1、第第 2121 章一元二次方程单元复习综合练习题章一元二次方程单元复习综合练习题 1已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+2k40 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围： （2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值及该方程的根 2 某学校机房有100台学生电脑和1台教师用电脑， 现在教师用 电脑被某种电脑病毒感染， 且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 16 台电脑被感 染 （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 3已知：平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 的
2、长是关于 x 的方程 x2mx+0 的两 个实数根 （1）m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若 AB 的长为 2，那么ABCD 的周长是多少？ 4如图 1，某小区的平面图是一个占地长 500 米，宽 400 米的矩形，正中央的建筑区是与 整个小区长宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的 19%，南北 空地等宽，东西空地等宽 （1）求该小区四周的空地的 宽度； （2）如图 2，该小区在东、西、南三块空地上做如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑 区之间为小区道路，小区道路宽度一致已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为 200 米，南侧绿化带的长为
3、300 米，绿化面积为 5500 平方米，请算出小区道路的宽度 5 随着人民生活水平的不断提高， 萧山区家庭轿车的拥有量逐年增加 据统计， 某小区 2018 年底拥有家庭轿车 81 辆，2020 年底家庭轿车的拥有量达到 144 辆 （1）若该小区 2018 年底到 2020 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区 到 2020 年底家庭轿车将达到多少辆？ （2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 25 万元再建造若干个停车位据测算，建造 费用分别为室内车位 6000 元/个，露天车位 2000 元/个，考虑到实际因素，计划露天车位 的数量不少于室内车位的 3 倍， 但不超过室内车位的
4、 4.5 倍， 求该小区最多可建两种车位 各多少个？试写出所有可能的方案 6已知实数 a、b 满足 a2+ab+b21，且 taba2b2，求 t 的取值范围 7已知 k 为非负实数，关于 x 的方程 x2（k+1）x+k0 和 kx2（k+2）x+k0 （1）试证：前一个方程必有两个非负实数根； （2）当 k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根 8 已知关于 x 的分式方程2和一元二次方程 mx23mx+m10中， m 为常数， 方程的根为非负数 （1）求 m 的取值范围； （2）若方程有两个整数根 x1、x2，且 m 为整数，求方程的整数根 9某电器商社从厂家购进了 A，B 两种型号
5、的空气净化器，已知一台 A 型空气净化器的进 价比一台 B 型空气净化器的进价多 300 元， 用 7500 元购进 A 型空气净化器和用 6000 元 购进 B 型空气净化器的台数相同 （1）求一台 A 型空气净化器和一台 B 型空气净化器的进价各为多少元？ （2）在销售过程中，A 型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎为 了增大 B 型空气净化器的销量，电器商社决定对 B 型空气净化器进行降价销售，经市场 调查，当 B 型空气净化器的售价为 1800 元时，每天可卖出 4 台，在此基础上，售价每降 低 50 元， 每天将多售出 1 台， 如果每天电器商社销售 B 型空气净化器
