1、第 1 页，共 13 页 第二章有理数 （难题）单元测试（第二章有理数 （难题）单元测试（1） 班级：_姓名：_得分：_ 一、选择题 1. 式子23+ 23+ 23+ 23的计算结果用幂的形式表示正确的是( ) A. 25 B. 29 C. 212 D. 216 2. 下列说法中： 2 4 7是负分数；1.5不是整数；非负有理数不包括 0；整数和分数统称为有理 数；0是最小的有理数； 1是最小的负整数；如果 = ，那么 = 。错误的有( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 3. 2017减去它的1 2，再减去余下的 1 3，再减去余下的 1 4，依次类推，一直减到余下的
2、 1 2017，则最后剩下的数 是( ) A. 0 B. 1 C. 2017 2016 D. 2016 2017 4. 等边三角形 ABC 在数轴上的位置是点 A，C 所对应的数分别是 0 和1，若三角形 ABC 绕着顶点顺时针 方向在数轴上连续翻转，翻转 1 次后，点 B所对应的数为 1，则翻转 2012 次后，点 B 所对应的数是( ) A. 2009 B. 2010 C. 2011 D. 2012 5. 如果有 4个不同的正整数 m、n、p、q满足(2014 )(2014 )(2014 )(2014 ) = 4，那么 + + + 等于( ) A. 8038 B. 8049 C. 8052
3、 D. 8056 6. 马鞍山市的精神是“海纳百川，一马当先”.若在正方形的四个顶点处依次标上“海“纳”“百”“川” 四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“百”“川”对应的数分别为2和1，如图.现将正方形绕着 顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚。例如第一次翻滚后“海”所对应的数为 0，则连续翻滚 后数轴上数 2019对应的字是( ) 第 2 页，共 13 页 A. 海 B. 纳 C. 百 D. 川 7. 定义一种对正整数 n 的“F”运算：当 n 为奇数时，() = 3 + 1；当 n为偶数时，() = 2 (其 中 k是使()为奇数的正整数)，两种运算交替重复进行，例如，取 = 24，
4、则： 若 = 17，则第 2018 次“F”运算的结果是( ) A. 1 B. 4 C. 2018 D. 42018 8. 求1 + 2 + 22+ 23+ + 22018的值，可令 = 1 + 2 + 22+ 2 3 + + 22018，则2 = 2 + 22+ 23+ + 22019，因此2 = 22019 1.仿照以上推理，计算出1 + 5 + 52+ 53+ + 52018的值为( ) A. 52019 1 B. 52018 1 C. 520181 4 D. 520191 4 二、填空题 9. 设用符号(,)表示 a、 b两数中较小的一个数， 用符号， 表示两数中较大的数， 则(5,0
5、.5) + 4， 2的值为_ 10. 若实数 m，n，p满足 ( 0)且| | |，则| | + | + | + | + |的最小值是 _ 11. 探究：观察下列各式 1 12 = 1 1 2， 1 23 = 1 2 1 3， 1 34 = 1 3 1 4，请你根据以上式子的规律填写： 1 12 + 1 23 + 1 34 + 1 45 + + 1 20102011 = _ 12. 计算：| 1 2 1| + |1 3 1 2| + | 1 4 1 3| + + | 1 2016 1 2015| = 13. 2017年 10月 1日是中华人民共和国成立 68周年纪念日.小明为了纪念这一伟大的日
6、子绘制了一个五角 星， 他把数字 2， 0， 1， 7， 10分别如图所示标在五角星的顶点上， 小明又选了两个整数， 和数字 1， 6， 8一 第 3 页，共 13 页 起标 A，B，C，D，E 上，并使得每条线段上的四个点表示的数字之和为 0， 则小明选出的两个整数的积是_ 14. 已知| = 2，| = 3，且在数轴上表示有理数 b的点在 a 的左边，则 的 值为_ 15. 已知 0，则 | + | = 16. 数学家发明了一个魔术盒，当任意“数对”(,)进入其中时，会得到一个新的数：2 + 1，例如把 (3,2)放入其中， 就会得到32 (2)+ 1 = 12， 现将“数对”(3,2)放
7、入其中后， 得到的数是_ 三、解答题 17. 已知在纸面上有一数轴(如图)，折叠纸面 ()若 2 表示的点与2表示的点重合，则 4表示的点与数_表示的点重合； ()若3表示的点与 7表示的点重合，回答以下问题： 3表示的点与数_表示的点重合； 若数轴上 A、B两点之间的距离为2010(在 B的左侧)，且 A、B两点经折叠后重合，求 A、B 两点 表示的数是多少？(直接写出答案) 第 4 页，共 13 页 18. 如图，数轴上点 O 是原点，点 A，B，C表示的有理数分别是 a，b，c，且满足| + 2| + ( 3) 2 = 0， b 是最小的正整数我们用 AB表示点 A 与点 B 之间的距离
