）设g（x）f（xa）x 2，讨论函数 g（x）零点的个数，并说明理由 参考答案 一、单项选择题（共 8 小题）. 1设集合Mx|x
12、4n+1，nZ，Nx|x2n+1，nZ，则（ ） AMN BNM CMN DNM 【分析】由分类讨论的数学思想方法得：当n2m，mZ 时，x4m+1，mZ，当 n2m+1，mZ 时，x4m+3，mZ，由集合的包含关系得：MN，得解 解：当n2m，mZ 时，x4m+1，mZ， 当n2m+1，mZ 时，x4m+3，mZ， 集合Nx|x4m+1 或x4m+3，mZ， 即MN， 故选：A 2函数ylnx的图象在点xe（e为自然对数的底数）处的切线方程为（ ） Ax+ey1+e0 Bxey+1e0 Cx+ey0 Dxey0 【分析】求得ylnx的导数，可得切线的斜率，求得切点，由点斜式方程可得所求切线
13、的方程 解：ylnx的导数为y， 可得函数ylnx的图象在点xe处的切线斜率为k， 则切线的方程为y1（xe）， 故选：D 3已知xR，当复数zx+（x3）i的模长最小时，z的虚部为（ ） A B2 C2 D2i 【分析】写出|z|，利用二次函数求最值可得|z|最小时x的值，代入zx+（x3）i 得答案 解：zx+（x3）i， |z|， z的虚部为2 故选：C 4 已知m，n为两条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面， 则下列命题正确的是 （ ） A若m，n，则mn B若 ， 且 m，则m C若m，n，m，n，则 D若m，n，则mn 【分析】利用空间线面面面平行与垂直的判定定理即可判断出正误
14、 解：A若m，n，则mn，相交，或为异面直线，因此不正确； B若 ， 且 m，则m，因此正确； D若m，n，则m与n不一定垂直，因此不正确 故选：B 5已知随机变量 服从正态分布N（0，1），如果P（1）0.8413，则P（1 0）（ ） A0.3413 B0.6826 C0.1587 D0.0794 【分析】由已知直接利用正态分布曲线的对称性求解 解：依题意得：P（1）1P（1）10.84130.1587， P（40） 故选：A 6分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科其中把部分与整体以某种方 式相似的形体称为分形分形是一种具有自相似特性的现象图象或者物理过程标准 的自相似分形是数
15、学上的抽象，迭代生成无限精细的结构也就是说，在分形中，每一 组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已谢尔宾斯基三角形就是一 种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出的，其构造方法如下：取一个 实心的等边三角形（如图 1），沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的 那一个小三角形（如图 2），对其余三个小三角形重复上述过程（如图 3）若图 1（阴 影部分）的面积为 1，则图 4（阴影部分）的面积为（ ） A B C D 【分析】根据下一个图形的阴影部分面积为上一个图形的阴影部分面积的，即可算出 结果 解：图 1 的阴影部分的面积为：1； 图 2 的阴影部分
16、的面积为：1； 所以图 4 的阴影部分的面积为：； 故选：C 7已知抛物线C：y 24x 与圆E：（x1） 2+y29 相交于 A，B两点，点M为劣弧上不 同A，B的一个动点，平行于x轴的直线MN交抛物线于点N，则MNE的周长的取值范围 为（ ） A（3，5） B（5，7） C（6，8） D（6，8 【分析】过M作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得ENNH故MNE的周 长lNH+NM+MEMH+3，只需求得MH的取值范围即可 解：如图，可得圆心E（0，1）也是抛物线的焦点， 过M作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得ENNH 由可得A（2，2）， MH的取值范围为（3，5）
17、故选：C 8 已知O是三角形ABC内部一点， 满足+2+m ， 则实数m （ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据条件可以得出，并设，这样即可得出A，B， M三点共线，画出图形，并得到，从而解出m的值 解：如图，令，则： A，B，M三点共线； ； 故选：C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得 5 分部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 92020 年 3 月 12 日，国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放 40 年，特别是党的十 八大以来我国脱贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩，这些成绩为全面脱贫初步建成