6、的利润为 3200 元， 请问电器商社应将 B 型空气净化器的售价定为多少元？ 10已知实数 m、n 满足 3m2+6m50，3n2+6n50，求的值 11已知关于 x 的方程 x2（m2）x0 （1）求证：无论 m 为何值，方程总有两个不相等实数根 （2）设方程的两实数根为 x1，x2，且满足（x1+x2）2|x1|x2|+2，求 m 的值 12某文具店去年 8 月底购进了一批文具 1160 件，预计在 9 月份进行试销购进价格为每 件 10 元若售价为 12 元/件，则可全部售出若每涨价 0.1 元销售量就减少 2 件 （1）求该文具店在 9 月份 销售量不低于 1100 件，则售价应不高
7、于多少元？ （2）由于销量好，10 月份该文具进价比 8 月底的进价每件增加 20%，该店主增加了进 货量，并加强了宣传力度，结果 10 月份的销售量比 9 月份在（1）的条件下的最低销售 量增加了 m%，但售价比 9 月份在（1）的条件下的最高售价减少m%结果 10 月份 利润达到 3388 元，求 m 的 值（m10） 13 已知方程 x2+px+q0 的两个根是 x1， x2， 那么 x1+x2p， x1x2q， 反过来， 如果 x1+x2 p，x1x2q，那么以 x1，x2为两根的一元二次方程是 x2+px+q0请根据以上结论， 解决下列问题： （1）已知关于 x 的方程 x2+mx+
8、n0（n0） ，求出一个一元二次方程，使它的两根分别 是已知方程两根的倒数 （2）已知 a、b 满足 a215a50，b215b50，求的值 （3）已知 a、b、c 均为实数，且 a+b+c0，abc16，求正数 c 的最小值 14如图，在矩形 ABCD 中，AB10cm，AD8cm，点 P 从点 A 出发沿 AB 以 2cm/s 的速 度向点终点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 B C 以 1cm/s 的速度向点终点 C 运动，它们 到达终点后停止运动 （1）几秒后，点 P、D 的距离是点 P、Q 的距离的 2 倍； （2）几秒后，DPQ 的面积是 24cm2 15已知关于 x 的一
9、元二次方程 mx2（4m+1）x+3m+30 的两个不等实数根分别为 x1， x2，nx2x12，设点 A（1，a） ，B（b，2）两点在动点 P（m，n）所形成的曲线上 （1）求 P 点所在的曲线解析式； （2）求直线 AB 的解析式； 16已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 4kx 24kx+k+10 的两个实数根 （1）是否存在实数 k，使（2x1x2） （x12x2）成立？若存在，求出 k 的值；若 不存在，说明理由； （2）求使+2 的值为整数的实数 k 的整数值； （3）若 k2，试求 的值 参考答案 1已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+2k40 有两个不相等的实数
10、根 （1）求 k 的取值范围： （2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值及该方程的根 【解答】解： （1）依题意得224（2k4）0， 解得：k： （2）因为 k且 k 为正整数， 所以k1 或 2， 当 k1 时，方程化为 x2+2x20，12，此方程无整数根； 当 k2 时，方程化为 x2+2x0 解得 x10，x22， 所以 k2，方程的有整数根为 x10，x22 2 某学校机房有 100 台学生电脑和 1 台教师用电脑， 现在教师用电脑被某种电脑病毒感染， 且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 16 台电脑被感 染 （1）每轮感染中平均一台
11、电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【解答】解： （1）设每轮感染中平均每一台电脑会感染 x 台电脑，依题意得： 1+x+（1+x）x16， 整理得（1+x）216， 则 x+14 或 x+14， 解得 x13，x25（舍去） 答：每轮感染中平均一台电脑会感染 3 台电脑； （2）n 轮后，有（1+x）n台电脑被感染， 故（1+3）n4n， n3 时，4364， n4 时，44256 答：4 轮感染后机房内所有电脑都被感染 3已知：平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+0 的两 个实数根 （1）m 为何值
