2020年辽宁省朝阳市龙城区中考数学一模试卷（含答案解析）

1、2020 年辽宁省朝阳市龙城区中考数学一模试卷年辽宁省朝阳市龙城区中考数学一模试卷 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有分，每小题给出的四个选项中，只有 一项是正确的）一项是正确的） 1 （3 分）2020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 2 （3 分）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列各运算中，计算正确的是（ ） Aa2+2a23a4 Ba10a2a5 C （ab）2a2b2 D （2a2）38a6 4 （3 分）如图是

2、由 7 个大小相同的小正方体搭成的几何体，从左面看到的几何体的形状图 是（ ） A B C D 5 （3 分）下列说法，错误的是（ ） A为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法 B一元二次方程 3x22x10 有两个不相等的实数根 C一次函数 y3x+2 的图象经过第一、二、四象限 D正六边形每个内角的度数是外角度数的 2 倍 6 （3 分）如图，一个含有 30角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，如果 125，那么2 的度数是（ ） A100 B105 C115 D120 7 （3 分）为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了 20 户家庭，并将这些家庭的月 用水量进行统计，结

3、果如下表： 月用水量（吨） 4 5 6 8 13 户数 4 5 7 3 1 则关于这 20 户家庭的月用水量，下列说法正确的是（ ） A中位数是 5 B平均数是 5 C众数是 6 D方差是 6 8（3 分） 如图， 菱形 OABC 的边长为 4， 且点 A、 B、 C 在O 上， 则劣弧的长度为 （ ） A B C D 9 （3 分）如图，点 A 在双曲线 y（x0）上，过点 A 作 ABx 轴，垂足为点 B，分别 以点 O 和点 A 为圆心，大于OA 的长为半径作弧，两弧相交于 D，E 两点，作直线 DE 交 x 轴于点 G，交 y 轴于点 F（0，2） ，连接 AC，若 AC1，则 k 的

4、值为（ ） A B2 C D 10 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）图象的对称轴是直线 x1， 其图象的一部分如图所示，下列说法中：abc0；2a+b0；当1x3 时，y 0；ab+c0；2c3b0其中正确结论的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分只需要将结果直接填写在答题分只需要将结果直接填写在答题 卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得 0 分）分） 11 （3 分

5、）港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，其中主体工程“海中桥隧”长达 35.578 公 里，整个大桥造价超过 720 亿元人民币720 亿用科学记数法可表示为 元 12 （3 分）因式分解：a3+4a 13 （3 分）不等式组的解集是 14 （3 分）在一个不透明的袋子中装有 3 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同每 次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球 的频率稳定在 0.7 附近，则袋子中红球约有 个 15 （3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 MN 折叠，使点 B 与点 D 重合，再将CDN 沿 DN 折叠使点 C 恰好落在 MN 上的点 F 处

6、若 MN5，则 AD 的长为 16 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，都是等腰直角 三角形，其直角顶点 P1（3，3） ，P2，P3，均在直线 y上设P1OA1， P2A1A2， P3A2A3， 的面积分别为 S1， S2， S3， ， 依据图形所反映的规律， Sn 三、 （本大题共三、 （本大题共 9 小题，共小题，共 72 分，解答应写出必要的步骤，文字说明或证明过程）分，解答应写出必要的步骤，文字说明或证明过程） 17 （5 分）先化简，再求值：，其中 a2sin60+（3）0+ （） 1 18 （8 分）某单位在疫情期间用 3000 元购进 A

7、、B 两种口罩 1100 个，购买 A 种口罩与购买 B 种口罩的费用相同，且 A 种口罩的单价是 B 种口罩单价的 1.2 倍； （1）求 A，B 两种口罩的单价各是多少元？ （2）若计划用不超过 7000 元的资金再次购进 A、B 两种口罩共 2600 个，已知 A、B 两 种口罩的进价不变，求 A 种口罩最多能购进多少个？ 19（8 分） 某校为了了解学生的安全意识， 在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查 根 据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄” 、 “一般” 、 “较强” 、 “很强”四个层次，并 绘制如下两幅尚不完整的统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查一共抽

