1、梅州市高三总复习质检试卷（梅州市高三总复习质检试卷（2020.5） 理科数学理科数学 考生须知： 1考生必须在答题卡上答卷，否则成绩无效；选择题的答案涂到答题卡对应题目的标号上，非选择题的答 案书写在答题卡指定区域内， 2考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡内； 3本试卷满分 150 分考试时间 120 分钟 一、选择题（本题共 12 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1已知集合 2 20Ax xx， 12Bx x，则AB（ ） A 12,3 B2,3 C1,3 D 11,3 2设复数z满足 zi i zi ，则z （ ） A1 B1 C1 i D1 i 3已知
2、0 x ，ax， 2 2 x bx，ln 1cx，则（ ） Acba Bbac Ccab Dbca 4函数 1 1 ex x f x 向的图象大致是（ ） A B C D 5在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示，将弯管形状近似地看成是圆弧，已 知弯管向外的最大突出（图中CD）有15cm，跨接了 6 个坐位的宽度（AB） ，每个座位宽度为43cm，估 计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ） A250cm B260cm C295cm D305cm 6抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷 5 次，至少连续出现 3 次正面朝上的 概率是（ ） A
3、1 4 B 1 3 C 5 32 D 3 16 7已知平面向量a r ，b r 满足ab r r ，且 2abb r rr ，则a r ，b r 所夹的锐角为（ ） A 6 B 4 C 3 D0 8阅读右面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ） A1.1 B1 C0.9 D0.8 9已知等差数列 n a的公差不为零，且 1 1 a ， 3 1 a ， 4 1 a 构成新的等差数列， n S为 n a的前n项和，若存在 n使得0 n S 则n（ ） A10 B11 C12 D13 10已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的焦点分别为 1 F， 2 F，其中焦点 2 F与
4、抛物线 2 2ypx的焦点重合， 且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点 2 F，则椭圆的离心率为（ ） A 2 2 B21 C32 2 D31 11设函数 f x定义域为全体实数，令 g xfxf x有以下 6 个论断： f x是奇函数时， g x是奇函数； f x是偶函数时， g x是奇函数； f x是偶函数时， g x是偶函数； f x是奇函数时， g x是偶函数； g x是偶函数； ， 对任意的实数x， 0g x 那么正确论断的编号是（ ） A B C D 12 在空间直角坐标系Oxyz中， 四面体OABC各顶点坐标分别为0,0,0O，0,0,2A， 2 3,0,0 3 B ， 2 0,
5、3,0 3 C 假设蚂蚁窝在O点，一只蚂蚁从O点出发，需要在AB，AC上分别任意选择一点留下信 息，然后再返回O点那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ） A2 2 B1121 C521 D2 3 二、填空题（本题共 4 小题） 13曲线 2 1 lnyxx x 在1,0处的切线方程是_ 14已知等比数列 n a满足公比1q ， n S为其前n项和， 2 S， 4 S， 6 S构成等差数列，则 2020 S_ 15一个村子里一共有n个人，其中二个人是谣言制造者，他编造了一条谣言并告诉了另一个人，这个人 又把谣言告诉了第三个人，如此等等在每一次谣言传播时，谣言的接受者都是在其余1n个村民中
6、随机 挑选的，当谣言传播2k k 次之后，还没有回到最初的造谣者的概率是_ 16已知曲线Q： 22 22 10 2 xy x aa ，点A，B在曲线Q上，且以AB为直径的圆的方程是 22 211xy则a_ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作 答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 ） （）必考题 17 （1）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足条件22cba， 4 C （1）求角A； （2）若ABC边AB上的高为3，求AB的长， 18（1） 如图， 在正四棱锥PABCD中，2AB ， 3 APC，M为PB上
7、的四等分点， 即 1 4 BMBP （1）证明：平面AMC 平面PBC； （2）求平面PDC与平面AMC所成锐二面角的余弦值 19在平面直角坐标系xOy中，设1m，过点,0m的直线l与圆P： 22 1xy相切，且与抛物线Q： 2 2yx相交于A，B两点 （1）当m在区间1,上变动时，求AB中点的轨迹； （2）设抛物线焦点为F，求ABF的周长（用m表示） ，并写出2m时该周长的具体取值 20 （1）已知函数 1 e x x f x 向证明： （1） f x在区间0,1单调递减； （2）对任意的0,1x有 1 e1e x x x x 21 （1）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传
