1、11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角,第一课时,第二课时,人教版 数学 八年级 上册,第一课时,三角形的内角和,我的形状最小，那我的内角和最小.,我的形状最大，那我的内角和最大.,不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.,一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.,2. 会运用三角形内角和定理进行计算.,1. 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180.,我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180.与三角形的形状、大小无关.,思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180
2、呢?,折叠,还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？,三角形的内角和,剪拼,测量,480,720,600,6004807201800,锐角三角形,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.,观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？,三角形的内角和定理的证明,在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.,还有其他的拼接方法吗？,三角形三个内角的和等于180.,求证：A+B+C=180.,已知：ABC.,证法1：过点A作lBC， B=1.(两直线平行，内错角相等) C=2.(两直线平行，内错角相等) 2+1+BAC=180， B+C+BAC=18
3、0.,1,2,证法2：延长BC到D，过点C作CEBA， A=1 .(两直线平行，内错角相等) B=2.(两直线平行，同位角相等) 又1+2+ACB=180， A+B+ACB=180.,E,D,E,D,F,证法3：过D作DEAC，作DFAB. C=EDB，B=FDC. (两直线平行，同位角相等) A+AED=180， AED+EDF=180， (两直线平行，同旁内角相补) A=EDF. EDB+EDF+FDC=180， A+B+C=180.,同学们还有其他的方法吗？,思考： 多种方法证明三角形内角和等于180的核心是什么？,借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.,同学们按照上图中的
4、辅助线，给出证明步骤.,试一试,为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.,思路总结,为了证明三个角的和为180，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.,作辅助线,例1 如图，在ABC中， BAC=40 ， B=75 ， AD是ABC的角平分线，求ADB的度数.,解：由BAC=40 ， AD是ABC的角平分线，得,BAD= BAC=20 .,在ABD中， ADB=180B BAD =1807520 =85.,利用三角形的内角和定理求角的度数,如图，CD是ACB的平分线，DEBC，A50
5、，B70，求EDC，BDC的度数,解：A50，B70， ACB180AB60. CD是ACB的平分线， BCD ACB30. DEBC， EDCBCD30， 在BDC中，BDC180B BCD=80.,2.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中A = 150，B= D=40.求C的度数.,解：C1802(4040150) 130.,1. 在ABC中，B40，C80，则A的度数为() A30B40 C50 D60,D,3.如图，在ABC中，B46，C54，AD平分BAC，交BC于点D，DEAB，交AC于点E，则ADE的大小是() A45 B54 C40 D50,C,例2 如图，A
6、BC中，D在BC的延长线上，过D作 DEAB于E，交AC于F.已知A30，FCD80， 求D.,解：DEAB，FEA90 在AEF中，FEA90，A30， AFE180FEAA60. 又CFDAFE， CFD60. 在CDF中，CFD60，FCD80， D180CFDFCD40.,4. 直线l1l2，一块含45角的直角三角尺如图放置，185， 则2_,40,l1,l2,基本图形,由三角形的内角和定理易得 A+B=C+D.,由三角形的内角和定理易得1+2=3+4.,归纳总结,例3 在ABC 中， A 的度数是B 的度数的3倍，C 比B 大15，求A，B，C的度数.,解: 设B度数为x，则A度数为