8、(以下表示相同) (1) =_， =_， =_ (2) =_， =_ (3)在数轴上有一点 M，且 + = ，求点 M 表示的数 (4)若点，分别从点 A，B，C的位置开始，同时沿着数轴运动：点以每秒 1个单位长度的速 度向左运动，点和分别以每秒 2 个单位长度和 5 个单位长度的速度向右运动设运动时间为 t秒， 则 的值是否随着时间 t的变化而改变？并说明理由 19. 如图，在数轴上点 A表示的有理数为4，点 B 表示的有理数为 6，点 P从点 A出发以每秒 2个单位长 度的速度在数轴上沿点 A到点 B的方向运动，当点 P 到达点 B 后立即返回，仍然以每秒 2个单位长度 的速度运动至点 A
9、 后停止运动.设运动时间为 t秒. (1)求当 = 2时，点 P 表示的有理数; (2)在点 P由点 A到点 B的运动过程中，求点 P 与点 A的距离(用含 t的代数式表示); (3)在点 P由点 B到点 A的返回过程中，点 P表示的有理数是多少(用含 t的代数式表示)? 第 5 页，共 13 页 20. 对于一个位数为偶数的多位数，如果在其中间位插入一位数(0 9，且 k 为整数)就得到一个新 数， 我们把这个新数称为原数的一个晋级数 如： 234711中间插入数字2可得它的一个晋级数2342711.请 阅读以上材料，解决下列问题 (1)若一个数是 1245的晋级数，且这个晋级数各数位上的数
10、字之和能被 5整除，则这个数可能是 _； (2)若一个两位数的晋级数是这个两位数的 9 倍，请求出所有满足条件的晋级数。 21. 阅读材料：求 + 2 + 22+ 23+ 24+ + 22013的值 解：设 = + 2 + 22+ 23+ 24+ + 22012+ 22013，将等式两边同时乘 2， 得2 = 2 + 22+ 23+ 24+ 25+ + 22013+ 22014.将下式减去上式，得2 = 22014 即 = 22014 ，即1 + 2 + 22+ 23+ 24+ + 22013= 22014 .仿照此法计算： (1)1 + 3 + 32+ 33+ + 3100 (2)1 + 1
11、 2 + 1 22 + 1 23 + + 1 2100 第 6 页，共 13 页 答案和解析答案和解析 1. A 解：原式= 23 (1 + 1 + 1 + 1)， = 23 4， = 25， 2. B 解： 2 4 7是负分数，说法正确，故正确； 1.5不是整数是分数，故正确； 非负有理数不包括 0，此说法错误，因为 0也是非负有理数，故错误； 整数和分数统称为有理数，说法正确，故正确； 0是最小的有理数，此说法错误，因为负数也为有理数，故错误； 1是最小的负整数，此说法错误，因为1为最大的负整数，故错误； 如果 = ，那么 = ，此说法错误，因为当 = 0时，a 不一定等于 b，故错误 因
12、此错误的说法有 4 个 3. B 解：由题意得，最后剩下的数为：2017 (1 1 2) (1 1 3) (1 1 4) (1 1 2017) = 2017 1 2 2 3 3 4 2016 2017 = 1 4.C 第 7 页，共 13 页 解：如下图， 翻转 1 次后，点 B 所对应的数为 1，翻转 2次后，点 B 所对应的数为 1，翻转 3次后，点 B不在数轴上； 翻转 4 次后，点 B 所对应的数为 4，翻转 5次后，点 B 所对应的数为 4，翻转 6次后，点 B不在数轴上； . 总结规律， 发现点B所对应的数构成一个变化周期为3的序列， 3 + 1和3 + 2次翻转后对应的数字是3
13、+ 1， 因为2012 = 670 3 + 2 = 2010 + 2， 所以翻转 2012 次后，点 B所对应的数是 2011 5.D 解：根据 4 个不同的正整数 m、n、p、q满足(2014 )(2014 )(2014 )(2014 ) = 4， 得到每一个因数都是整数且都不相同，只可能是1，1，2，2， 不妨令2014 = 1，2014 = 1，2014 = 2，2014 = 2， 解得： = 2015， = 2013， = 2016， = 2012， 则 + + + = 8056， 6.D 解：由题意可知：百字是数字除以 4 余 2的，川是除以 4 余 3 的，海是能被 4 整除的，纳
