1、2020 年河南省高考数学质检试卷（理科）（年河南省高考数学质检试卷（理科）（6 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知 i 为虚数单位，则（ ） A2i B2i C2 D2 2已知集合 Ax|x2+23x，B（a，a+2，若 ABR，则实数 a 的取值范围为（ ） A0，1） B（1，2） C（，0 D（1，+） 3曲线在某点处的切线的斜率为 ，则该切线的方程为（ ） A3x+2y10 B3x+2y+10 C6x+4y50 D12x+8y70 4刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的九章算术注中首创“割圆术”所谓“割圆术”是指用 圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆
2、周率的方法已知半径为 1 的圆 O 内接正二十四 边形，现随机向圆 O 内投放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落在正二十四边形内（a，bN*，ba），则圆 周率的近似值为（ ） A B C D 5已知实数 x，y 满约束条件则 z2xy 的最小值为（ ） A5 B4 C3 D2 6函数 f（x）ln（x）x的图象大致为（ ） A B C D 7抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，得到的点数分别为 a，b（a，b1，2，3，4，5，6），若直线 l1：x2y+10，l2：axby+20，则直线 l1l2的概率为（ ） A B C D 8 若非零向量满足 ， 则向量 与 夹角的余弦值为 （ ） A
3、B C D 9已知函数 f（x）若 ，则有（ ） Af（b）f（a）f（c） Bf（c）f（a）f（b） Cf（a）f（b）f（c） Df（a）f（c）f（b） 10已知数列an中，则数列an的前 10 项的和为（ ） A B C D 11如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABBC，ADBP，PAAC，若三棱锥 PABC 外接 球表面积为 8，则三棱锥 PACD 体积的最大值为（ ） A B C D 12已知双曲线的左右焦点分别为 F1，F2，过点 F1的直线与双曲线 C 的左 支相交于点 A，与双曲线的右支相交于点 B，O 为坐标原点若 2|BF2|3|AF1|，且|F1F2|
4、2|OB|，则双曲 线 C 的离心率为（ ） A B C2 D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 若 （x1） 6x3 （x1） a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6（aiR， i1， 2， 3， 4， 5， 6） ， 则 a4 14已知在等比数列an中，则数列an的通项公式为 15已知函数 f（x）sinx+acosx（05，a0）对任意的 x1，x2都有 f（x1）+f（x2）4，且存 在 x0R，f（x0）2，点 为曲线 yf（x）的对称中心若将函数 yf（x）的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g（x）的图象，则 g（0） 1
5、6已知点 P（t，2t）（t0）在抛物线 C：y24x 上，过点 P 作两条直线分别交抛物线 C 于相异两点 A， B，若直线 PA，PB 的倾斜角互补，则直线 AB 的斜率为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c（a，b，c 互不相等），且满足 bcosC（2bc）cosB （1）求证：A2B； （2）若，求 cosB 18 随着互联网金融的发展， 很多平台都推出了自己的虚拟信用支付， 比较常用的有蚂蚁花呗、 京东
6、白条 花 呗与信用卡有一个共同点就是可以透支消费，对于很多 90 后来说，他们更习惯提前消费某研究机构随 机抽取了 1000 名 90 后，对他们的信用支付方式进行了调查，得到如下统计表： 信用支付方式 银行信用卡 蚂蚁花呗 京东白条 其他 人数 300 a 150 50 每个人都仅使用一种信用支付方式，各人支付方式相互独立，以频率估计概率 （1）估计 90 后使用蚂蚁花呗的概率； （2）在所抽取的 1000 人中用分层抽样的方法在使用银行信用卡和蚂蚁花呗的人中随机抽取 8 人，再在 这 8 人中随机抽取 4 人，记 X 为这 4 人中使用蚂蚁花呗的人数，求 X 的分布列及数学期望和方差 19
7、如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，BCAD，ABAD，ABBC1，ADAP2，E 为 PD 的中点，F 为 BP 的中点 （1）求证：CE平面 PAB； （2）求二面角 PCEF 的正弦值 20已知椭圆的离心率为 ，以原点 O 为圆心，椭圆 C 焦距的一半为半径的 圆与椭圆 C 有四个交点，且这四个交点所构成的四边形的面积为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若点 P 是椭圆 C 的左顶点，过点 D（1，0）且斜率不为零的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直 线 PA，PB 与直线 x4 分别相交于 M，N 两点，求证：直线 AN 与直线 BM 的交点为定点，并求该定
