1、第六章第六章 反比例函数反比例函数 尖子生训练尖子生训练 一选择题 1对于反比例函数y，下列说法正确的是（ ） A图象经过点（1，1） B图象位于第二、四象限 C当x0 时，y随x增大而增大 D图象是中心对称图形 2 已知当x2时， 反比例函数y与正比例函数yk2x的值相等， 则k1：k2的值是 （ ） A B1 C2 D4 3如图，已知双曲线y（k0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB 相交于点C若AOC的面积为 9，则k的值为（ ） A4 B6 C9 D12 4在同一平面直角坐标系中，画正比例函数ykx和反比例函数y（k0）的图象， 大致是（ ） A B C D 5如图，
2、点B在反比例函数y（x0）的图象上，过B分别向x轴，y轴作垂线，垂足 分别为A，C，则矩形OABC的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 6如图，点A是双曲线y在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支 于点B，以AB为底作等腰ABC，且ACB120，点C在第一象限，随着点A的运动， 点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y上运动，则k的值为（ ） A1 B2 C3 D4 7已知直线OA的解析式为y1kx，且这条直线与x轴的正半轴的夹角为 30，y2（x 0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A两函数图象的交点坐标为（，1）或（，1） B当x时，y2y1 C当x1 时，BC
3、2 D当x1 时，ABC的面积为 1 8对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最 小时，我们称这个最小长度为G1、G2的“密距”例如，如上图，A（2，3），B（1， 3），C（1，0），则点A与射线OC之间的“密距”为，点B与射线OC之间的“密 距”为 3如果直线yx1 和双曲线y之间的“密距”为，则k值为（ ） Ak4 Bk4 Ck6 Dk6 9已知ba0，如图，过函数y（x0）图象上一点A作AB平行于x轴，交函数y （x0）的图象于点B，过点A作AC平行于y轴，交函数y（x0）的图象于 点C，则ABC的面积为（ ） A B C D 10如图，已
4、知A、B两点是反比例函数y（x0）的图象上任意两点，过A、B两点分 别作y轴的垂线，垂足分别是C、D连接AB、AO、BO，则梯形ABDC的面积与ABO的面 积比是（ ） A2：1 B1：2 C1：1 D2：3 二填空题 11如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象都经过点A（2，6）和点 B（4，n），则不等式kx+b的解集为 12 设反比例函数y与一次函数yx+2 的图象交于点 （a，b） ， 则的值为 13如图，点A在双曲线y的第一象限的那一支上，ABy轴于点B，点C在x轴正半 轴上，且OC2AB，点E在线段AC上，且AE3EC，点D为OB的中点，若ADE的面积 为，则k的值为
5、14 已知A、B分别在反比例函数、上， 当AOBO时，AO：BO3： 2， 则k 15如图，OAP、ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y（x0）的图象上， 直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为 16如图，一动点A在函数的图象上，ABx轴于点B，ACy轴于点C，延长 CA至点D， 使ADAB， 延长BA至点E， 使AEAC， 直线DE分别交x轴于点P、Q， 当 时，图中阴影部分的面积等于 三解答题 17如图所示，已知直线y1x+m与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2（x 0）的图象分别交于点C、D，且C的坐标为（1，2） （1）分别求出直线AB与反比例函数的表达式； （2）求
6、出点D的坐标； （3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时y1y2 18已知反比例函数与一次函数ykx2 的图象都经过点A（a，4），且一次函数 ykx2 的图象与x轴交于点B （1）求a、k的值； （2）直线AB与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为点D，那么请确定AOD与 COB的大小关系； （3）若点E为x轴上一动点，是否存在以CB为腰的等腰CBE？如果存在请写出E点坐 标；如果不存在，请说明理由 19对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P的坐标为（，ka+b）（其中 k为常数，且k0），则称点P为点P的“k属派生点”例如：P（1，4）的“2 属派 生点”为P（1+，2
