1、二次函数单元能力提升检测试题二次函数单元能力提升检测试题 一选择题 1下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（ ） Ay（x+1）（x1）x2 Byax2+bx+c Cs2t2+1 Dyx+ 2抛物线yax2+bx+c经过点（3，0）和（2，3），且以直线x1 为对称轴，则它的解析式为（ ） Ayx22x3 Byx22x3 Cyx22x+3 Dyx2+2x3 3 根据下表中的二次函数yax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值， 可判断二次函数的解析式为 （ ） x 1 0 1 2 y 1 2 Ayx2x Byx2+x Cyx2x+ Dyx2+x+ 4对于二次函数y3x2+2，下列说法错误的是
2、（ ） A最小值为 2 B图象与y轴没有公共点 C当x0 时，y随x的增大而减小 D其图象的对称轴是y轴 5二次函数ymx2（m23m）x+1m的图象关于y轴对称，则m的值（ ） Am0 Bm3 Cm1 Dm0 或 3 6将抛物线yx2平移得到抛物线y（x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ） A向左平移 2 个单位 B向右平移 2 个单位 C向上平移 2 个单位 D向下平移 2 个单位 7某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米当x3 时，y18，那么当 成本为 72 元时，边长为（ ） A6 厘米 B12 厘米 C24 厘米 D36 厘米 8二次函数yax2+bx+
3、c（a0）的大致图象如图，与x轴交点为（1，0）和（2，0），关于该二次 函数，下列说法错误的是（ ） A函数有最小值 B对称轴是直线x C当x，y随x的增大而减小 D当1x2 时，y0 9如图，抛物线yax2+bx+c与两坐标轴的交点分别为A、B、C，且OAOC1，则下列关系中正确 的是（ ） Aa+b1 Bab1 Cb2a Dac0 10如图所示，抛物线yax2+bx+c的顶点为B（1，3），与x轴的交点A在点（3，0）和（2， 0）之间，以下结论： b24ac0；a+b+c0；2ab0；ca3 其中正确的有（ ）个 A1 B2 C3 D4 二填空题 11二次函数y3x26x+1 的图象的
4、顶点坐标是 12航天飞机从某个时间t秒开始，其飞行高度为h10t2+700t+21000（单位：英尺），对人而言不低 于 31000 英尺时会感觉到失重，则整个过程中能体会到失重感觉的时间为 秒 13将抛物线y2x2向下平移 1 个单位，再向左平移 3 个单位得到的抛物线的解析式是 14已知抛物线y3ax2+2bx+c，若ab1，且当1x1 时，抛物线与x轴有且另有一个公共点， 则c的取值范围为 15在ABC中，A，B所对的边分别为a，b，C30若二次函数y（a+b）x2+（a+b）x （ab）的最小值为，则A 16服装店将进价为每件 100 元的服装按每件x（x100）元出售，每天可销售（2
5、00 x）件，若想获得 最大利润，则x应定为 元 17如图，抛物线yax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A（在点B左侧，顶点在折线MPN上 移动，它们的坐标分别为M（1，4）、P（3，4）、N（3，1）若在抛物线移动过程中，点A横坐 标的最小值为3，则ab+c的最小值是 三解答题 18已知二次函数yx22bx+c（b，c是常数） （1）当b2，c5 时，求二次函数的最小值； （2）当c3，函数值y6 时，以之对应的自变量x的值只有一个，求b的值； （3）当c3b，自变量 1x5 时，函数有最小值为10，求此时二次函数的表达式 19某商店分别花 20000 元和 30000 元先后两次以相
6、同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多 500 千克 （1）该商店第一次购进多少千克这种商品？ （2） 已知该商品每天的销售量y（千克） 与销售单价x（元/千克） 之间的函数关系式为：y10 x+500， 且每千克的利润不低于 10 元且不高于 18 元 请直接写出自变量x的取值范围； 求该商店某天的最大利润 20如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是 2 （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说 明理由； 21对于平面中给定的一个图形及一点P，若图形上
7、存在两个点A、B，使得PAB是边长为 2 的等边三角 形，则称点P是该图形的一个“美好点” （1）若将x轴记作直线l，下列函数的图象上存在直线l的“美好点”的是 （只填选项） A正比例函数yx B反比例函数y C二次函数yx2+2 （2）在平面直角坐标系xOy中，若点M（n，0），N （0，n），其中n0，O的半径为r 若r2，O上恰好存在 2 个直线MN的“美好点”，求n的取值范围； 若n4，线段MN上存在O的“美好点”，直接写出r的取值范围 22在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：将一个函数的图象在y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部 分不变，两部分组成的函数图象，称为这个函数的变换图象