12、时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若 AB 的长为 2，那么ABCD 的周长是多少？ 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是菱形， ABAD 又AB、AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+0 的两个实数根， （m）24（）（m1）20， m1， 当 m 为 1 时，四边形 ABCD 是菱形 当 m1 时，原方程为 x2x+0，即（x）20， 解得：x1x2， 菱形 ABCD 的边长是 （2）把 x2 代入原方程，得：42m+0， 解得：m 将 m代入原方程，得：x2x+10， 方程的另一根 AD12， ABCD 的周长是 2（2+）5 4如图 1，某小区的平面图是一
13、个占地长 500 米，宽 400 米的矩形，正中央的建筑区是与 整个小区长宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的 19%，南北 空地等宽，东西空地等宽 （1）求该小区四周的空地的宽度； （2）如图 2，该小区在东、西、南三块空地上做如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑 区之间为小区道路，小区道路宽度一致已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为 200 米，南侧绿化带的长为 300 米，绿化面积为 5500 平方米，请算出小区道路的宽度 【解答】解： （1）建筑区的面积是 500400（119%）162000（平方米） 设建筑区的长度为 5x 米，则宽为 4x 米根据题意得： 5x
14、4x162000， 整理得 x28100， 解得 x190，x290（不合题意） ， 则东西两侧道宽： （5005x）225（米） ， 南北两侧道宽： （4004x）220（米） 答：小区的东西两侧道宽为 25 米，南北两侧道宽为 20 米； （2）设小区道路的宽度为 z 米，则 （20z）300+2（25z）2005500， 解得 z15 答：小区道路的宽度是 15 米 5 随着人民生活水平的不断提高， 萧山区家庭轿车的拥有量逐年增加 据统计， 某小区 2007 年底拥有家庭轿车 81 辆，2009 年底家庭轿车的拥有量达到 144 辆 （1）若该小区 2007 年底到 2009 年底家庭轿
15、车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区 到 2010 年底家庭轿车将达到多少辆？ （2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 25 万元再建造若干个停车位据测算，建造 费用分别为室内车位 6000 元/个，露天车位 2000 元/个，考虑到实际因素，计划露天车位 的数量不少于室内车位的 3 倍， 但不超过室内车位的 4.5 倍， 求该小区最多可建两种车位 各多少个？试写出所有可能的方案 【解答】解： （1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为 x， 根据题意得：81（1+x）2144， 解得：x1，x2（不合题意，舍去） ， 144（1+）192， 答：该小区到 2010 年底家庭轿车将达到 192
16、辆； （2）设建造室内车位 a 个，可建车位总数为 w 个，则建造室外车位（1253a）个，根 据题意得： 3a1253a4.5a， 解得：a wa+1253a2a+125， 当整数 a 取最小值 17 时，w 取最大值，最大值为 91， 答：该小区最多可建车位总共 91 个 6已知实数 a、b 满足 a2+ab+b21，且 taba2b2，求 t 的取值范围 【解答】解：由已知得， （a+b）2ab1，t（a+b）2+3ab， 由此可得：ab，a+b（t3） ， a，b 是关于方程 x2x+0 的两个实根， 由2（t+1）0，解得 t， 故 t 的取值范围是3t 故答案为：3t 7已知 k
17、为非负实数，关于 x 的方程 x2（k+1）x+k0 和 kx2（k+2）x+k0 （1）试证：前一个方程必有两个非负实数根； （2）当 k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根 【解答】 （1）证明：x2（k+1）x+k0， （k+1）24kk22k+1（k1）20， 即方程关于 x 的方程 x2（k+1）x+k0 一定有两个实数根； 设方程的两根为 x1，x2， 则根据根与系数的关系得：x1+x2k+1，x1x2k， k 为非负实数， x1+x2k+10，x1x2k0， 由 x1x2k0 得出方程有同号两个根或有一个根为 0； 由 x1+x2k+10，x1x2k0 得出方程有两个正实数