8、点 的坐标 21已知函数有两个零点 （1）求实数 a 的取值范围； （2）设 x1，x2是 f（x）的两个零点，求证： 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（1，0）；以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相 同的单位长度建立极坐标系，点 M 的极坐标为，曲线 C1的极坐标方程为 4cos （1）若点 N 为曲线 C1上的动点，求线段 MN 的中点 T 的轨迹 C2的直角坐标方程； （2）在（1）的条件下，若过点 P 的直线 l 与曲线 C2相交于 A，B 两点，求|PA| |PB|的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2
9、x2|+|x+1| （1）求不等式 f（x）4 的解集； （2）若函数 yf（x）+|x+1|的最小值为 k，求的最小值 参考答案 一、选择题（共 12 小题）. 1已知 i 为虚数单位，则（ ） A2i B2i C2 D2 解： 故选：B 2已知集合 Ax|x2+23x，B（a，a+2，若 ABR，则实数 a 的取值范围为（ ） A0，1） B（1，2） C（，0 D（1，+） 解：Ax|x1 或 x2，B（a，a+2， ABR， 实数 a 的取值范围为0，1） 故选：A 3曲线在某点处的切线的斜率为 ，则该切线的方程为（ ） A3x+2y10 B3x+2y+10 C6x+4y50 D12x
10、+8y70 解：的导数为 yx， 设切点为（m，n），m0， 解得 m（2 舍去）， 则切线的方程为 y（x）， 故选：D 4刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的九章算术注中首创“割圆术”所谓“割圆术”是指用 圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法已知半径为 1 的圆 O 内接正二十四 边形，现随机向圆 O 内投放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落在正二十四边形内（a，bN*，ba），则圆 周率的近似值为（ ） A B C D 解：根据题意，圆 O 的半径为 1，则其面积 S， 其内接正二十四边形的面积 S24（11sin15）33， 变形可得：； 故选：C 5已知实数
11、x，y 满约束条件则 z2xy 的最小值为（ ） A5 B4 C3 D2 解 ： 作 出 实 数x ， y满 约 束 条 件对 应 的 平 面 区 域 （ 阴 影 部 分 ） ， 由 z4xy，得 y2xz， 此时 z 的最小值为 z4， 故选：B 6函数 f（x）ln（x）x的图象大致为（ ） A B C D 解：根据题意，函数 f（x）ln（x）x， 则 f（1）ln（8）ln10，排除 BC， 故选：D 7抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，得到的点数分别为 a，b（a，b1，2，3，4，5，6），若直线 l1：x2y+10，l2：axby+20，则直线 l1l2的概率为（ ） A B C
12、 D 解：抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，得到的点数分别为 a，b（a，b1，2，3，4，5，5）， 基本事件总数 n6636， ，解得 b2a，且 a2， 直线 l1l2的概率为 P 故选：B 8 若非零向量满足 ， 则向量 与 夹角的余弦值为 （ ） A B C D 解：由， 所以（ +2 ） （ 2 ）0， 即80，所以| |2| |； 代入得 4+8cos+3 0， 所以向量 与 夹角的余弦值为 故选：A 9已知函数 f（x）若 ，则有（ ） Af（b）f（a）f（c） Bf（c）f（a）f（b） Cf（a）f（b）f（c） Df（a）f（c）f（b） 解：f（x），当 x8 时，f
13、（x）exe x+2 单调递增，且 f（0）2， 当 x0 时，f（x）1x5单调递增，且 f（0）1， abc， 故选：C 10已知数列an中，则数列an的前 10 项的和为（ ） A B C D 解：数列an中， ， 整理得（常数）， 所以 2nan1+n1n， 所以， 得：， 故选：C 11如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABBC，ADBP，PAAC，若三棱锥 PABC 外接 球表面积为 8，则三棱锥 PACD 体积的最大值为（ ） A B C D 解：设 ABa，BCb，由三棱锥 PABC 外接球表面积为 8，得外接球的半径为， 又 PA平面 ABC，得 ABBC， P