7、3x，C度数为(x 15)， 从而有,3x x (x 15) 180.,解得 x 33.,所以 3x 99 ， x 15 48.,答： A， B， C的度数分别为99， 33，48.,方程的思想与三角形内角和定理的综合应用,方法点拨： 三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180，列方程求解.,在ABC中，A B ACB，CD是ABC的高，CE是ACB的平分线，求DCE的度数,解析：根据已知条件用A表示出B和ACB，利用三角形的内角和求出A，再求出ACB，ACD，最后根据角平分线的定义求出ACE即可求得DCE的度数,比例关系可考虑用方程思想求角度.,解：A B
8、ACB， 设Ax，B2x，ACB3x. ABACB180， x2x3x180，得x30， A30，ACB90. CD是ABC的高，ADC90， ACD180903060. CE是ACB的平分线， ACE 9045， DCEACDACE604515.,在ABC中，A :B:C=1:2:3，则ABC是 _三角形 .,在ABC中，A=35， B=43 ，则 C= .,在ABC中， A= B+10， C= A + 10， 则 A= ， B= ， C= .,102,直角,60,50,70,5.完成下列各题.,解析：设A=x，B=2x，C=3x，由三角形的内角和定理得：x+2x+3x=180，解得x=30
9、，3x=90.,例4 如图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80 方向，C岛在B岛的北偏西40 方向.从B岛看A，C两岛的视角ABC是多少度？从C岛看A、 B两岛的视角ACB是多少度？,利用三角形的内角和定理解决实际问题(方位问题）.,解： CAB= BAD CAD=80 50=30.,由AD/BE，得BAD+ ABE=180 .,所以ABE=180 BAD=18080=100， ABC= ABE EBC=10040=60.,在ABC中， ACB =180 ABC CAB =1806030 =90，,答：从B岛看A，C两岛的视角ABC是60 ，从C岛看A，B两岛的视角ACB是90
10、.,6.如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角BAC是多少度？,解：在B处测得灯塔A在北偏东60的方向， ABD60. 又 DBE90， ABE90ABD906030. 在C处测得灯塔A在北偏东40的方向， ACE904050. BACACEABE503020. 即在灯塔A处观看B和C处时的视角BAC是20.,如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，过点D作DEBC交AC于点E若A=54，B=48，则CDE的大小为（ ） A44 B40 C39D38,解析：A=54，B=48， ACB=18054
11、48=78， CD平分ACB交AB于点D， DCB= 78=39， DEBC， CDE=DCB=39,C,1.求出下列各图中的x值,x=70,x=60,x=30,x=50,3. 如图，则1+2+3+4=_ .,280 ,2.（2018滨州）在ABC中，若A=30，B=50，则C=,100,1. 如图，四边形ABCD中，点E在BC上，A+ADE=180，B=78，C=60，求EDC的度数,解：A+ADE=180， ABDE， CED=B=78 又C=60， EDC=180（CED+C） =180（78+60） =42,2.如图，在ABC中，B=42，C=78，AD平分BAC求ADC的度数.,解：
12、B=42，C=78， BAC=180B C=60. AD平分BAC， CAD= BAC=30， ADC=180BCAD=72.,如图，在ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，若BAC=60，求BPC的度数,解：ABC中，A=60， ABC+ACB=120 BP平分ABC，CP平分ACB， PBC+PCB= （ABC+ACB）=60 PBC+PCB+BPC=180， BPC=18060=120,思考：你能直接写出BPC与A 之间的数量关系吗？,解：BP平分ABC，CP平分ACB， PBC+PCB= （ABC+ACB） PBC+PCB+BPC=180， BPC=180 （ABC+ACB） =1
13、80 （180A）=90+ A ,求角度,证法,应用,转化为一个平角 或同旁内角互补,辅助线,三角形的内角和等于180 ,作平行线 转化思想,第二课时,直角三角形,在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？,内角三兄弟之争,老大的度数为90，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90，而三角形的内角和为180，相互矛盾，因而是不可能的.,在这个家里，我是永远的老大.