8、（1）点A（1，4）在函数yx+m的变换图象上，求m的值； （2）点B（n，2）在函数yx2+4x的变换图象上，求n的值； （3）将点C（，1）向右平移 5 个单位长度得到点D当线段CD与函数yx2+4x+t的变换图 象有两个公共点，直接写出t的取值范围 23如图，抛物线yax2+bx3 与x轴交于A（2，0）和B（4，0）两点，与y轴交于点C （1）求抛物线的解析式； （2） 当点P为直线BC下方抛物线上一动点 （不与点B、C重合） ，PMBC于点M，PDAB于点D， 交直线BC于点N，当P点的坐标为何值时，PM+PN的值最大？ （3）点P在第四象限的抛物线上移动，以PC为边作正方形CPEF
9、、当抛物线的对称轴经过点E时，求 出此时点P的坐标 参考答案 一选择题 1解：A、y（x+1）（x1）x2是一次函数，不合题意； B、yax2+bx+c （a0）是二次函数，不合题意； C、s2t2+1 是二次函数，不合题意； D、yx+不是二次函数，不合题意； 故选：C 2解：把（3，0）与（2，3）代入抛物线解析式得：， 由直线x1 为对称轴，得到1，即b2a， 代入方程组得：， 解得：a1，b2，c3， 则抛物线解析式为yx22x3， 故选：B 3解：抛物线过点（0，）和（2，）， 抛物线的对称轴为直线x1， 抛物线的顶点坐标为（1，2） 设抛物线解析式为ya（x1）22， 把（1，1）
10、代入得 4a21，解得a， 抛物线解析式为y（x1）22x2x 故选：A 4解：A、开口向上有最小值 2，正确； B、图象与y轴交与点（0，2），错误； 对称轴为y轴，开口向上，所以当x0 时，y随着x的增大而减小，C、D正确， 故选：B 5解：函数图象关于y轴对称， 函数的解析式形式应该是yax2+k型， （m23m）0， 解得：m0 或m3， 二次函数的二次系数不能为 0， m3 故选：B 6解：将抛物线yx2平移得到抛物线y（x+2）2，则这个平移过程正确的是向左平移了 2 个单位， 故选：A 7解：设y与x之间的函数关系式为ykx2，由题意，得 189k， 解得：k2， y2x2， 当
11、y72 时，722x2， x6 故选：A 8解：A、由抛物线的开口向上，可知a0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意； B、由图象可知，对称轴为x，正确，故B选项不符合题意； C、因为a0，所以，当x时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意； D、由图象可知，当1x2 时，y0，错误，故D选项符合题意 故选：D 9解：OAOC1， A（1，0），C（0，1）， 把A（1，0），C（0，1）代入yax2+bx+c得ab+c0，c1， ab1，所以A选项错误，B选项正确； 抛物线开口向上， a0， 抛物线与y轴的交点在x轴上方， c0， ac0，所以D选项错误； x1， b2a，所以C
12、选项错误 故选：B 10解：抛物线与x轴有两个交点， 0， b24ac0，故错误； 由于对称轴为x1， x3 与x1 关于x1 对称， x3 时，y0， x1 时，ya+b+c0，故错误； 对称轴为x1， 2ab0，故正确； 顶点为B（1，3）， yab+c3， ya2a+c3， 即ca3，故正确； 故选：B 二填空题（共 7 小题） 11解：二次函数y3x26x+13（x+1）2+4， 该函数图象的顶点坐标为（1，4）， 故答案为：（1，4） 12解：依题意，得：10t2+700t+2100031000， 解得：t120，t250， 整个过程中能体会到失重感觉的时间为 502030（秒） 故
13、答案为：30 13解：将抛物线y2x2向下平移 1 个单位得y2x21，再向左平移 3 个单位，得y2（x+3）21； 故所得抛物线的解析式为y2（x+3）21 故答案为：y2（x+3）21 14解：ab1， 解析式为y3x2+2x+c 对称轴x， 当1x1 时，抛物线与x轴有且只有一个公共点， 则此公共点一定是顶点， 412c0， 一个交点的横坐标小于等于1，另一交点的横坐标小于 1 而大于1， 32+c0，3+2+c0， 解得5c1 综上所述，c的取值范围是：c或5c1， 故答案为c或5c1 15解：将二次函数y（a+b）x2+（a+b）x（ab）配方得： y（a+b）a+b， 该二次函数
14、的最小值为， a+b， 整理，得：ab， 在ABC中，C30， 当ab时，AB75， 故答案为：75 16解：设获得的利润为y元，由题意得： y（x100）（200 x） x2+300 x20000 （x150）2+2500 a10 当x150 元时，y取得最大值 2500 元， 故答案为 150 17解：由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为3， 则抛物线的表达式为：ya（x+1）2+4， 将点A坐标（3，0）代入上式得：0a（3+1）2+4， 解得：a1， 当x1 时，yab+c， 顶点在N处时，yab+c取得最小值， 顶点在N处，抛物线的表达式为：y（x3）2+1， 当x1 时，yab+c