14、A平面 ABC，ADBP，PB，BD， DEPA，可得，则 三棱锥 PACD 体积的最大值为 故选：D 12已知双曲线的左右焦点分别为 F1，F2，过点 F1的直线与双曲线 C 的左 支相交于点 A，与双曲线的右支相交于点 B，O 为坐标原点若 2|BF2|3|AF1|，且|F1F2|2|OB|，则双曲 线 C 的离心率为（ ） A B C2 D 解：设|AF1|2m，则|BF2|3m， |AF2|AF1|4a， 同理，|BF1|2a+3m， |F1F2|3|OB|， 在 RtABF2，中，|AF2|2|AB|2+|BF2|4， 有|BF2|2a，|BF3|4a， 由|F1F2|2|BF3|2
15、+|BF2|2， 得 ca，即离心率 e， 故选：D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 若 （x1） 6x3 （x1） a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6（aiR， i1， 2， 3， 4， 5， 6） ， 则 a4 14 解：（x1）6x3（x1）a8+a1x+a2x2+a3x3+a2x4+a5x5+a6x6（aiR，i1，3，3，4，5，6）， 则 a4 （1）2114； 故答案为：14 14 已 知 在 等 比 数 列 an 中 ， 则 数 列 an 的 通 项 公 式 为 或 解：因为， 由等比数列的性质可知， 所以， 解可得
16、，或， 当时，q3，an2n 2 故答案为：an42n，或 an2n2 15已知函数 f（x）sinx+acosx（05，a0）对任意的 x1，x2都有 f（x1）+f（x2）4，且存 在 x0R，f（x0）2，点 为曲线 yf（x）的对称中心若将函数 yf（x）的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g（x）的图象，则 g（0） 解：函数 f（x）sinx+acosx（05，a0）对任意的 x1，x2都有 f（x1）+f（x8）4， 且存在 x0R，f（x0）7， 点为曲线 yf（x）的对称中心， 若将函数 yf （x） 的图象向右平移个单位长度， 得到函数 g （x） 2sin （4x+）
17、2sin （4x） 的图象，则 g（0）3sin（）2sin， 故答案为： 16已知点 P（t，2t）（t0）在抛物线 C：y24x 上，过点 P 作两条直线分别交抛物线 C 于相异两点 A， B，若直线 PA，PB 的倾斜角互补，则直线 AB 的斜率为 1 解：点 P（t，2t）（t0）在抛物线 C：y26x 上， 可得 4t27t，解得 t1， 设 A（，y1），B（，y2）， 若直线 PA，PB 的倾斜角互补，可得 kPB+kPA5， 化为 y1+y24， 故答案为：8 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 2
18、2、23 题为选考题，考生根据要求作答 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c（a，b，c 互不相等），且满足 bcosC（2bc）cosB （1）求证：A2B； （2）若，求 cosB 解：（1）证明：因为 bcosC（2bc）cosB，由正弦定理，得 sinBcosC2sinBcosBsinCcosB， 所以 sin（B+C）sin2B，所以 sinAsin2B 若 A+2B，又 A+B+C，所以 BC，与 a，b，c 互不相等矛盾，所以 A8B 因为，所以，则， 又因为 sin3Bsin（2B+B）sin2BcosB+cos2BsinB2sinBcos2B+2sinB
19、cos2BsinB3sinB4sin8B， 因为，所以 sinB0，所以， 解得，又，得 18 随着互联网金融的发展， 很多平台都推出了自己的虚拟信用支付， 比较常用的有蚂蚁花呗、 京东白条 花 呗与信用卡有一个共同点就是可以透支消费，对于很多 90 后来说，他们更习惯提前消费某研究机构随 机抽取了 1000 名 90 后，对他们的信用支付方式进行了调查，得到如下统计表： 信用支付方式 银行信用卡 蚂蚁花呗 京东白条 其他 人数 300 a 150 50 每个人都仅使用一种信用支付方式，各人支付方式相互独立，以频率估计概率 （1）估计 90 后使用蚂蚁花呗的概率； （2）在所抽取的 1000
20、人中用分层抽样的方法在使用银行信用卡和蚂蚁花呗的人中随机抽取 8 人，再在 这 8 人中随机抽取 4 人，记 X 为这 4 人中使用蚂蚁花呗的人数，求 X 的分布列及数学期望和方差 解：（1）a100030015050500， 所以使用蚂蚁花呗的概率为 则随机变量 X 的取值为 1，2，3，5， 所以随机变量 X 分布列为： X 1 2 3 4 P v 故， 19如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，BCAD，ABAD，ABBC1，ADAP2，E 为 PD 的中点，F 为 BP 的中点 （1）求证：CE平面 PAB； （2）求二面角 PCEF 的正弦值 【解答】（1）证明：如图，