18、小康 社会奠定了坚实的基础 如图是统计局公布的 2010 年2019 年年底的贫困人口和贫困发 生率统计表则下面结论正确的是（ ） 【年底贫困人口的线性回归方程为（其中x年份2009），贫困 发生率的线性回归方程为（其中x年份2009）】 A2010 年2019 年十年间脱贫人口逐年减少，贫困发生率逐年下降 B2012 年2019 年连续八年每年减贫超过 1000 万，且 2019 年贫困发生率最低 C2010 年2019 年十年间超过 1.65 亿人脱贫，其中 2015 年贫困发生率低于 6% D根据图中趋势线可以预测，到 2020 年底我国将实现全面脱贫 【分析】根据统计表计算出每年脱贫的
19、人口，由此判断出正确选项 解：每年脱贫的人口如下表所示： 期初 期末 脱贫人口 2009 年底至 2010 年底 16566 2010 年底至 2011 年底 16566 12238 4328 2011 年底至 2012 年底 12238 9899 2339 2012 年底至 2013 年底 9899 8249 1650 2013 年底至 2014 年底 8249 7017 1232 2014 年底至 2015 年底 7017 5575 1442 2015 年底至 2016 年底 5575 4335 1240 2016 年底至 2017 年底 4335 3046 1289 2017 年底至 2
20、018 年底 3046 1660 1386 2018 年底至 2019 年底 1660 551 1109 由于缺少 2009 年年底数据，故无法统计十年间脱贫人口的数据，故A，C选项错误根 据上表可知：2012 年 2019 年连续八年每年减贫超过 1000 万， 根据上表可知，2012 年 2019 年连续八年每年减贫超过 1000 万， 综上所述，正确的选项为BD 故选：BD 10已知曲线，则下面结论正确的是（ ） A把C1上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个 单位长度，得到曲线C2 B把C1上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个 单位
21、长度，得到曲线C2 C把C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍纵 坐标不变，得到曲线C2 D把C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵 坐标不变，得到曲线C2 【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 解：把C1上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得y2sin2x的图象； 再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2：y3sin（2x+）的图象 再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 故选：AC 11已知曲线C：x 2+y22|x|+2|y|，则曲线 C（ ） A关于x轴对称 B关于y轴对称
22、C关于原点对称 D所围成图形的面积为 8+4 【分析】通过x代替x，判断曲线是否关于y轴对称；y代替y，判断曲线是否关于x 轴对称；x代替x，y代替y，判断曲线是否关于原点对称；求出所围成图形的面积 判断D的正误即可 解： 曲线C：x 2+y22|x|+2|y|， x 代替x， 可得x 5+y22|x|+2|y|， 曲线关于 y轴对称； y代替y，可得x 2+y22|x|+2|y|，曲线关于 x轴对称； x0，y0 时，曲线C：x 2+y22|x|+7|y|2x+2y，即 x 2+y22x4y0 与 x轴，y轴 所围成图形是一个半圆与体积三角形，它的面积， 故选：ABCD 12已知函数f（x）
23、e x+ex+|x|则下面结论正确的是（ ） Af（x）是奇函数 Bf（x）在0，+）上为增函数 C若x0，则 D若f（x1）f（1），则 0 x2 【分析】 由函数的奇偶性判定选项A； 求导， 由导数与函数的单调性的关系可判定选项B； 利用基本不等式及函数的单调性奇偶性即可判定选项C； 由函数的奇偶性解不等式即可判 断选项D 解：已知函数f（x）e x+ex+|x|则 f（x）e x+ex+|x|ex+ex+|x|f（x）， 故函数f（x）为偶函数，故选项A错误； 所以函数f（x）为增函数，故选项B正确； 又由f（x）在（0，+）上为增函数， 又由函数yx+为奇函数， f（x+）f（x）e
24、2+2， 由与函数f（x）为偶函数，由f（x1）f（1），得f（|x1|）f（|1|）， 故选：BCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13的展开式中，x 6的系数为 30 【分析】求出（x） 10展开式中含 x 4项、x6项的系数，从而得出 的 展开式中x 6的系数， 解：（x） 10展开式的通项公式为：T r+1x 10r （1） r x 102r； 令 102r3，解得r3，所以x 4项的系数为 120； 所以（x 2+8）（x ） 10的展开式中 x 6的系数为： 故答案为：30 14已知 ，（0，），sin+sinsin，cos+coscos，则 cos
25、（） ， 【分析】由同角度的三角函数关系和三角恒等变换，求出 cos（）的值，再根据角 的取值范围求得 的值 解：由 sin+sinsin，cos+coscos， 得 sinsinsin，coscoscos； 即 22sinsin2coscos1， 解得 cos（）； 所以 sinsin， 所以0， 故答案为：， 15已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，PA平面ABC，PA2BC6，ABAC，则 球O的表面积为 45 【分析】首先求出球心，进一步确定球的半径即可求得结论 解：已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，PA平面ABC，PA2BC6，ABAC， 如图所示：取BC的中点D，连接