8、取了 名学生，将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中， “较强”层次所占圆心角的大小为 ； （3）若该校有 1900 名学生，现要对安全意识为“淡薄” 、 “一般”的学生强化安全教育， 根据调查结果，请你估计全校需要强化安全教育的学生人数 20 （6 分）一个不透明的口袋里装着分别标有数字2，1，1，2 的四个小球，除数字不 同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀 （1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率为 ； （2）从中任取一球，将球上的数字记为 x，然后再从剩余的球中任取一球，将球上的数 字记为 y，试用画树状图（或列表法）表示出点（x，y）所有可能的结果，并求点（x，

9、y） 在反比例函数图象上的概率 21（6 分） 西安市某中学在创建 “特色校园” 的活动中， 将本校的办学理念做成宣传牌 （AB） ， 放置在教学楼的顶部（如图所示） 小明在操场上的点 D 处，用 1 米高的测角仪 CD，从 点 C 测得宣传牌的底部 B 的仰角为 30， 然后向教学楼正方向走了 5 米到达点 F 处， 又 从点 E 测得宣传牌的顶部 A 的仰角为 45，已知教学楼高 BM16 米，且点 A，B，M 在同一直线上，求宣传牌 AB 的高度 （结果保留根号） 22 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，D 是 AC 上一点，过 B，C，D 三点的O 交 AB 于点 E，

10、连接 ED， EC， 点 F 是线段 AE 上的一点， 连接 FD， 其中FDEDCE （1）求证：DF 是O 的切线 （2）若 D 是 AC 的中点，A30，BC4，求 DF 的长 23 （9 分）每年九月开学前后，是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文具盒专柜李经理 记录了 15 天的销售数量和销售单价， 其中销售单价 y （元/个） 与时间第 x 天 （x 为整数） 的数量关系如图所示，日销量 p（个）与时间第 x 天（x 为整数）的函数关系式为： P （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围； （2）设日销售额为 W（元） ，求 W（元）关于 x（天）的函数

11、解析式；在这 15 天中，哪 一天销售额 W（元）达到最大，最大销售额是多少元； （3）由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于 1800 元，文具 盒专柜将亏损直接写出哪几天文具盒专柜处于亏损状态？ 24 （10 分）如图 1 所示，边长为 4 的正方形 ABCD 与边长为 a（1a4）的正方形 CFEG 的顶点 C 重合，点 E 在对角线 AC 上 【问题发现】如图 1 所示，AE 与 BF 的数量关系为 ； 【类比探究】如图 2 所示，将正方形 CFEG 绕点 C 旋转，旋转角为 （030） ，请 问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由； 【拓

12、展延伸】若点 F 为 BC 的中点，且在正方形 CFEG 的旋转过程中，有点 A、F、G 在 一条直线上，直接写出此时线段 AG 的长度为 25 （12 分）已知：二次函数 yax2+bx+c 的图象的顶点为（1，4） ，与 x 轴交于 A，B 两 点，与 y 轴交于点 C（0，3） ，如图 （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线的对称轴上有一点 M，使得BCM 的周长最小，求出点 M 的坐标； （3）连结 AD、CD，求 cosADC 的值； （4）若点 Q 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 P，使得以 A、B、Q、P 四点为 顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点 P

13、 的坐标；若不存在，请说明 理由 2020 年辽宁省朝阳市龙城区中考数学一模试卷年辽宁省朝阳市龙城区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有分，每小题给出的四个选项中，只有 一项是正确的）一项是正确的） 1 （3 分）2020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 【分析】直接利用相反数的定义得出答案 【解答】解：2020 的相反数是：2020 故选：B 2 （3 分）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B

14、C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A 3 （3 分）下列各运算中，计算正确的是（ ） Aa2+2a23a4 Ba10a2a5 C （ab）2a2b2 D （2a2）38a6 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分 别化简得出答案 【解答】解：A、a2+2a23a2，故此选项错误； B、a10a2

15、a7，故此选项错误； C、 （ab）2a2+b22ab，故此选项错误； D、 （2a2）38a6，正确； 故选：D 4 （3 分）如图是由 7 个大小相同的小正方体搭成的几何体，从左面看到的几何体的形状图 是（ ） A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二、三层左边一个小正方形， 故选：C 5 （3 分）下列说法，错误的是（ ） A为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法 B一元二次方程 3x22x10 有两个不相等的实数根 C一次函数 y3x+2 的图象经过第一、二、四象限 D正六边形每个内角的度数是外角度数的 2 倍