7、1+4），即P（3，6） （1）点P（1，2）的“2 属派生点”P的坐标为 ； （2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P点，且OPP为等腰直角 三角形，求k的值； （3）已知点Q为二次函数图象上的一动点，点A在函数（x 0）的图象上，且点A是点B的“属派生点”，当线段BQ最短时，求Q点坐标 20教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温上升，加热到 100停止加 热，水温开始下降，水温降至 30，饮水机自动开始加热，重复上述程序值日生小明 7 点钟到校后接通饮水机电源，在水温下降的过程中进行了水温检测，记录如下表： 时间x 7：00 7：02 7：05 7：07 7：1
8、0 7：14 7：20 水温y 30 50 80 100 70 50 35 （1）在图中的平面直角坐标系，画出水温y关于饮水机接通电源时间x的函数图象； （2）借助（1）所画的图象，判断从 7：00 开始加温到水温第一次降到 30为止，水温 y和时间x之间存在怎样的函数关系？试求出函数关系并写出自变量x取值范围； （3）上午第一节下课时间为 8：25，同学们能不能喝到不超过 50的水？请通过计算说 明 21如图 1 所示，已知y（x0）图象上一点P，PAx轴于点A（a，0），点B（0，b） （b0），动点M是y轴正半轴点B上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂 线，交射线AP于点D，交
9、直线MN于点Q，连接AQ，取AQ中点为C （1）如图 2，连接BP，求PAB的面积； （2）当Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为 2，求此时Q、P点的坐 标；并求出此时在y轴上找到点E点，使|EQEP|值最大时的点E坐标 参考答案 一选择题 1解：A、1（1）11，点（1，1）不在反比例函数y的图象上，故本 选项错误； B、k10，反比例函数y的图象在一、三象限，故本选项错误； C、k10，此函数在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误； D、函数y是反比例函数，此函数的图象是中心对称图形，故本选项正确 故选：D 2解：把x2 代入反比例函数解析式可得，y， 把x2 代入正比
10、例函数解析式可得，y2k2， 当x2 时，反比例函数y与正比例函数yk2x的值相等， 2k2， k1：k24， 故选：D 3解：设D（t，）， 点D为OA的中点， A（2t，）， ABx， C点的横坐标为 2t， C（2t，）， SOAC（）（2t）9， k6 故选：B 4解：当k0 时，正比例函数ykx的图象经过二四象限， 当k0 时，反比例函数y的图象位于二四象限 故选：B 5解：矩形OABC的面积|2|2 故选：B 6解：连接CO，过点A作ADx轴于点D，过点C作CEx轴于点E， 连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰ABC，且ACB120， COAB，CAB30， 则AOD+
11、COE90， DAO+AOD90， DAOCOE， 又ADOCEO90， AODOCE， tan60，则3， 点A是双曲线y在第二象限分支上的一个动点， |xy|ADDO63， kECEO1， 则ECEO2 故选：B 7解：作ADx轴于D，如图， 设A（t，）（t0）， 在 RtOAD中，tanAODtan30， t， A（，1），所以A选项错误； 当x时，y1y2，所以B选项错误； 把A（，1）代入ykx得k，则直线OA的解析式为yx， 当x1 时，y， 则B（1，）； 当x1 时，yx， 则C（1，）， BC，所以C选项错误； SABC（1）1，所以D选项正确 故选：D 8解： 根据“密距
12、”的定义可知双曲线图象在二、四象限，且离第四象限最近， 设双曲线上点D到直线yx1 距离最近，如图，设直线yx1 与y轴交于点E，过D 作直线yx1 的平行线，交y轴于点G，过D作直线yx1 的垂线，垂足为E，过E 作EHDG，垂足为H， 则由题意可知DFEH， 又OEF45， EGH45， EHHG， EGEH3， 又OE1， OG4， 直线DG的解析式为yx4， 联立直线DG和双曲线解析式可得，消去y整理可得x24xk0， 直线DG与双曲线只有一个交点， 方程x24xk0 有两个相等的实数根， 0，即（4）2+4k0，解得k4， 故选：B 9解：设A（m，n）， 点A在y上， mna， A
13、C平行于y轴，点C在y的图象上， C（m，）， AB平行于x轴，点B在y的图象上， B（，n）， ABm，ACn， SABCABAC（m）（n）， 故选：C 10解：梯形ABDC的面积四边形OBAC的面积OBD的面积 AOC的面积+ABO的面积OBD的面积， AOC的面积OBD的面积， 梯形ABDC的面积ABO的面积， 梯形ABDC的面积与ABO的面积比为 1：1 故选：C 二填空题（共 6 小题） 11解：由图可知，当2x0 或x4 时，反比例函数图象在一次函数图象上方， 所以，不等式kx+b的解集为2x0 或x4 故答案为：2x0 或x4 12解：将点（a，b）代入y得到ab3， 将点（a
