1、2 2. .2.42.4 均值不等式及其应用均值不等式及其应用 第第 1 1 课时课时 均值不等式均值不等式 学习目标 1.掌握均值不等式及其推导过程.2.理解均值不等式的几何意义.3. 能初步运用 均值不等式证明不等式和求最值 知识点一 算术平均值与几何平均值 两个正数的算术平均值、几何平均值定义： 给定两个正数 a，b，数ab 2 称为 a，b 的算术平均值；数 ab称为 a，b 的几何平均值 知识点二 均值不等式 1均值不等式：如果 a，b 都是正数，那么ab 2 ab，当且仅当 ab 时，等号成立 2几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 思考 均值不等式可以有哪些变形？ 答
2、案 当 a0，b0，则 ab2 ab； 当 a0，b0，则 ab ab 2 2. 1对任意 a，bR，a2b22ab 均成立( ) 2若 a0，b0 且 ab，则 ab2 ab.( ) 3a，b 同号时，b a a b2.( ) 4函数 yx1 x的最小值为 2.( ) 一、对均值不等式的理解 例 1 下列命题中正确的是( ) A当 a，bR 时，a b b a2 a b b a2 B若 a0，b0，b0)的两个注意点 (1)不等式成立的条件：a，b 都是正数 (2)“当且仅当”的含义： 当 ab 时，ab 2 ab的等号成立， 即 abab 2 ab； 仅当 ab 时，ab 2 ab的等号成
3、立， 即ab 2 abab. 跟踪训练 1 (多选)下列结论不正确的是( ) A若 xR，且 x0，则4 xx4 B当 x0 时， x 1 x2 C当 x2 时，x1 x的最小值为 2 D当 0x2 时，2x1 x的最小值为 2 2 答案 AC 解析 对于选项 A，当 x0 时，求12 x 4x 的最小值； (3)当 x0)的最小值是2. (2)x0， 12 x 0,4x0. 12 x 4x2 12 x 4x8 3. 当且仅当12 x 4x，即 x 3时，等号成立，取得最小值 8 3， 当 x0 时，12 x 4x 的最小值为 8 3. (3)x0. 则 12 x(4x)2 12 x 4x8
4、3， 当且仅当 12 x4x 时，即 x 3时取等号 12 x 4x8 3. 当 x0，y0，且 xy8，则(1x) (1y)的最大值为( ) A16 B25 C9 D36 答案 B 解析 因为 x0，y0，且 xy8， 所以(1x)(1y)1xyxy9xy9 xy 2 294225， 当且仅当 xy4 时，等号成立，(1x)(1y)取得最大值 25. (2)若 x0，则 12x 1 3x的最小值为_，若 x0， 所以 12x 1 3x2 12x 1 3x4， 当且仅当 12x 1 3x，即 x 1 6时等号成立 所以 x0 时，12x 1 3x的最小值为 4. 当 x0， 所以 12x 1
5、3x 12x 1 3x 212x 1 3x4.当且仅当 x 1 6时，等号成立 所以 x2，则 yx 4 x2的最小值为_ 答案 6 解析 因为 x2，所以 x20， 所以 yx 4 x2x2 4 x222 x2 4 x226， 当且仅当 x2 4 x2， 即 x4 时，等号成立所以 yx 4 x2的最小值为 6. 延伸探究 若把本例中的条件“x2”改为“x2”，求 yx 4 x2的最大值 解 因为 x0， 所以 yx 4 x2 2x 4 2x 2 22x 4 2x 22， 当且仅当 2x 4 2x，得 x0 或 x4(舍去)， 即 x0 时，等号成立 故 yx 4 x2的最大值为2. 反思感
6、悟 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略 (1)拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形 (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标 (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提. 跟踪训练 3 (1)已知 0x1 3，求 yx(13x)的最大值； (2)已知 x1，求 yx 23x4 x1 的最小值 解 (1)0x0， yx(13x)1 3 3x (13x) 1 3 3x13x 2 21 12. 当且仅当 3x13x，即 x1 6时，取等号， 当 x1 6时，函数取得最大值 1 12. (2)x1，x10， yx 23x4 x1 x1 2x12 x1 x1 2 x
7、112 21， 当且仅当 x1 2 x1， 即 x 21 时，等号成立， 函数 y 取得最小值 2 21. 三、利用均值不等式证明 例 4 设 a，b，c 都是正数，求证：bc a ca b ab c abc. 证明 a，b，c 都是正数，bc a ，ca b ，ab c 也都是正数， bc a ca b 2c，ca b ab c 2a，bc a ab c 2b， 2 bc a ca b ab c 2(abc)， 即bc a ca b ab c abc， 当且仅当 abc 时，等号成立 反思感悟 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式
8、的性质和有关定理，经过逐步的 逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知” (2)注意事项： 多次使用均值不等式时， 要注意等号能否成立； 累加法是不等式证明中的一种常用方法； 对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型 跟踪训练 4 已知 a，b，c 都是正实数，求证：(ab)(bc) (ca)8abc. 证明 a，b，c 都是正实数， ab2 ab0，bc2 bc0，ca2 ca0. (ab)(bc)(ca)2 ab 2 bc 2 ca8abc. 即(ab)(bc)(ca)8abc， 当且仅当 abc 时，等号成立 1设 ta2b，sab2
9、1，则 t 与 s 的大小关系是( ) Ast Bst Cst Ds0，b0) Dab2 ab 答案 AC 解析 a2b22ab(ab)20， a2b22ab，aba 2b2 2 ，故选 A， 由均值不等式可知 C 是其变形，C 正确 4 若x0， 则x5 x_2 5， 若x”“0 时，x5 x2 x 5 x2 5， 当且仅当 x5 x，即 x 5时取等号 当 x0 时，x5 x x 5 x 2 5.当且仅当 x 5时取等号 5已知 x5 4，则 y4x2 1 4x5的最大值为_，此时 x 的值是_ 答案 1 1 解析 x0. y4x2 1 4x5 54x 1 54x 3254x 1 54x3231， 当且仅当 54x 1 54x， 即 x1 时，等号成立 故当 x1 时，y 的最大值为 1. 1知识清单： (1)ab 2 ab(a，b 都是正数) (2)利用均值不等式求最值 (3)利用均值不等式证明 2方法归纳：拼凑法 3常见误区：忽视等号成立的条件；多次使用均值不等式忽略等号同时成立的条件
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