16、 【分析】根据调查方式的选择、根的判别式、一次函数的图象以及正六边形的性质分别 进行判断即可 【解答】解：A、为了解一种灯泡的使用寿命，此调查具有破坏性，宜采用抽查的方法； 故此选项符合题意； B、一元二次方程 3x22x10 有两个不相等的实数根；故此选项不符合题意； C、一次函数 y3x+2 的图象经过第一、二、四象限；故此选项不符合题意； D、正六边形每个内角的度数是外角度数的 2 倍；故此选项不符合题意； 故选：A 6 （3 分）如图，一个含有 30角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，如果 125，那么2 的度数是（ ） A100 B105 C115 D120 【分析】根据矩

17、形性质得出 ADBC，推出2DEF，求出DEF 即可 【解答】解： 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， 2DEF， 125，GEF90， 225+90115， 故选：C 7 （3 分）为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了 20 户家庭，并将这些家庭的月 用水量进行统计，结果如下表： 月用水量（吨） 4 5 6 8 13 户数 4 5 7 3 1 则关于这 20 户家庭的月用水量，下列说法正确的是（ ） A中位数是 5 B平均数是 5 C众数是 6 D方差是 6 【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的概念，对选项一一分析，选择正确答案 【解答】解：A、根据按大小排列这组数据，第 10

18、，11 个数据的平均数是中位数， （6+6） 26，故本选项错误； B、平均数（44+55+67+83+131）206，故本选项错误； C、6 出现了 7 次，出现的次数最多，则众数是 6，故本选项正确； D、方差是：S24（46） 2+5（56）2+7（66）2+3（86）2+（136）24.1， 故本选项错误； 故选：C 8（3 分） 如图， 菱形 OABC 的边长为 4， 且点 A、 B、 C 在O 上， 则劣弧的长度为 （ ） A B C D 【分析】连接 OB，根据菱形性质求出 OBOCBC，求出BOC 是等边三角形，求出 COB60，根据弧长公式求出即可 【解答】解：连接 OB，

19、四边形 OABC 是菱形， OCBCABOA4， OCOBBC， OBC 是等边三角形， COB60， 劣弧的长为， 故选：D 9 （3 分）如图，点 A 在双曲线 y（x0）上，过点 A 作 ABx 轴，垂足为点 B，分别 以点 O 和点 A 为圆心，大于OA 的长为半径作弧，两弧相交于 D，E 两点，作直线 DE 交 x 轴于点 G，交 y 轴于点 F（0，2） ，连接 AC，若 AC1，则 k 的值为（ ） A B2 C D 【分析】如图，设 OA 交 CF 于 K利用面积法求出 OA 的长，再利用相似三角形的性质 求出 AB、OB 即可解决问题； 【解答】解：如图，设 OA 交 CF

20、于 K 由作图可知，CF 垂直平分线段 OA， OCCA1，OKAK， 在 RtOFC 中，CF， AKOK， OA， 由FOCOBA，可得， ， OB，AB， A（，） ， k 故选：A 10 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）图象的对称轴是直线 x1， 其图象的一部分如图所示，下列说法中：abc0；2a+b0；当1x3 时，y 0；ab+c0；2c3b0其中正确结论的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】由抛物线的开口方向判断 a，由抛物线与 y 轴的交点判断 c，根据对称轴的位置 判断 b 及 a、b 关系，根据抛物线与 x 轴交点情况进行推理

21、，进而对所有结论进行逐一判 断 【解答】解：抛物线开口向下，则 a0 对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b0 抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c0， abc0，故正确； 抛物线的对称轴是直线 x1，则1，b2a， 2a+b0，故正确； 由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和1 之间，在两个交点之间时，y0， 在 x1 时，y0，故错误； 当 x1 时，有 yab+c0，故正确； 由 2a+b0，得 a，代入 ab+c0 得+c0，两边乘以 2 得 2c3b0， 故错误 综上，正确的选项有： 所以正确结论的个数是 3 个 故选：B 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共

