1、14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式,人教版 数学 八年级 上册,某同学在计算97103时将其变成(1003)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.,观察与思考,1. 掌握平方差公式的推导及应用.,2. 了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.,多项式与多项式是如何相乘的？,(x 3)( x5),=x2,5x,3x,15,=x2,8x,15.,(a+b)(m+n),=am,+an,+bm,+bn,平方差公式,面积变了吗？,相等吗？,(x 1)( x1)； (m 2)( m2)； (2m 1)(2m1)； (5y z)(
2、5yz).,计算下列多项式的积，你能发现什么规律？,x2 12,m222,(2m)2 12,(5y)2 z2,这些计算结果有什么特点？,(a+b)(ab)=,a2b2,两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.,公式变形:,1.(a b ) ( a + b) = a2 b2,2.(b + a )( b + a ) = a2 b2,平方差公式,注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等,(a+b)(ab)=(a)2(b)2,适当交换,合理加括号,平方差公式,公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项 式或者多项式； 2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另 一项互为相反数
3、； 3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.,(a+b)(a b)=,a2 b2.,温馨提示,(1+x)(1x),(3+a)(3a),(0.3x1)(1+0.3x),(1+a)(1+a),a,b,a2b2,1,x,3,a,12x2,(3)2a2,a,1,a212,0.3x,1,( 0.3x)212,(ab)(a+b),口答下列各题： (1)(a+b)(a+b)=_. (2)(ab)(b+a)= _. (3)(ab)(a+b)= _. (4)(ab)(ab)= _.,a2b2,a2b2,b2a2,b2a2,例1 计算：(1) (3x2 )( 3x2 ) ； (2)(x+2y)(x2y)
4、.,(2) 原式= (x)2 (2y)2,= x2 4y2.,解： (1)原式=(3x)222,=9x24；,利用平方差公式计算,易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.,1. 利用平方差公式计算： (1)(3x5)(3x5)； (2)(2ab)(b2a)； (3)(7m8n)(8n7m),解：(1)原式=(3x)2529x225；,(2)原式=(2a)2b24a2b2；,(3)原式=(7m)2(8n)249m264n2；,例2 计算: (1) 10298; (2) (y+2) (y2) (y1) (y+5) .,= 100222,解: (1) 10298,=10000 4,=(1
5、002)(1002),=9996；,= y24y24y+5,(2)(y+2)(y2) (y1)(y+5),= y222(y2+4y5),= 4y + 1.,利用平方差公式简便运算,(1) 5149; (2)(3x+4)(3x4)(2x+3)(3x2) .,解: (1) 原式=(501)(501),= 50212,=2500 1,=2499；,(2) 原式=(3x)242(6x2+5x6),= 9x2166x25x+6,= 3x25x10.,2. 计算:,例3 先化简，再求值：(2xy)(y2x)(2yx)(2yx)，其中x1，y2.,解：原式4x2y2(4y2x2),原式51252215.,4
6、x2y24y2x2,5x25y2.,当x1，y2时，,利用平方差公式进行化简求值,3. 先化简,再求值: (3x)(3+x)+(x+1)(x1),其中x=2.,解：(3x)(3+x)+2(x+1)(x1) =9x2+2(x21) =9x2+2x22 =7+x2 当x=2时， 原式=7+22 =7+4=11,例4 对于任意的正整数n，整式(3n1)(3n1)(3n)(3n)的值一定是10的整数倍吗？,即(3n1)(3n1)(3n)(3n)的值是10的倍数,解：原式9n21(9n2),10n210.,(10n210)10=n21.,n为正整数，,n21为整数,利用平方差公式进行证明,对于平方差中的
7、a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系,4. 如果两个连续奇数分别是2n1，2n+1(其中n为正整数)，证明两个连续整数的平方差是8的倍数.,证明：(2n+1)2(2n1)2 =(2n+1)+(2n1)(2n+1)(2n1) =(2n+1+2n1)(2n+12n+1) =4n2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.,例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了
8、你认为李大妈吃亏了吗？为什么？,a2a216，,解：李大妈吃亏了,理由：原正方形的面积为a2，,改变边长后面积为(a4)(a4)a216，,李大妈吃亏了,利用平方差公式解决实际问题,解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题,5. 如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形(ab ),把余下的部分剪成一个矩形(如图2).通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,这个等式是( ) A. a2b2 = (a+b) (ab) B. (a+b)2=a2+2ab+b2 C. (ab)2=a22ab+b2 D. (a+2b)(ab)=a2+ab2b2,A,1.
9、 化简(x1)(x+1)的结果是 ,2. 某同学化简a(a+2b)(a+b)(ab)出现了错误，解答过程如下：原式=a2+2ab(a2b2) (第一步) =a2+2aba2b2(第二步) =2abb2 (第三步) (1)该同学解答过程从第步开始出错，错误原因是 ； (2)写出此题正确的解答过程,原式=a2+2ab(a2b2)=a2+2aba2+b2=2ab+b2,x21,二,去括号时没有变号,1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是() A(xy)(xy) B(xy)(xy) C(xy)(yx) D(xy)(xy),C,2. 计算(2x+1)(2x1)等于() A4x21 B2x21 C4x1
10、 D4x2+1,A,3. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_,10,(1)(a+3b)(a 3b)；,=4a29；,=4x4y2.,原式=(2a+3)(2a3),=a29b2 ；,=(2a)232,原式=(2x2 )2y2,原式=(a)2(3b)2,(2)(3+2a)(3+2a)；,(3)(2x2y)(2x2+y).,4. 利用平方差公式计算：,解:,解:,解:,5. 计算： 20152 20142016.,解：,20152 20142016,= 20152 (20151)(2015+1),= 20152, (2015212 ),=
11、20152, 20152+12,=1,6. 利用平方差公式计算:,(1)(a2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a24)(a2+4) =a416.,(2) (xy)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).,解：原式=(x2y2)(x2+y2)(x4+y4),=(x4y4)(x4+y4),=x8y8.,先化简，再求值：(x1)(x1)x2(1x)x3，其中x2.,解：原式=x21x2x3x3,=2x21.,将x2代入上式，,原式=2221=7.,已知x1，计算：(1x)(1x)1x2，(1x)(1xx2)1x3， (1x)(1xx2x3) 1x4 (1)观察以上各式并猜想：(1x)(1xx2xn)_；(n为正整数),(2)根据你的猜想计算： (12)(1222232425)_； 222232n_(n为正整数)； (x1)(x99x98x97x2x1)_；,1xn+1,63,2n12,x1001,平方差公式,内容,注意,两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.,1.符号表示：(a+b)(ab)=a2b2,2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.,
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