18、根或有一个根为 0， 所以方程 x2（k+1）x+k0 必有两个非负实数根； （2）x2（k+1）x+k0， （k+1）24kk22k+1（k1）20， 方程的根为， 即方程的根为 k 和 1； 当相同的根是 k 时，把 xk 代入方程 kx2（k+2）x+k0 得：k3（k+2）k+k0， 解得：k0 或 k或 k， k 为非负实数， k舍去， k符合题意； 当相同的根是 1 时，把 x1 代入方程 kx2（k+2）x+k0 得：k（k+2）+k0， 解得：k2； 所以当 k2 或 0 或时，述两个方程有一个相同的实数根 8 已知关于 x 的分式方程2和一元二次方程 mx23mx+m10中，
19、 m 为常数， 方程的根为非负数 （1）求 m 的取值范围； （2）若方程有两个整数根 x1、x2，且 m 为整数，求方程的整数根 【解答】解： （1）关于 x 的分式方程的根为非负数， x0 且 x1 又，且， 解得 m3 且 m1 又方程 mx23mx+m10 为一元二次方程， m0 综上可得：m3 且 m1，m0 （2）一元二次方程 mx23mx+m10 有两个整数根 x1、x2，m 为整数， x1+x23， 为整数，m1 或1， 又m3 且 m1，m0， m1， 方程为 x23x0， 解得：x3 或 x0 9某电器商社从厂家购进了 A，B 两种型号的空气净化器，已知一台 A 型空气净化
20、器的进 价比一台 B 型空气净化器的进价多 300 元， 用 7500 元购进 A 型空气净化器和用 6000 元 购进 B 型空气净化器的台数相同 （1）求一台 A 型空气净化器和一台 B 型空气净化器的进价各为多少元？ （2）在销售过程中，A 型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎为 了增大 B 型空气净化器的销量，电器商社决定对 B 型空气净化器进行降价销售，经市场 调查，当 B 型空气净化器的售价为 1800 元时，每天可卖出 4 台，在此基础上，售价每降 低 50 元， 每天将多售出 1 台， 如果每天电器商社销售 B 型空气净化器的利润为 3200 元， 请问电器商社
21、应将 B 型空气净化器的售价定为多少元？ 【解答】 解：（1） 设每台 B 型空气净化器的进价为 x 元， 则每台 A 型净化器的进价为 （x+30 0）元， 根据题意得：， 解得：x1200， 经检验，x1200 是原方程的根， x+3001500 答：每台 B 型空气净化器的进价为 1200 元，每台 A 型空气净化器的进价为 1500 元 （2）设 B 型空气净化器的售价为 x 元， 根据题意得： （x1200） （4+）3200， 整理得： （x1600）20， 解得：x1x21600 答：电器商社应将 B 型空气净化器的售价定为 1600 元 10已知实数 m、n 满足 3m2+6m
22、50，3n2+6n50，求的值 【解答】解：若 mn， 实数 m、n 满足 3m2+6m50，3n2+6n50， m、n 是方程 3x2+6x50 的两根， m+n2，mn， ； 若 mn，则1+12； 综上可知的值为或 2 11已知关于 x 的方程 x2（m2）x0 （1）求证：无论 m 为何值，方程总有两个不相等实数根 （2）设方程的两实数根为 x1，x2，且满足（x1+x2）2|x1|x2|+2，求 m 的值 【解答】解： （1）（m2） 24（ ）2m24m+42（m1）2+20， 方程总有两个不相等的实数根； （2）x1x20， x1，x2至少有一个为 0 或不同号， 当 x20，（
23、x1+x2）2|x1|x2|+2， （x1+x2）2x1+x2+2， x1+x22，或 x1+x21， m22，或 m21， m4，或 m1； 当 x10 时，（x1+x2）2|x1|x2|+2， （x1+x2）2x1x2+2， x1+x22，或 x1+x21 m22，或 m21， m0，或 m3 故 m 的值为 m4 或 m1 或 m0 或 m3 12某文具店去年 8 月底购进了一批文具 1160 件，预计在 9 月份进行试销购进价格为每 件 10 元若售价为 12 元/件，则可全部售出若每涨价 0.1 元销售量就减少 2 件 （1）求该文具店在 9 月份销售量不低于 1100 件，则售价应
24、不高于多少元？ （2）由于销量好，10 月份该文具进价比 8 月底的进价每件增加 20%，该店主增加了进 货量，并加强了宣传力度，结果 10 月份的销售量比 9 月份在（1）的条件下的最低销售 量增加了 m%，但售价比 9 月份在（1）的条件下的最高售价减少m%结果 10 月份 利润达到 3388 元，求 m 的 值（m10） 【解答】解： （1）设售价应为 x 元，依题意有 11601100， 解得 x15 答：售价应不高于 15 元 （2）10 月份的进价：10（1+20%）12（元） ， 由题意得： 1100（1+m%）15（1m%）123388， 设 m%t，化简得 50t225t+2