22、 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分只需要将结果直接填写在答题分只需要将结果直接填写在答题 卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得 0 分）分） 11 （3 分）港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，其中主体工程“海中桥隧”长达 35.578 公 里， 整个大桥造价超过 720 亿元人民币 720 亿用科学记数法可表示为 7.21010 元 【分析】 用科学记数法表示较大的数时， 一般形式为 a10n， 其中 1|a|10， n 为整数， 据此判断即可 【解答】解：720 亿72000000000

23、7.21010 故答案为：7.21010 12 （3 分）因式分解：a3+4a a（a+2） （a2） 【分析】原式提取公因式a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a（a24） a（a+2） （a2） ， 故答案为：a（a+2） （a2） 13 （3 分）不等式组的解集是 7x1 【分析】根据一元一次不等式组的解法求解即可 【解答】解：由不等式 2x3 可得 x1； 由不等式可得 x7； 故不等式组的解集是7x1 故答案为：7x1 14 （3 分）在一个不透明的袋子中装有 3 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同每 次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发

24、现摸出红球 的频率稳定在 0.7 附近，则袋子中红球约有 7 个 【分析】根据口袋中有 3 个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验 比例应该相等求出即可 【解答】解：设袋中红球有 x 个， 根据题意，得：0.7， 解得：x7， 经检验：x7 是分式方程的解， 所以袋中红球有 7 个， 故答案为：7 15 （3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 MN 折叠，使点 B 与点 D 重合，再将CDN 沿 DN 折叠使点 C 恰好落在 MN 上的点 F 处若 MN5，则 AD 的长为 【分析】 根据折叠的性质可以证明DEMDCN， 得 DMDN， 再根据折叠可得BNM DNMDNC，可

25、证明DMN 是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求出 AD 的长 【解答】解：由折叠可知： 点 B 与点 D 重合， EDN90， 四边形 ABCD 是矩形， ADC90， EDM+MDNCDN+MDN， EDMCDN， EC90， DEDC， DEMDCN（ASA） ， DMDN， 由折叠， BNMDNM，DNCDNM， BNMDNMDNC18060， DMN 是等边三角形， DMMN5， 点 C 恰好落在 MN 上的点 F 处可知： DFN90，即 DFMN， MFNFMN， CNMEAM， ADAM+DM 故答案为 16 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，P1OA1，P2A1A2，

26、P3A2A3，都是等腰直角 三角形，其直角顶点 P1（3，3） ，P2，P3，均在直线 y上设P1OA1， P2A1A2， P3A2A3， 的面积分别为 S1， S2， S3， ， 依据图形所反映的规律， Sn 【分析】分别过点 P1、P2、P3作 x 轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三 个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可 得出答案 【解答】解：如图，分别过点 P1、P2、P3作 x 轴的垂线段，垂足分别为点 C、D、E， P1（3，3） ，且P1OA1是等腰直角三角形， OCCA1P1C3， 设 A1Da，则 P2Da， OD6+a， 点

27、 P2坐标为（6+a，a） ， 将点 P2坐标代入 yx+4，得：（6+a）+4a， 解得：a， A1A22a3，P2D， 同理求得 P3E、A2A3， S1639、S23、S3、 Sn 故答案为 三、 （本大题共三、 （本大题共 9 小题，共小题，共 72 分，解答应写出必要的步骤，文字说明或证明过程）分，解答应写出必要的步骤，文字说明或证明过程） 17 （5 分）先化简，再求值：，其中 a2sin60+（3）0+ （） 1 【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出 a 的值代入，即可求 出答案 【解答】解： ， a2sin60+（3）0+（） 1 22+13 2， 当 a

28、2 时，原式 18 （8 分）某单位在疫情期间用 3000 元购进 A、B 两种口罩 1100 个，购买 A 种口罩与购买 B 种口罩的费用相同，且 A 种口罩的单价是 B 种口罩单价的 1.2 倍； （1）求 A，B 两种口罩的单价各是多少元？ （2）若计划用不超过 7000 元的资金再次购进 A、B 两种口罩共 2600 个，已知 A、B 两 种口罩的进价不变，求 A 种口罩最多能购进多少个？ 【分析】 （1）设 B 口罩的单价为 x 元/个，则 A 口罩单价为 1.2x 元/个，根据数量总价 单价结合用 3000 元购进 A、B 两种口罩 1100 个，即可得出关于 x 的分式方程，解之