15、（13）2+115， 故答案为：15 三解答题（共 6 小题） 18解：（1）当b2，c5 时，yx24x+5（x2）2+1， 当x2 时，y 最小1； （2）当c3，函数值y6 时，x22bx+36， x22bx+90， 对应的自变量x的值只有一个， （2b）24190，b3； （3）当c3b时，yx22bx+3b（xb）2+3bb2 抛物线对称轴为：xb b1 时，在自变量x的值满足 1x5 的情况下，y随x的增大而增大，当x1 时，y最小 （1b）2+3bb210，b11； 1b5，当xb时，y最小 （bb）2+3bb210 b15，b22（舍去） b5 时，在自变量x的值满足 1x5
16、的情况下，y随x的增大而 减小， 当x5 时，y最小 （5b）2+3bb210，b5（舍去） 综上可得：b11 或b5 二次函数的表达式：yx2+22x33 或yx210 x+15 19（1）设第一次购进m千克，则， m1000， 经检验，当m1000 时，m（m+500）0，m1000 是原方程的解， 第一次购进 1000 千克 （2）该商品的原价为 20000100020 元/千克， 每千克的利润不低于 10 元且不高于 18 元， 10 x2018， 自变量x的取值范围：30 x38； 设每天的利润为W元，则W（x20） （10 x+500）10（x35） 2+2250，当 x35 时，
17、Wmax 2250 20解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是 2，则x2， 抛物线过是A（0，3），则函数的表达式为：yax2+bx3， 把B（5，9）代入上式得：925a+5b3， 联立、， 解得：a，b， 抛物线的解析式为：yx2x3， 当x2 时，y，即顶点D的坐标为（2，）； （ 2）存在，理由如下： A（0，3），B（5，9），则AB13， 设点C坐标（m，0）， 当ABAC时， m2+（3）2132， 解得：m4， 点C坐标为：（4，0）或（4，0）； 当ABBC时， （5m）2+92132， 解得：m， 点C坐标为（5+，0）或（52，0）， 当ACBC时， （5m）2+92m2+
18、32， 解得：m， 点C坐标为（，0）， 存在点C，其坐标为： （4，0）或（4，0）或（5+，0）或（52，0）或（， 0） 21解：（1）x轴是图形l，PAB是边长为 2 的等边三角形， P点纵坐标为， yx上存在点（，）或（，）是x轴的“美好点”， y上存在点（，）或（，）是x轴的“美好点” yx2+2 中y的最小是 2， yx2+2 上不存在x轴的“美好点”， 故选A、B； （2）M（n，0），N（0，n），n0， 设直线MN的解析式为ykx+b， 则有， 解得， yx+n， 如图 1：M（n，0），N （0，n），其中n0， MNO60， ABD与ACB是边长为 2 的等边三角形，
19、BAD60， ADBCy轴， 设过点C与MN平行的直线为yx+c，过点D与MN平行的直线为yx+d， 当直线yx+c与O相切时，c4， n4+26， 此时O上恰好存在 1 个直线MN的“美好点”， 如图 2：当直线yx+d与O相切时，d4， n422， 此时当直线yx+c经过原点O，则c0， 此时O上恰好存在 3 个直线MN的“美好点”， 2n6 时，O上恰好存在 2 个直线MN的“美好点”； 如图 3：n4， M（4，0），N（0，4）， OMN60， 设AB2 在圆O上，C与D是MN上的点， 则ABC与ABD是边长为 2 的等边三角形， 当MN与D点所在圆相切时，OD2， r2， 此时线段
20、MN上存在O的“美好点”， 如图 4：当OCOM时，OC4， MH，AH1， OA2， 此时线段MN上存在O的“美好点”， 2r2，线段MN上存在O的“美好点” 22解：（1）点A（1，4）在函数yx+m的变换图象上， 4（1+m）， m3， （2）根据题意， 当n0 时，n24n2， 解得：n2，n2+（舍去） 当n0 时，n2+4n2， 解得：n2， 综上所述：n2或n2； （3）将点C（，1）向右平移 5 个单位长度得到点D， 点D（，1） 当t1 时，由题意可得： t， 1t 当1t1 时，线段CD与函数yx2+4x+t的变换图象有三个公共点，（不合题意舍去）， 当t1 时，线段CD与
21、y轴左侧图象没有交点，与y轴右侧图象有两个交点，可得：t+41， t3， 3t1， 综上所述：t的取值范围为3t1 或 1t 23解：（1）依题意得： ， 解得：， 抛物线的解析式为yx3； （2）设直线BC的解析式为ykx+m， ， 解得：， yx3 设P点坐标为（n，n3），N点的坐标为（n，n3）， PNn， PMBC，PDAB， PMNPDB， PNMBND， MPNOBC， OB4，OC3， BC5， PMPNcosMPNPNcosOBCPN， PM+PNPNn 即当n2 时，PM+PN的值最大，此时P点坐标为（2，3） （3）过点P作PKy轴于K，交抛物线的对称轴于G，如图， 四边形PEFC为正方形， PEPC，EPC90 PGEPKC90， PEGCPK， PEGCPK（AAS）， CKPG， 设P（x，x2x3），抛物线的对称轴为直线x1， 则G（1，x2x3），K（0，x2x3）， PG|1x|，CK|x2x3+3|x2x|， |1x|x2x|， 解方程 1xx2x得，x1，x22（舍去）； 解方程x1x2x得，x1，x24（舍去）； P点坐标为（，）或（，）
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