8、因子，遗传因子总是成对出现例如， 豌豆携带这样一对遗传因子：A使之开红花，a使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗 传性状：AA为开红花，Aa和aA一样不加区分为开粉色花，aa为开白色花生物在繁衍后代的过程中， 后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程 产生的，每一个上一代的遗传因子以 1 2 的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的可以把 第n代的遗传设想为第n次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状Aa的父系 来说，如果抛出正面就选择因子A，如果抛出反面就选择因子a，概率都是 1 2 ；对母系也
9、一样父系、母 系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状 假设三种遗传性状AA，Aa（或aA） ，aa在 父系和母系中以同样的比例: :1u v w uvw 出现，则在随机杂交实验中，遗传因子A被选中的概率 是 2 v pu，遗传因子a被选中的概率是 2 v qw称p，q分别为父系和母系中速传因子A和a的频 率，:p q实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比基于以上常识回答以下问题： （1）如果植物的上一代父系、母系的遗传性状都是Aa，后代遗传性状为AA，Aa（或aA） ，aa的概率 各是多少？ （2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状aa具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系
10、和母系中仅 有遗传性状为AA和Aa（或aA） 的个体， 在进行第一代杂交实验时， 假设遗传因子A被选中的概率为p， a被选中的概率为q，1pq 求杂交所得子代的三种遗传性状AA，Aa（或aA） ，aa所占的比例 1 u， 1 v， 1 w （3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为aa的个体假设得到的第n代总 体中 3 种遗传性状AA，Aa（或aA） ，aa所占比例分别为 n u， n v，1 nnnn w uvw设第n代遗 传因子A和a的频率分别为 n p和 n q，已知有以下公式 / 2 1 nn n n uv p w ， / 2 1 n n n v q w ，1n
11、 ，2，证 明 1 n q 是等差数列 （4）求 n u， n v， n w的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现 象发生？ A： （二）选考题（请考生在第 22，23 题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分 ） 22选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 1 C的极坐标方程为： 2 2 cos4 sin40，曲线 2 C的参数方程为 xta yat ，其中tR，t为参数，a为常数 （1）写出 1 C与 2 C的直角坐标方程； （2）a在什么范围内取值时， 1 C与 2 C有交点 23选修 45
12、：不等式选讲（ 已知a，b都是大于零的实数 （1）证明 22 ab ab ba ； （2）若ab，证明 2 3 1 4 a a ba ab 广东梅州高三质检广东梅州高三质检 2020.05 数学理科阅卷标准数学理科阅卷标准 一、选择题（本题共 12 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D C B A B C D B A C 二、填空题（本题共 4 小题） 1321yx 解析：求导得 22 11 2lnyxxx xx ， 12 y ，所以切线方程为21yx 140 解析：由 2 S， 4 S， 6 S
13、是等差数列可知 242 426 22110SSSqqq 因为1q ，所以1q ， 2020 0S 15 1 2 1 k n n 解析：第 1 次传播，谣言一定不会回到最初的人； 从第 2 次传播开始，每 1 次谣言传播，第一个制造谣言的人被选中的概率都是 1 1n ，没有被选中的概率是 1 1 1n 1k 次传播是相互独立的，故为 11 12 1 11 kk n nn 16 3 2 因为AB是圆的直径，必过圆心2,1点，设AB所在直线方程为 AB l：12yk x 设A、B点坐标分别为 11 ,A x y， 22 ,B x y，都在Q上，故 22 11 22 22 22 22 1 2 1 2
14、xy aa xy aa 两式相减，可得： 12121212 22 2 xxxxyyyy aa 1212 1212 114 1 222 yyxx xxyy （因为2,1是AB的中点） ，即1k 联立直线lAB与Q的方程： 22 22 22 1 4220 1 2 yx xxa xy aa 又2AB ，即 2 4AB，即 22 1212 4xxyy 又因为 1212 yyxx，则有 22 12121 2 4224xxxxx x 22 2 44 22a 即 2 882a 3 2 a 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作 答第 22、23 题为