29、经 检验后即可得出结论； （2）购进 A 口罩 m 个，则购进 B 口罩（2600m）个，根据总价单价数量结合总价 不超过7000元， 即可得出关于m的一元一次不等式， 解之取其中的最大值即可得出结论 【解答】解： （1）设 B 口罩的单价为 x 元/个，则 A 口罩单价为 1.2x 元/个，根据题意， 得： +1100， 解得：x2.5， 经检验，x2.5 是原方程的解，且符合题意， 则 1.2x3 答：A 口罩单价为 3 元/个，B 口罩单价为 2.5 元/个 （2）设购进 A 口罩 m 个，则购进 B 口罩（2600m）个， 依题意，得：3m+2.5（2600m）7000， 解得：m10

30、00 答：A 种口罩最多能购进 1000 个 19（8 分） 某校为了了解学生的安全意识， 在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查 根 据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄” 、 “一般” 、 “较强” 、 “很强”四个层次，并 绘制如下两幅尚不完整的统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查一共抽取了 200 名学生，将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中， “较强”层次所占圆心角的大小为 108 ； （3）若该校有 1900 名学生，现要对安全意识为“淡薄” 、 “一般”的学生强化安全教育， 根据调查结果，请你估计全校需要强化安全教育的学生人数 【分析】 （1）根据意识“

31、很强”的学生人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数， 然后根据条形统计图中的数据，可以计算出意识“较强”的学生人数，从而可以将条形 统计图补充完整； （2）根据（1）中补充完整条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中， “较强”层 次所占圆心角的度数； （3）根据条形统计图中的数据，可以计算出和全校需要强化安全教育的学生人数 【解答】解： （1）这次调查的了：9045%200 名学生， 具有“较强”意识的学生有：20020309060（人） ， 故答案为：200， 补全的条形统计图如右图所示； （2）扇形统计图中， “较强”层次所占圆心角的大小为 360108， 故答案为：108； （3

32、）1900475（人） 答：全校需要强化安全教育的学生有 475 人 20 （6 分）一个不透明的口袋里装着分别标有数字2，1，1，2 的四个小球，除数字不 同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀 （1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率为 ； （2）从中任取一球，将球上的数字记为 x，然后再从剩余的球中任取一球，将球上的数 字记为 y，试用画树状图（或列表法）表示出点（x，y）所有可能的结果，并求点（x，y） 在反比例函数图象上的概率 【分析】 （1）共有四个数，其中两个负数，因此可求抽取的数字恰好为负数的概率； （2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，得出点（x，y）在反

33、比例函数图象 上的情况，进而求出概率 【解答】解： （1）共有四个数，其中两个负数，因此可求抽取的数字恰好为负数的概率 为； 故答案为：； （2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有 12 种等可能出现的结果，其中点（x，y）在反比例函数图象上的有 4 种， 因此点（x，y）在反比例函数图象上的概率 P 21（6 分） 西安市某中学在创建 “特色校园” 的活动中， 将本校的办学理念做成宣传牌 （AB） ， 放置在教学楼的顶部（如图所示） 小明在操场上的点 D 处，用 1 米高的测角仪 CD，从 点 C 测得宣传牌的底部 B 的仰角为 30， 然后向教学楼正方向走了 5 米到达点 F

34、处， 又 从点 E 测得宣传牌的顶部 A 的仰角为 45，已知教学楼高 BM16 米，且点 A，B，M 在同一直线上，求宣传牌 AB 的高度 （结果保留根号） 【分析】根据题意构造直角三角形，利用三角函数求解 【解答】解：如图： 过点 C 作 CGAM 于 G， 得矩形 CDMG 和矩形 EFMG， MGCDEF1 （米） ， BM16（米） ， GB15 （米） ， 设 AB 为 x， AEG45 EGAG15+x，CG20+x， 在 RtCBG 中，BCG30， tan30， 即， 解得 x1520（米） 答：宣传牌 AB 的高度为（1520）米 22 （8 分）如图，在 RtABC 中，