25、0， 解得：t1，t2， 所以 m140，m210， 因为 m10， 所以 m40 答：m 的值为 40 13 已知方程 x2+px+q0 的两个根是 x1， x2， 那么 x1+x2p， x1x2q， 反过来， 如果 x1+x2 p，x1x2q，那么以 x1，x2为两根的一元二次方程是 x2+px+q0请根据以上结论， 解决下列问题： （1）已知关于 x 的方程 x2+mx+n0（n0） ，求出一个一元二次方程，使它的两根分别 是已知方程两根的倒数 （2）已知 a、b 满足 a215a50，b215b50，求的值 （3）已知 a、b、c 均为实数，且 a+b+c0，abc16，求正数 c 的
26、最小值 【解答】解： （1）设 x2+mx+n0（n0）的两根为 x1，x2，则 x1+x2m，xlx2n， 则所求新方程的两根为， +， 所以，所求的方程为 y2+y+0， 即 ny2+my+10 （2）从 a，b 满足的同一种关系可知：当 ab 时，a、b 是一元二次方程 x215x50 的两根，所以 a+b15，ab5，从而 47 当 ab 时，从而1+12 所以的值为47 或 2 （3）由 a+b+c0，abc16，得 a+bcab，因此，由给出的结论， 得 a、b 是方程 x2+cx+0 的实数根，所以c240， 因为 c0，所以 c364，所以 c4，故 c 的最小值为 4 14如
27、图，在矩形 ABCD 中，AB10cm，AD8cm，点 P 从点 A 出发沿 AB 以 2cm/s 的速 度向点终点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 以 1cm/s 的速度向点终点 C 运动，它们 到达终点后停止运动 （1）几秒后，点 P、D 的距离是点 P、Q 的距离的 2 倍； （2）几秒后，DPQ 的面积是 24cm2 【解答】解： （1）设 t 秒后点 P、D 的距离是点 P、Q 距离的 2 倍， PD2PQ， 四边形 ABCD 是矩形， AB90， PD2AP2+AD2，PQ2BP2+BQ2， PD24 PQ2， 82+（2t）24（102t）2+t2， 解得：t13，
28、t27； t7 时 102t0， t3， 答：3 秒后，点 P、D 的距离是点 P、Q 的距离的 2 倍； （2）设 x 秒后DPQ 的面积是 24cm2， 则82x+（102x） x+（8x）108024， 整理得 x28x+160 解得 x1x24， 答：4 秒后，DPQ 的面积是 24cm2 15已知关于 x 的一元二次方程 mx2（4m+1）x+3m+30 的两个不等实数根分别为 x1， x2，nx2x12，设点 A（1，a） ，B（b，2）两点在动点 P（m，n）所形成的曲线上 （1）求 P 点所在的曲线解析式； （2）求直线 AB 的解析式； 【解答】解：令 ymx2（4m+1）x
29、+3m+30，则 mx2（4m+1）x+3m+30， x3 或 x， 当 3n+2 时，即 n， P 点所在的曲线解析式为 y， 把 A（1，a） ，B（b，2）代入 n中， A（1，1） ，B（，2） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b， 代入得：， 解得：， 直线 AB 的解析式为 y2x+1； 当3n+2 时，即 n4， P 点所在的曲线解析式为 y4， 同理可求 A（1，3） ，B（，2） ， 同理可得：直线 AB 的解析式为 y6x+3 16已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 4kx24kx+k+10 的两个实数根 （1）是否存在实数 k，使（2x1x2） （x12x2
30、）成立？若存在，求出 k 的值；若 不存在，说明理由； （2）求使+2 的值为整数的实数 k 的整数值； （3）若 k2，试求 的值 【解答】解： （1）x1、x2是一元二次方程 4kx24kx+k+10 的两个实数根， x1+x21，x1x2， （2x1x2） （x12x2）2x124x1x2x1x2+2x222（x1+x2）29x1x22129 2， 若 2成立， 解上述方程得，k， 16k244k（k+1）16k0， k0，k， 矛盾， 不存在这样 k 的值； （2）原式222 62， k+11 或1，或 2，或2，或 4，或4 解得 k0 或2，1，3，3，5 k0 k2， 3 或5； （3）k2，x1+x21， x2+x21，x2，x1， x1x2， ， 32
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