26、AD，过D 作面ABC的垂线DO， 则ADBC，ODPA3， 球O的表面积为 8R 245 故答案为：45 16已知函数f（x）若x13，+），x23，+ ），使得f（x1）h（x2），则实数a的最大值为 2 【分析】求得f（x）的导数，判断f（x）在3，+）的单调性，求得值域A；再由指数 函数的单调性，可得h（x）的值域B，由题意可得AB，可得a的不等式，解不等式可 得a的最大值 解：f（x）x+， 导数为f（x）1， 即有f（x）在3，+）递增，可得f（x）的最小值为f（3）4， 由h（x）a x4（a1）在3，+）递增， 由x16，+），x23，+），使得f（x8）h（x2）， 则a 3
27、44，解得 a2， 故答案为：2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17如图，半圆O的直径AB2，点C在AB的延长线上，BC1，点P为半圆上异于A，B 两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角PCD，且点D与圆心O分布在PC的两 侧，设PAC （1）把线段PC的长表示为 的函数； （2）求四边形ACDP面积的最大值 【分析】 （1） 依题设知APB是以APB为直角的直角三角形， 由已知得到PA2cos， 在PAC中，由余弦定理求解PC，即可把线段PC的长表示为 的函数； （2）设四边形ACDP面积为S，由三角形APC与三角形PCD的面积和写出S
28、，再由三角恒 等变换变形，再由三角函数求最值 解：（1）依题设知APB是以APB为直角的直角三角形 又AB2，PAB，PA2cos， PC 2PA2+AC22PAACcos PC，定义域为|0； 则S sin（2+）+，其中 cos，sin， 当 sin（3+）1 时，S取得最大值为 18在下面的数表中，各行中的致从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上 到下依次成公比为正数的等比数列，且公比都相等，a（n，m）表示第n行，第m列的数已 知a（1，1）1，a（2，2）4，a（3，3）12 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 a（1，1） a（1，2） a（1，3） a（1，4）
29、第二行 a（2，1） a（2，2） a（2，3） a（2，4） 第三行 a（3，1） a（3，2） a（3，3） a（3，4） 第四行 a（4，1） a（4，2） a（4，3） a（4，4） （1）求数列a（n，2）的通项公式； （2）设，求数列cn的前n项和Sn 【分析】（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是d（d0），各列中的 数从上到下组成的等比数列的公比是q（q0） ， 推出q（1+d） 4 q 2 （1+2d） 12 求出公差与公比，然后求解通项公式 （2）通过求出bn，化简，利用等比数列 以及裂项消项法求解数列的和即可 解：（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公
30、差是d（d0）， 各列中的数从上到下组成的等比数列的公比是q（q0）， 联立解得，或（舍去） 所以 所以， 所以Snc1+c7+c3+cn 1+cn 19在如图所示的圆柱O1O2中，AB为圆O1的直径，C，D是的两个三等分点，EA，FC，GB 都是圆柱O1O2的母线 （1）求证：FO1平面ADE； （2） 设BC1， 已知直线AF与平面ACB所成的角为 30， 求二面角AFBC的余弦值 【分析】（1）连接O1C，O1D，易推出AO1D，CO1D，BO1C均为等边三角形，从而得 四边形ADCO1是平行四边形，故CO1AD；由圆柱母线的性质知EAFC；再由面面平行判 定定理的推论可得平面FCO1平
31、面ADE，进而得证 （2）连接AC，由FC平面ACB，知FAC为直线AF与平面ACB所成的角，于是可求得 AC，FC1；先证明AC平面FBC，得ACFB；再作CHFB于点H，连接AH，于是 有FB平面ACH，故FBAH，可说明AHC是二面角AFBC的平面角；最后求得CH 和AH的长后，由 cosAHC即可得解 【解答】（1）证明：连接O1C，O1D， 因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以AO1DDO1CCO6B60， 所以O1AADDCCO1，所以四边形ADCO1是平行四边形 因为EA，FC都是圆柱O1O2的母线，所以EAFC 所以平面FCO8平面ADE， 因为FC是圆柱O1O2的母线， 所
32、以FC平面ACB， 所以FAC为直线AF与平面ACB所成的 角，即FAC30 在 RtABC中，ABC60，BC1，所以， 因为ACBC，ACFC，BCFCC，BC、FC平面FBC，所以AC平面FBC， 在FBC内，作CHFB于点H，连接AH 又AH平面ACH，所以FBAH，所以AHC是二面角AFBC的平面角 在 RtACH中， 故二面角AFBC的余弦值为 20在平面直角坐标系xOy中， 已知点，直线l：x2，动点P满足到点Q的距离与到直线l的距离之 比为 已知点是圆E：x 2+y22 x210 上一个动点，线段HG的垂直平 分线交GE于P 点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|3，动点P