15、选考题，考生根据要求作答 ） 17解析： （1）由正弦定理知 sin2sin2sinCBA 由已知 4 C ，而 4 BACA 2 2sin2sin 24 AA 22 2cossin2sin 22 AAA 2cosA 1 cos 2 A， 3 A （2）已知3h ， 则由 3 A 知1AD 5 12 BAC，/tanDBhB 先求 51 sinsin26 12434 51 coscos62 12434 62 5 tan23 12 62 3 / 232 33DB 1 2 332 32ABADDB 18 （1）由22 2ABAC 由 2 2 3 APCPAPCAC 因为是正四棱锥，故2 2PBPD
16、PAPC 于是 2 2 BM ， 3 2 2 PM 由余弦定理，在PAB中，设APB 222 3 cos 24 PAPBAB PA PB 再用余弦定理，在PAM中， 222 2cosAMPAPMPA PM 7 2 222 71 4 22 AMMBAB AMB是直角，AMPB 同理CMPB，而PB在平面PBC上， AMC 面PBC （2）以D为原点建立直角坐标系，则 0,0,0D，2,0,0C，0,2,0A，1,1, 6P，2,2,0B 设面PDC的法向量为 1 n u r ，AMC的法向量为 2 n u u r 则 1 0,2 6, 2nPDDC u ruuu ruuu r 2/ nPB u
17、u ruur ，取而 2 1,1,6nPB u u ruur 于是，二面角的余弦值为 12 12 21 cos 7 n n nn u ru u r 19 （1）设l的方程为xkym 于是 22 2 11 1 m km k 联立 2 2 220 2 xkym ykym yx 设A、B坐标分别是 11 ,x y、 22 ,x y 则 12 2 12 2 22 yyk xxkm 设AB的中点坐标为, x y，则 22 2 1 1 xkmmm ykm 消去参数m得： 22 1xyy （2）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，由抛物线定义知 1 2 p AFx， 2 2 p BFx，1p 12
18、 AFBFpxx 由（1）知 22 12 22212xxkmmm 2 221AFBFmm 222 2 121212 1ABxxyykyy 2 2 1212 14kyyy y 12 2yyk， 12 2yym ， 22 1km 222 484221ABmmmm mm ABF的周长为 22 221 221mmm mm 2m时，ABF的周长为11 4 7 20解析： （1） 1 1 2 1 1 1 x fxe x 显然0,1x时， 0fx，故f在0,1单调递减 （2）首先证1 x xe，令 1 x g xex ， 则 10 x g xe ，0,1x g x单调递增，且 00g，所以 0g x ，0,
19、1x 再令 ln 1 1 x h xx x ， 00h， 2 0 1 x h x x ，0,1x 所以 h x单调递增（0,1x，即 0h x ，0,1x ln 1 1 x x x ，0,1x 1 1 x x xe ，0,1x 21解析： （1）即Aa与Aa是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是 1 2 ，故AA出现的概率是 11 22 ，Aa 或aA出现的概率是 11112 22224 ，aa出现的概率是 11 22 所以：AA，Aa（或aA） ，aa的概率分别是 1 4 ， 1 2 ， 1 4 （2） 2 1 up， 1 2vpq， 2 1 wq （3）由（2）知 2 1nn up
20、， 1 2 nnn vp q ， 2 1nn wq 于是 2 11 1 2 1 / 22/ 21 111 nnnnn n nnn uvpp q p wqq 1 1 2 1 /2 11111 nnnnnn n nnnnn vp qp qq q wqqqq 1 11 1 nn qq 1 n q 等差数列，公差为 1 （4） 1 11 1 n n qq 其中， 1 1 2 1 / 22/ 2 111 vpqq q wqq （由（2）的结论得） 所以 1 11 1 n n q nq qqnq 于是， 2 2 1 1 nn n q wq q 1 1 nn pnq pq nq ， 2 2 1 1 nn p
21、nq up nq 12 22 1 nnn p pnq vp q nq 很明显 2 1 1 n q w nq ，n越大， 1n w 越小，所以这种实验长期进行下去， n w越来越小，而 n w是子代中 aa所占的比例，也即性状aa会渐渐消失 22 （1） 1 c： 2 2 1(2)1xy 2 c：2xya （2）将 2 c的参数方程代入 1 c的直角坐标方程得： 22 121taat 22 320$ttaa 1 c与 2 c有交点，即0V 2 1 4320aa 2 41270aa 3232 22 a 23 （1） 2 2 a ba b ， 2 2 b ab a 两式相加得 22 ba ab ab （2）由（1）知 2 2 2 babb ab abab aa 于是， 2 2 33 11babaa aab ba ababa ab 2 3 1baba ab baa ab 22 ab ba 4
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