14、，b）代入yx+2 得a+2b，即ba2， 则 故答案为 13解：连CD，如图， AE3EC，ADE的面积为， CDE的面积为， ADC的面积为 2， 设A点坐标为（a，b），则ABa，OC2AB2a， 点D为OB的中点， BDODb， S梯形OBACSABD+SADC+SODC， （a+2a）bab+2+2ab， ab， 把A（a，b）代入双曲线y得， kab 故答案为： 14解：过点A作ANx轴于点N，过点B作BMx轴于点M， AOBO， AON+BOM90， OBM+BOM90， OBMAON， 又ANOBMO90， ANOOMB， AO：BO3：2， ， ， A、B分别在反比例函数、上
15、， ANNO9，BMMOk， 则k4 故答案为：4 15解：OAP是等腰直角三角形， 直线OP：yx，联立y（x0）可得P（2，2）， A（2，0）， 由于直线OPAQ，可设直线AQ：yx+h，则有： 2+h0，h2； 直线AQ：yx2； 联立y（x0）可得Q（1+，1），即B（1+，0） 故答案为：（1+，0） 16解：作DFx轴于点F，EGy轴于G， QEGDPF， ， 设EG4t，则PF9t， A（4t，）， ACAE，ADAB， AE4t，AD，DF，PF9t， ADEFPD， AE：DFAD：PF，即 4t：9t，即t2， 图中阴影部分的面积4t4t+ 故答案为： 三解答题（共 5
16、小题） 17（1）解：直线y1x+m与反比例函数y2（x0）的图象经过点C（1，2）， 21+m，2k， m3，k2， 直线AB的解析式为y1x+3，反比例函数解析式为y2 （2）由解得， 点D坐标（2，1） （3）由图象可知：2x1 时，y1y2 18解：（1）把A（a，4）代入y得：4， 解得a2， 即A（2，4）， 代入ykx2 得：42k2， k1 答：a2，k1； （2）AODCOB ， 解得， 点C的坐标为（4，2）， x0 时，y2， 点D的坐标为（0，2）， 如图 1，作CEx轴于E，AFy轴于F， 点A的坐标为（4，2）， OF4，AF2， 点C的坐标为（2，4）， OE4，
17、CE2， 在OAF和OCE中， ， OAFOCE， AODCOB； （3）点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（4，2）， BC2， 当点E在点B的左侧，BCBE时，点E的坐标为（22，0）； 当点E在点B的右侧，BCBE时，点E的坐标为（2+2，0）； 当点E在点B的右侧，BCCE时，点E的坐标为（6，0）； 当点E的坐标为（22，0）、（2+2，0）、（6，0）时，CBE是以CB为腰的 等腰的等腰三角形 19解：（1）P（1，2）的“2 属派生点”是（1+，212）即（2，4）， 故答案是：（2，4）； （2）设P（a，0），则“k属派生点”为P点的坐标是（a，ka）， OPP是等腰直角三
18、角形， |ka|a， 可得：k1； （3）设B（a，b）， B的“属派生点”是A， A（，） 点A还在反比例函数的图象上， ， B在直线l：上 设直线l的平行线为 点Q在直线图象上 联立得， 由题意0 时BQ最短， 此时点Q的坐标为 20解：（1）图象如下： （2）由图象可知，在加热过程中y是x的一次函数，故设y1kx+b， 将（0，30），（2，50）代入，得：， 解得：， 故y110 x+30，（0 x7）； 在降温过程中y是x的反比例函数，可设y2， 将（10，70）代入，得m700， 故y2， 当y30 时，x，故降温过程中 7x； （3）将y50 分别代入以上两个解析式，得x12，x
19、214， 将y30 代入y2，得x，即饮水机一个循环周期为分钟， 每个循环周期内，当 0 x2 及 14x时，水温不超过 50， 而 7：00 至 8：25 共 85 分钟，85315， 1415， 8：25 时同学们能喝到不超过 50的水 21解：（1）如图 2，连接OP SPABSPAOxy63； （2）如图 1，四边形BQNC是菱形， BQBCNQ，BQCNQC， ABBQ，C是AQ的中点， BCCQAQ， BQC60，BAQ30， 在ABQ和ANQ中， ， ABQANQ（SAS）， BAQNAQ30， BAO30， S菱形BQNC2CQBN， 令CQ2tBQ，则BN2（2t）2t， t1 BQ2， 在 RtAQB中，BAQ30， ABBQ2， BAO30 OAAB3， 又P点在反比例函数y的图象上， P点坐标为（3，2）， ABQANQ， ANQABQ90，ANAB2， MNOA， BMQ90， BAO30，AOB90， ABO60， MBQ30， MQBQ21， OMAN2， Q（1，2）； 如图 3，作直线PQ，交y轴于E点，此时|EQEP|值最大； 设直线PQ的解析式为ykx+b， P（3，2），Q（1，2）， ，解得， 直线PQ的解析式为y（1）x+31， 令x0，则y31， E（0，31）
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