33、满足 （1）在，这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程； （2）设圆O：x 2+y22 上任意一点 A处的切线交轨迹C于M，N两点，试判断以MN为直 径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标若不过定点，请说明理由 【分析】（1）若选由两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简可得轨迹方程； 若选，由线段的垂直平分线的性质和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；若选运用 坐标变换和圆的方程，可得轨迹方程； （2）讨论切线的斜率不存在，求得切线方程，以及以MN为直径的圆的方程，可得交点； 当切线斜率存在时，设切线方程为ykx+m，运用直线和圆相切的条件，以及与椭圆方程 联立，运用韦达定理，运用向量的
34、数量积的性质，计算，即可得到结论 解：（1）若选 设P（x，y），根据题意得， 所以动点P的轨迹C的方程为 由， 所以， 所以动点P的轨迹C的方程为 设P（x，y），S（x，0），T（0，y），则x 7+y29，（*） 所以 将其代入， （6）当过点A且与圆O相切的切线斜率不存在时，切线方程为 当切线方程为为直径的圆的方程 为 当过点A且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为ykx+m， 联立切线与椭圆C的方程并消去y，得（7+2k 2）x2+4kmx+2m265 所以切线与椭圆C恒有两个交点 因为， 所以以MN为直径的圆过原点（0，0） 综上所述，以MN为直径的圆过定点（0，0） 21近年
35、来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首 位 某电动汽车厂新开发了一款电动汽车 并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试， 其中剩余电量y与行驶时问x（单位：小时）的测试数据如表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 2.77 2 1.92 1.36 1.12 1.09 0.74 0.68 0.53 0.45 （1）根据电池放电的特点，剩余电量y与行驶时间x之间满足经验关系式：yae bx，通 过散点图可以发现y与x之间具有相关性 设 lny， 利用表格中的前 8 组数据求相关 系数r，并判断是否有 99%的把握认为x与 之间具有线性相关关系；（当相
36、关系数r 满足|r|0.789 时，则认为有 99%的把握认为两个变量具有线性相关关系） （2）利用x与 的相关性及表格中前 8 组数据求出y与x之间的回归方程；（结果保 留两位小数） （3）如果剩余电量不足 0.8，电池就需要充电从表格中的 10 组数据中随机选出 8 组， 设X表示需要充电的数据组数，求X的分布列及数学期望 附： 相关数据： 表格中前8组数据的一些相关量： ， ， 相关公式：对于样本（i，ui）（i1，2，3，n），其回归直线的斜率 和戗距的最小二乘估计公式分别为：， 相关系数 【分析】（1）求出相关系数，然后判断是否有 99%的把握认为两个变量具有线性相关关 系 （2）对
37、yae bx两边取对数得 lnylna+bx，设， 求出回归直线方程的形式，得到回归直线方程，即可转化求解结果 （3）X的所有可能取值为 2，3，4求出概率，得到分布列，然后求解期望 解：（1）由题意知， 因为|r|4.990.789，所以有 99%的把握认为x与 之间具有线性相关关系 设， 易知. 所以所求的回归方程为 所以X的分布列如下： X 2 3 4 P X的数学期望为 22已知函数f（x）e x（x+a），其中 e是自然对数的底数，a一、选择题 （1）求函数f（x）的单调区间； （2）设g（x）f（xa）x 2，讨论函数 g（x）零点的个数，并说明理由 【分析】（1）求导，解关于导函
38、数的不等式即可得出结论； （2）分析可知，只需讨论函数h（x）e xax 零点的个数，然后分类讨论即可得出结 论 解：（1）因为f（x）e x（x+a）， 所以f（x）e x（x+a+1）（1 分） 由f（x）0，得xa1 （2）因为g（x）f（xa）x 2xexax2x（exax） 设h（x）e xax， 故只需再讨论函数h（x）零点的个数 所以当x（，a）时，h（x）4，h（x）单调递减； 所以当xa时，h（x）取得最小值h（a）1a 当h（a）0，即a1 时，h（x）0，h（x）无零点； 当h（a）0，即a1 时，h（x）有唯一零点； 当h（a）7，即a1 时， 因为h（0）e a0， 令x2a，则h（2a）e a4a 所以 （a）在（1，+）上单调递增， 所以h（2a）（a）e a2a7 所以当a1 时，h（x）有两个零点 当a1 时，g（x）有两个零点； 当a1 时，g（x）有三个零点
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