14、是除以 4 余 1 的， 因为2019 4 = 5043， 所以对应的数字是川 7.A 解：若 = 13， 第 1次结果为：3 + 1 = 40， 第 2次结果是：4023 = 5， 第 8 页，共 13 页 第 3次结果为：3 + 1 = 16， 第 4次结果为：1624 = 1， 第 5次结果为：4， 第 6次结果为：1， 可以看出，从第四次开始，结果就只是 1，4 两个数轮流出现， 且当次数为偶数时，结果是 1； 次数是奇数时，结果是 4， 而 2018次是偶数， 因此最后结果是 1 8.D 解：设 = 1 + 5 + 52+ 53+ + 52018， 则5 = 5 + 52+ 53+
15、54+ + 52019，即5 = 52019 1， 则 = 520191 4 9.3 解：根据题意得：(5,0.5) + 4，2 = 5 + 2 = 3 10. 解： 0， 、p异号， 0， 0， 且| | |， 第 9 页，共 13 页 又| = 2,| = 3， 则 = 2， = 3， 所以 = 5或 1 15. 2 或2或 0 解：当 0， 0时， = 1 + 1 = 2； 当 0， 0， 0时， = 1 1 = 0； 当 0时， = 1 + 1 = 0 16. 12 解：根据题中的新定义得：(3)2+ 2 + 1 = 9 + 2 + 1 = 12， 17. 解：() 4； ()由题意得
16、：(3 + 7) 2 = 2，即 2 为对称点， 第 11 页，共 13 页 1； 2010 2 = 1005， 2 + 1005 = 1007， 2 1005 = 1003， 所以 A点表示的数是1003，B点表示的数是 1007 解：(1)若 2表示的点与2表示的点重合，则 4 表示的点与数4表示的点重合， 故答案为4； (2)若3表示的点与 7 表示的点重合，则3表示的点与数 7表示的点到 2表示的点的距离相等， 数轴上数 3 表示的点到 2表示的点有 1个单位，而 1 表示的点到 2 表示的点有 1个单位，所以数轴上数 3 表示的点与数 1 表示的点重合； 故答案为 1 18. 解：(
17、1) 2；1；3； (2)3；2； (3)设点 M 对应的数是 m，则有以下两种情况： 当点 M 在点 A 左侧时， 由 + = ， 得(2 ) + (1 ) = 3 ， 解得 = 4， 当点 M 在点 A 和点 B 之间时， 由 + = ， 得 (2) + (1 ) = 3 ， 解得 = 0， 点 M表示的数是4或 0； (4) 的值不随着时间 t的变化而改变， 理由： = (1 + 2) (2 ) = 3 + 3， = (3 + 5) (1 + 2) = 3 + 2， = (3 + 3) (3 + 2) = 1， 故 A 的值与 t无关，不随着时间 t的变化而改变 第 12 页，共 13
18、页 解：(1) | + 2| + ( 3)2= 0， + 2 = 0， 3 = 0， 即 = 2， = 3， 是最小的正整数， = 1， 故答案为2；1；3； (2) = 2， = 1， = 3， = 1 (2) = 3， = 3 1 = 2， 故答案为 3；2； 19. 解：(1)点 P 表示的有理数为4 + 2 2 = 0； (2)在点 P由点 A到点 B的运动过程中，点 P与点 A的距离为 2t； (3)在点 P由点 B到点 A的返回过程中，点 P表示的有理数是6 2( 5) = 16 2 20. 解：(1) 12345,12845； (2)设原数为 = 10 + ，其晋级数为 = 10
19、0 + 10 + ， = 9， 100 + 10 + = 9 (10 + )， 5 + 5 = 4， 5( + ) = 4， 、m 为整数，a为正整数，且 a、b、m均为一位数， = 5， + = 4， = 1， = 3； = 2， = 2； = 3， = 1； = 4， = 0 满足条件的三位晋级数为 135、225、315 和 405 解：(1)设晋级数中间插入的为 x，则晋级数为 12x45， 第 13 页，共 13 页 则各数位上的数字之和为1 + 2 + + 4 + 5 = 12 + ， 各数位上的数字之和能被 5 整除， 为一位数， 为 3或 8， 则这个晋级数为 12345,12
20、845， 故答案为 12345,12845； 21. 解：(1)设 = 1 + 3 + 32+ 33+ + 3100， 两边乘以 3 得：3 = 3 + 32+ 33+ 34+ 35+ + 3100+ 3101， 将下式减去上式，得3 = 3101 即 = 31011 2 ， 即1 + 3 + 32+ 33+ 34+ + 3100= 31011 2 (2)设 = 1 + 1 2 + 1 22 + 1 23 + + 1 2100， 两边乘以1 2得： 1 2 = 1 2 + 1 22 + 1 2101， 将下式减去上式得： 1 2 = 1 2101 1， 解得： = 2 1 2100， 即1 + 1 2 + 1 22 + 1 23 + + 1 2100 = 2 1 2100
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