35、ACB90，D 是 AC 上一点，过 B，C，D 三点的O 交 AB 于点 E， 连接 ED， EC， 点 F 是线段 AE 上的一点， 连接 FD， 其中FDEDCE （1）求证：DF 是O 的切线 （2）若 D 是 AC 的中点，A30，BC4，求 DF 的长 【分析】 （1）可证得 BD 是O 的直径，BCEBDE，则BDE+FDE90，结 论得证； （2） 先求出 AC 长， 再求 DE 长， 在 RtBCD 中求出 BD 长， 在 RtBED 中求出 BE 长， 证得FDEDBE，由比例线段可求出 DF 长 【解答】解： （1）ACB90，点 B，D 在O 上， BD 是O 的直径，

36、BCEBDE， FDEDCE，BCE+DCEACB90， BDE+FDE90， 即BDF90， DFBD， 又BD 是O 的直径， DF 是O 的切线 （2）如图，ACB90，A30，BC4， AB2BC248， 4， 点 D 是 AC 的中点， ， BD 是O 的直径， DEB90， DEA180DEB90， ， 在 RtBCD 中，2， 在 RtBED 中，BE5， FDEDCE，DCEDBE， FDEDBE， DEFBED90， FDEDBE， ，即， 23 （9 分）每年九月开学前后，是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文具盒专柜李经理 记录了 15 天的销售数量和销售单价， 其中销售单

37、价 y （元/个） 与时间第 x 天 （x 为整数） 的数量关系如图所示，日销量 p（个）与时间第 x 天（x 为整数）的函数关系式为： P （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围； （2）设日销售额为 W（元） ，求 W（元）关于 x（天）的函数解析式；在这 15 天中，哪 一天销售额 W（元）达到最大，最大销售额是多少元； （3）由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于 1800 元，文具 盒专柜将亏损直接写出哪几天文具盒专柜处于亏损状态？ 【分析】 （1）是分段函数，利用待定系数法可得 y 与 x 的函数关系式； （2）是分段函数，根据日

38、销售额为 W（元）销售单价 y（元/个）日销量 p（个） ， 可得 W 与 x 的函数关系式，并根据增减性确定最大值； （3）根据（2）中分类讨论的解析式，由每天的营业额低于 1800 元列不等式或等式可解 答 【解答】解： （1）当 1x5 时，设一次函数的解析式为：ykx+b（k0） 把 A（1，14）和 B（5，10）代入得：， 解得：， 一次函数的解析式为：yx+15（k0） ； 综上，y 与 x（x 为整数）的函数关系式为：y； （2）当 1x5 时，Wpy（x+15） （20 x+180）20 x2+120 x+270020（x 3）2+2880， x 是整数， 当 x3 时，W

39、有最大值为：2880， 当 5x9 时，Wpy10（20 x+180）200 x+1800， x 是整数，2000， 当 5x9 时，W 随 x 的增大而增大， 当 x9 时，W 有最大值为：2009+18003600， 当 9x15 时，W10（60 x+900）600 x+9000， 6000， W 随 x 的增大而减小， x9 时，W 有最大值为：6009+90005400+90003600， 综上，在这 15 天中，第 9 天销售额达到最大，最大销售额是 3600 元； （3）当 1x5 时，W20（x3）2+28801800， 解得：x33， 738， 103+311， 当 1x5

40、时，每天的营业额高于 1800 元； 当 5x9 时，W200 x+18001800， x0， 当 9x15 时，W600 x+90001800， x12， 综上，文具盒专柜处于亏损状态是：第 13 天，第 14 天，第 15 天 24 （10 分）如图 1 所示，边长为 4 的正方形 ABCD 与边长为 a（1a4）的正方形 CFEG 的顶点 C 重合，点 E 在对角线 AC 上 【问题发现】如图 1 所示，AE 与 BF 的数量关系为 AEBF ； 【类比探究】如图 2 所示，将正方形 CFEG 绕点 C 旋转，旋转角为 （030） ，请 问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不

