1、11.3 多边形及其内角和 11.3.2 多边形的内角和,人教版 数学 八年级 上册,【思考】你知道正六边形的内角和是多少吗？,1. 能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.,2. 能运用多边形的内角和公式与外角和公式解决问题.,素养目标,你知道长方形和正方形的内角和是多少度？,三角形内角和是多少度？,三角形内角和是180.,都是360.,猜想任意四边形的内角和是多少度？,多边形的内角和,问题1：,问题2：,问题3：,猜想：四边形ABCD的内角和是360.,你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？,解法一：如图，连接AC， 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形ABCD内角和为 180
2、2=360.,猜想与证明,问题4：,解法二：如图，在CD边上任取一点E，连接AE，DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 1803(AEB+AED+CED) =1803180 =360.,E,解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E， 连接AE，BE，CE，DE， 把四边形分成四个三角形： ABE，ADE，CDE，CBE. 所以四边形ABCD内角和为： 1804(AEB+AED+CED+CEB) =1804360=360.,E,P,解法四：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.,所以四边形ABCD内角和为1
3、803 180= 360.,这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.,结论： 四边形的内角和为360.,例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.,解：,如图，四边形ABCD中，A+ C =180.,A+B+C+D=(42) 180 = 360 ，,因为,BD= 360（AC） = 360 180 =180.,所以,如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.,运用四边形内角和定理进行证明或计算,1. 如图，求ABCDEF的度数,解：连接BE.DOBCD， DOBCBEDEB， CDCBEDEB， AABCCD
4、DEFF AABCCBEDEBDEFF AABEBEFF. 在四边形ABEF中， AABEBEFF(42)180360， AABCCDDEFF360.,你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五 边形和六边形内角和吗?,内角和为1803 = 540.,内角和为1804 = 720.,问题5：,0,n 3,1,2,3,1,2,3,4,n 2,（ n 2 ）180,1180=180,2180=360,3180=540,4180=720,由特殊到一般,分割,多边形,三角形,分割点与多边形的位置关系,顶点,边上,内部,外部,转化思想,多边形的内角和公式,n边形内角和等于(n2)180 .,注意：n边
5、形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180.多边形的内角和是180的整倍数.,归纳总结,例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？,解：设这个多边形边数为n，则 （n2）180=360+720， 解得n=8， 这个多边形的每个内角都相等， （82）180=1080， 它每一个内角的度数为10808=135,利用多边形内角和公式求角度或边数,2. 根据多边形的内角和完成下列题目.,(1) 一个多边形的内角和是720，这个多边形的边数是() A4条 B5条 C6条 D7条 (2) 若一个多边形的边数为8条，则这个
6、多边形的内角和是() A900 B540 C1080 D360 (3) 若一个多边形增加一条边，那么它的内角和() A增加180 B增加360 C减少360 D不变,C,C,A,例3 已知n边形的内角和=（n2）180 （1）甲同学说，能取360；而乙同学说，也能取630甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n若不对，说明理由；,解： 360180=2， 630180=3.90， 甲的说法对，乙的说法不对， 360180+2=4 故甲同学说的边数n是4；,（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360，用列方程的方法确定x,解：依题意有 （n+x2）180（n2）180=360， 解得x=
7、2 故x的值是2,3. 如图，在五边形ABCDE中，C=100，D=75，E=135，AP平分EAB，BP平分ABC，求P的度数,分析：根据五边形的内角和等于540，由C，D，E的度数可求EAB+ABC的度数，再根据角平分线的定义可得PAB与PBA的角度和，进一步求得P的度数,解：EAB+ABC+C+D+E=540，C=100，D=75，E=135， EAB+ABC=540CDE=230. AP平分EAB， PAB EAB， 同理可得ABP ABC， P+PAB+PBA=180， P=180PABPBA =180 (EAB+ABC)=180 230=65,用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成
8、一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？,多边形的外角和,如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和,任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？,互补,5180=900,五边形外角和,=360 ,=5个平角,五边形内角和,=5180,(52) 180,结论：五边形的外角和等于360.,这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？,在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和,n边形外角和,n边形的外角和等于360.,(n2) 180,=360 ,=n个平角n边形内角和,= n180 ,思考：n边形的外角
9、和又是多少呢？,与边数无关,回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？,每个内角的度数是,每个外角的度数是,练一练： (1)若一个正多边形的内角是120 ，那么这是正_边形. (2)已知多边形的每个外角都是45，则这个多边形是 _边形.,六,正八,例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.,解： 设多边形的边数为n. 它的内角和等于 (n2)180， 多边形外角和等于360， (n2)180=2 360. 解得 n=6. 这个多边形的边数为6.,多边形的内角和公式和外角和公式的综合应用,例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7
10、:2，求这个多边形的边数.,解法一：设这个多边形的内角为7x ，外角为2x， 根据题意得,7x+2x=180，,解得x=20.,即每个内角是140 ，每个外角是40 .,360 40 =9.,答：这个多边形是九边形.,还有其他解法吗？,解法二：设这个多边形的边数为n ，根据题意得,解得 n=9.,答：这个多边形是九边形.,探究新知,4. 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求BED的度数,解：由题意得 AB=AE，所以AEB= (180A)=36， 所以BED=AEDAEB=10836=72.,1.已知正多边形的一个外角等于40，那么这个正多边形的边数为（） A6 B7 C8 D9,解析：
11、正多边形的一个外角等于40，且外角和为360，则这个正多边形的边数是：36040=9,D,2.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是_,解析：设多边形的边数为n，根据题意，得 （n2）180=3360， 解得 n=8 则这个多边形的边数是8,8,1.判断 (1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.（） (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.（） (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等. （）,2.一个多边形的每一个外角都是36，则这个多边形的边数是,10,3. 如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24，照这样走
12、下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是_米,150,4. 一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形 内角和等于（ ） A. 360 B. 540 C. 720 D. 900 ,B,一个多边形的内角和为1800，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.,解：设多边形的边数为n，则有180 （n2）=1800，解得 n=12. 原多边形边数为12. 一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1， 新多边形的边数可能是11，12，13， 新多边形的内角和可能是1620，1800，1980.,如图，求1234567的度数.,解：如图， 3489， 1234567 1289567 五边形的内角和 540.,8,9,多边形的内角和,内角和计算公式,(n2) 180 (n 3的整数） 边数增加1，内角和增加180；内角和是180的整倍数.,外角和,多边形的外角和等于360 特别注意：与边数无关.,正多 边形,内角= ，外角=,
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