21、取 AP 的中点 G，连接 EG，BG，则 EGAD，EGAD1， BCAD，BC2，EGBC 且 EGBC，四边形 BCEG 为平行四边形，CEBG 以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 令 z4，则 x1，y1，； 令 a2，则 b6，c2， 故二面角 PCEF 的正弦值为 20已知椭圆的离心率为 ，以原点 O 为圆心，椭圆 C 焦距的一半为半径的 圆与椭圆 C 有四个交点，且这四个交点所构成的四边形的面积为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若点 P 是椭圆 C 的左顶点，过点 D（1，0）且斜率不为零的直线与椭圆 C 相交于
22、 A，B 两点，直 线 PA，PB 与直线 x4 分别相交于 M，N 两点，求证：直线 AN 与直线 BM 的交点为定点，并求该定点 的坐标 【解答】（1）解：设椭圆 C 的焦距为 2c 因为，所以，所以，所以 c63b2，a24b2， 以原点 O 为圆心，c 为半径的圆的方程为 x2+y23b2， 所以四边形的面积为，所以，所以 b1 （6）证明：由题意可知点 P 的坐标为（2，0）， 联立方程消去 x 后整理为（m2+3）y2+2my35，所以， 此时直线 AN 与直线 BM 的交点在 x 轴上，又易知此时 AB 是PMN 的中位线， 下面证明直线 AN 与直线 BM 的交点始终为点 Q（
23、2，8）： 因为 所以点 A，N，Q 三点共线，可得直线 AN 过点 Q（2，0），同理可证，直线 BM 也过点 Q（2，3） 所以直线 AN 与直线 BM 的交点为定点，该定点的坐标为（2，0） 21已知函数有两个零点 （1）求实数 a 的取值范围； （2）设 x1，x2是 f（x）的两个零点，求证： 解：（1）函数 f（x）的定义域为 R，则 当 a0 时，f（x）x2，此时函数 f（x）仅有一个零点 x0，不合题意 当 a0 时，令 f（x）0，得 x0，故函数 f（x）在（7，+）上单调递增， 令 f（x）0，得 x0，故函数 f（x）在（，0）上单调递减 所以 f（x）在（，4）上有
24、唯一零点； 又 0g（x）g（0）1，即，可得 所以 f（x）x2+a0， 所以当 a8 时，函数 f（x）有两个零点 当 a0 时，令 f（x）0，得， （i）当，即 a2 时， （ii）当，即 0a2 时，令 f（x）0，得或 x7， 令 f（x）0，得，所以 f（x）在上单调递减， 又 f（0）a0，可得此时函数 f（x）最多有一个零点，不合题意； 所以函数 f（x）在（，0）、上单调递增， 又当 x7 时，有 f（x）0，且函数 f（x）在（，0）单调递增， 综上，若函数 f（x）有两个零点，则实数 a 的取值范围为（，0） 不妨设 x10 x2，有 f（x6）f（x2） 令 h（x）
25、（x1）ex+（x+1）ex（x0）， 所以函数 h（x）在（，4）上单调递增， 又 a0，所以 f（x2）f（x1）0，即 f（x2）f（x8） 所以 x2x1，所以 x1+x20 所以 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（1，0）；以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相 同的单位长度建立极坐标系，点 M 的极坐标为，曲线 C1的极坐标方程为 4cos （1）若点 N 为曲线 C1上的动点，求线段 MN 的中点 T 的轨迹 C2的直角坐标方程； （2）在（1）的条件下，若过点 P 的直线 l 与曲线 C2相交于 A，B 两点，求|PA
26、| |PB|的值 解：（1）点 M 的直角坐标方程为（2，2）， 将代入曲线 C5的极坐标方程， 设点 T 的坐标为（x，y），点 N 的坐标为（m，n），则（m2）2+n24 得，代入（m2）8+n24，可得 4x2+（4y2）24， 故线段 MN 的中点 T 的轨迹 C2的直角坐标方程为 x2+（y1）21 A，B 对应的参数分别为 t1，t2 t2+2（cossin）t+60， t1+t22（cossin），t1 t22， 所以|PA| |PB|的值的值为 1 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x2|+|x+1| （1）求不等式 f（x）4 的解集； （2）若函数 yf（x）+|x+1|的最小值为 k，求的最小值 解：（1）当 x1 时，原不等式可化为 22x（x+1）3，得 x1，故有 x1； 当1x1 时，原不等式可化为 25x+x+14，得 x1，故有1x1； 当 x1 时，原不等式可化为 2x2+x+16，解得 x，故有 1 综上，不等式的解集为1， 所以 k4 当且仅当 2m，即 m1 时“”成立， 所以 km+的最小值为 2
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