41、成立，说明理由； 【拓展延伸】若点 F 为 BC 的中点，且在正方形 CFEG 的旋转过程中，有点 A、F、G 在 一条直线上，直接写出此时线段 AG 的长度为 +或 【分析】 【问题发现】证出 ABEF，由平行线分线段成比例定理得出，即 可得出结论； 【类比探究】证明ACEBCF，得出，即可的结论； 【拓展延伸】分两种情况，连接 CE 交 GF 于 H，由正方形的性质得出 ABBC4，AC AB4，GFCECF，GHHFHEHC，得出 CFBC2，GFCE 2， HFHEHC， 由勾股定理求出 AH， 即可得出答案 【解答】 【问题发现】 解：AEBF，理由如下： 四边形 ABCD 和四边形

42、 CFEG 是正方形， BCFE90，FCEBCA45，CECF，CEGF， ABEF， ， AEBF； 故答案为：AEBF； 【类比探究】 解：上述结论还成立，理由如下： 连接 CE，如图 2 所示： FCEBCA45， BCFACE45ACF， 在 RtCEG 和 RtCBA 中， CECF，CACB， ， ACEBCF， ， AEBF； 【拓展延伸】 解：分两种情况： 如图 3 所示： 连接 CE 交 GF 于 H， 四边形 ABCD 和四边形 CFEG 是正方形， ABBC4，ACAB4，GFCECF，HFHEHC， 点 F 为 BC 的中点， CFBC2，GFCE2，GHHFHEHC

43、， AH， AGAH+HG+； 如图 4 所示：连接 CE 交 GF 于 H， 同得：GHHFHEHC， AH， AGAHHG； 故答案为：+或 25 （12 分）已知：二次函数 yax2+bx+c 的图象的顶点为（1，4） ，与 x 轴交于 A，B 两 点，与 y 轴交于点 C（0，3） ，如图 （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线的对称轴上有一点 M，使得BCM 的周长最小，求出点 M 的坐标； （3）连结 AD、CD，求 cosADC 的值； （4）若点 Q 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 P，使得以 A、B、Q、P 四点为 顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的

44、点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由 【分析】 （1）利用待定系数法求出二次函数的表达式； （2）根据轴对称最短路径问题得到点 M 的位置，利用待定系数法求出直线 AC 的函数解 析式，代入计算得到答案； （3）连结 AC，根据勾股定理的逆定理得到ACD90，根据余弦的定义计算即可； （4）根据平行四边形的判定定理画出图形，根据二次函数图象上点的坐标特征解答 【解答】解： （1）抛物线的顶点为（1，4） ， 设函数表达式为 ya（x+1）2+4 图象过点 C（0，3） ， 当 x0 时，y3， 3a（0+1）2+4 解得，a1 函数表达式为 y（x+1）2+4，即 yx22x+3； （2）x

45、22x+30， x13，x21， 点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（1，0） ， A、B 关于对称轴 x1 对称，点 M 在对称轴 x1 上， MAMB， BCM 的周长BC+CM+BMBC+CM+AM， 当 A、M、C 在同一直线上时，BCM 的周长最小， 设直线 AC 的函数解析式为 ykx+b， 则， 解得， 直线 AC 的函数解析式为 yx+3， 点 M 的横坐标为 x1， 所以点 M 的坐标为（1，2） ； （3）连结 AC， 由勾股定理，得 AC232+ （03） 218，CD2（0+1）2+（34）22， AD2 （1+3） 2+（40）220， AC2+CD2AD

46、2， ACD 是直角三角形， ACD90， cosADC； （4）如图 2，当点 P 与点 D 重合，点 Q 与点 P 关于 y 轴对称时，四边形 AQBP 的对角 线互相平分， 四边形 AQBP 是平行四边形，此时点 P 的坐标为（1，4） ， 当 PQAB，PQAB4 时，四边形 APQB 是平行四边形， 此时 P点的横坐标为145， P的纵坐标为：25+10+312， 点 P的坐标为（5，12） ， 当 PQAB，PQAB4 时，四边形 AQPB 是平行四边形， 此时 P点的横坐标为1+43， P的纵坐标为：96+312， 点 P的坐标为（3，12） ， 综上所述：以 A、B、Q、P 四点为顶点的四边形为平行四边形，点 P的坐标为（1，4）或 （5，12）或（3，12）