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    §5.2(第2课时)分段函数 学案(含答案)

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    §5.2(第2课时)分段函数 学案(含答案)

    1、第第 2 2 课时课时 分段函数分段函数 学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数,能研究有关性质 知识点 分段函数 1在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式像这样的函数,通常叫作分段函数 2分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数 的定义域的交集是空集 3作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象 思考 分段函数是一个函数还是几个函数? 答案 分段函数是一个函数,而不是几个函数 1分段函数由几个函数构成( ) 2函数 f(x) x1,x1, x3,x1 是分段函数( ) 3分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系,但它们是一个

    2、函数( ) 4分段函数各段上的函数值集合的交集为.( ) 一、分段函数求值 例 1 已知函数 f(x) x1,x2, 3x5,2x2,不合题意,舍去; 当2a2x,求 x 的取值范围 解 当 x2 时,f(x)2x 可化为 x12x, 即 x1,所以 x2; 当2x2x 可化为 3x52x, 即 x5,所以2x2x 可化为 2x12x,则 x. 综上可得,x 的取值范围是x|x2, x22x,x2, 则 f(f(1)等于( ) A1 2 B2 C4 D11 答案 C 解析 由函数的解析式可得,f(1)1223, 则 f(f(1)f(3)3 1 324. (2)函数 f(x) x22,x2, 4

    3、 5x,x2. 若 f(x0)8,则 x0_. 答案 6或 10 解析 当 x02 时,f(x0)x2028,即 x206, x0 6或 x0 6(舍去); 当 x02 时,f(x0)4 5x08,x010. 综上可知,x0 6或 x010. 二、分段函数的图象及应用 例 2 已知函数 f(x)x22,g(x)x,令 (x)minf(x),g(x)(即 f(x)和 g(x)中的较小者) (1)分别用图象法和解析式表示 (x); (2)求函数 (x)的定义域,值域 解 (1)在同一个坐标系中画出函数 f(x),g(x)的图象如图. 由图中函数取值的情况,结合函数 (x)的定义,可得函数 (x)的

    4、图象如图. 令x22x,得 x2 或 x1. 结合图,得出 (x)的解析式为 (x) x22,x2, x,2x1, x22,x1. (2)由图知,(x)的定义域为 R,(1)1, (x)的值域为(,1 反思感悟 分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数 转化为分段函数,然后分段作出函数图象 (2)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制, 作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不 重不漏 跟踪训练 2 设 xR,则函数 y2|x1|3|x|的值域为_ 答案

    5、 y|y2 解析 当 x1 时,y2(x1)3xx2; 当 0 x1 时,y2(x1)3x5x2; 当 x0 时,y2(x1)3xx2. 故 y x2,x1, 5x2,0 x1, x2,x0. 根据函数解析式作出函数图象,如图所示 由图象可以看出,函数的值域为y|y2 三、分段函数的实际应用 例 3 如图所示,已知底角为 45 的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7 cm,腰长为 2 2 cm, 当垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时, 直线 l 把梯形 分成两部分,令 BFx,试写出左边部分的面积 y 关于 x 的函数解析式,并画出大致图

    6、象 解 过点 A,D 分别作 AGBC,DHBC,垂足分别是 G,H. 因为四边形 ABCD 是等腰梯形,底角为 45 , AB2 2cm, 又 BC7 cm,所以 ADGH3 cm. (1)当点 F 在 BG 上,即 x0,2时,y1 2x 2; (2)当点 F 在 GH 上,即 x(2,5时, yxx2 2 22x2; (3)当点 F 在 HC 上,即 x(5,7时, yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF 1 2(73)2 1 2(7x) 21 2(x7) 210. 综合(1)(2)(3),得函数的解析式为 y 1 2x 2,x0,2, 2x2,x2,5, 1 2x7 210,x

    7、5,7. 图象如图所示 反思感悟 分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的 对应关系,而分段函数图象也需要分段画 (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区 间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式 跟踪训练 3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示 (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2 004 km,试建立行驶这段路程时 汽车里程表读数 s km 与时间 t h 的函数解析式,并作出相应的图象 解

    8、 (1)阴影部分的面积为 501801901751651360. 阴影部分的面积表示汽车在这 5 h 内行驶的路程为 360 km. (2)根据图象,有 s 50t2 004,0t1, 80t12 054,1t2, 90t22 134,2t3, 75t32 224,3t4, 65t42 299,4t5. 相应的图象如图所示: 1函数 f(x)|x1|的图象是( ) 答案 B 解析 方法一 函数的解析式可化为 y x1,x1, 1x,x1. 画出此分段函数的图象,故选 B. 方法二 由 f(1)2,知图象过点(1,2),排除 A,C,D. 2著名的 Dirichlet 函数 D(x) 1,x为有

    9、理数, 0,x为无理数, 则 D()Dx 等于( ) A0 B1 C. 1,x为无理数, 0,x为有理数 D. 1,x为有理数, 0,x为无理数 答案 B 解析 D(x)0,1,D(x)为有理数,D()Dx 1. 3已知函数 f(x) 1 x1,x0, 2,x0,所以 x20,由于值域为各段的并集, 所以函数的值域为2(0,) 5函数 f(x) x2,x1, x2,1x2, 若 f(x)3,则 x 的值是_ 答案 3 解析 当 x1 时,x23,得 x1(舍去); 当1x2 时,x23 得 x 3或 x 3(舍去) 1知识清单: (1)分段函数的概念及求值 (2)分段函数的图象及应用 (3)分段函数的实际应用 2方法归纳:分类讨论、数形结合法 3常见误区: (1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实 (2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式


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