14、,3. 会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.,1. 了解直角三角形两个锐角的关系.,2. 掌握直角三角形的判定.,如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度?,直角三角形的两个锐角互余,问题1：,如图，在RtABC中， C=90，两锐角的和等于多少呢？,在RtABC中，因为 C=90，由三角形内角和定理，得 A +B+C=180， 即 A +B=90.,由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？,问题2：,直角三角形的两个锐角互余(直角三角形的性质定理）,应用格式： 在RtABC 中， C =90， A +B =90,直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角
15、形ABC 可以写成RtABC ,归纳总结,方法一（利用平行的判定和性质）： B=C=90， ABCD， A=D. 方法二（利用直角三角形的性质）： B=C=90， A+AOB=90，D+COD=90. AOB=COD， A=D.,例1（1）如图，B=C=90，AD交BC于点O，A与D有什么关系？,图,利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数,解：A=C. 理由如下： B=D=90， A+AOB=90，C+COD=90. AOB=COD， A=C.,（2）如图，B=D=90，AD交BC于点O，A与C有什么关系？请说明理由.,图,与图有哪些共同点与不同点？,1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等
16、于60，则另一个锐角的度数是() A120 B90 C60 D30,D,2. 如图，ABCD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EPEF，与EFD的平分线FP相交于点P，且BEP50，则EPF( )度 A70 B65 C60 D55,A,例2 如图， C=D=90 ， AD， BC相交于点E. CAE与DBE有什么关系？为什么？,解：在RtACE中， CAE=90 AEC.,在RtBDE中， DBE=90 BED., AEC= BED， CAE= DBE.,3. 如图，在ABC中，已知ACB67，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，DCB45.求ABE的度数,解：CD是
17、AB上的高， DBC90DCB904545. BE是AC上的高， EBC90ECB906723. ABEABCEBC452322.,思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？,基本图形,A=C,A=D,归纳总结,有两个角互余的三角形是直角三角形吗？,如图，在ABC中， A +B=90 ， 那么ABC是直角三角形吗？,在ABC中， 因为 A +B +C=180， 又 A +B=90， 所以C=90. 即ABC是直角三角形.,有两个角互余的三角形是直角三角形,A,B,C,A,B,C,应用格式： 在ABC 中， A +B =90， ABC 是直角三角形,有两个角互余的三角形是直角三角形.(
18、直角三角形的性质定理）,归纳总结,例3 如图，C=90 ， 1= 2，ADE是直角三 角形吗？为什么？,解：在RtABC中， 2+ A=90 ., 1= 2， 1 + A=90 .,即ADE是直角三角形.,利用直角三角形的判定定理识别直角三角形,4.已知A37，B53，则ABC为() A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上都有可能,C,5.具备下列条件的ABC中，不是直角三角形的是() AABC BA B C CABC123 DA2B3C,D,例4 如图，CEAD，垂足为E，A=C，ABD是 直角三角形吗？为什么？,解：ABD是直角三角形.理由如下： CEAD， CED=90， C+
19、D=90， A=C， A+D=90， ABD是直角三角形.,6. 如图，BD平分ABC，ADB60，BDC80，C70.试判断ABD的形状,解：在DBC中，DBC180BDCC 180807030. BD平分ABC， ABDDBC30. 在ABD中， ADBABD603090， ABD是直角三角形,一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则BDC=_,解析：CEA=60，BAE=45， ADE=180CEABAE=75， BDC=ADE=75.,75,1. 如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中1+2的度数是_.,90,2. 如图，AB、CD相交于点
20、O，ACCD于点C， 若BOD=38，则A=_.,52,第1题图,第2题图,3. 在ABC中，若A=43，B=47，则这个 三角形是_.,直角三角形,4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40，则另 一个锐角的度数是（） A40 B50 C60 D70,B,5. 具备下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（ ） AA+B=C BAB=C CA：B：C=1：2：3 DA=B=3C,D,如图所示，ABC为直角三角形，ACB=90， CDAB，与1互余的角有（） AB BA CBCD和A DBCD,C,如图，在直角三角形ABC中，ACB=90，D是AB上一点，且ACD=B求证：ACD是直角三角形,证明：ACB=90， A+B=90， ACD=B， A+ACD=90， ACD是直角三角形.,直角三角形的性质与判定,性质,直角三角形的两个锐角互余,判定,有两个角互余的三角形是直角三角形,
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