1、20202020 年江西省南昌二中高考数学质检试卷（文科）（年江西省南昌二中高考数学质检试卷（文科）（7 7 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合Ax|2x1|3，Bx|ylg（x 2x6），则 RAB（ ） A（1，3） B C（2，3） D（2，1） 2复数z（sin2cos）+（sin+2cos）i是纯虚数，则 sincos（ ） A B C D 3甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n 的比值（ ） A B C2 D3 4在等差数列an中，a3+a8+a1327，Sn表示数列an的前n项和，则S15（ ） A134 B135 C
2、136 D137 5已知a0，b0，两直线l1：（a1）x+y10，l2：x+2by+10 且l1l2，则 的最小值为（ ） A2 B4 C8 D9 6执行如图所示的程序框图，输出S的值是（ ） A0 B C D 7圆柱的底面半径为r，侧面积是底面积的 4 倍O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取 一点P，则使|PO|r的概率为（ ） A B C D 8下列四个命题中，正确的有（ ） 两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低； 命题“xR，使得x 2+x+10”的否定是：“对xR，均有 x 2+x+10”； 命题“pq为真”是命题“pq为真”的必要不充分条件； 若函数f（x）x
3、 3+3ax2+bx+a2在 x1 有极值 0，则a2，b9 或a1，b3 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 9已知x，y满足区域D：，则的取值范围是（ ） A1，+） B C D 10函数的图象大致为（ ） A B C D 11已知抛物线C：x 24y，焦点为 F，圆M：x 22x+y2+4y+a20（a0），过 F的直线l 与C交于A，B两点 （点A在第一象限） ， 且， 直线l与圆M相切， 则a （ ） A0 B C D3 12若函数f（x）ax 2+（2a）xlnx（aR）在其定义域上有两个零点，则 a的取值范 围是（ ） A（4（ln2+1），+） B（0，4（1+ln2） C
4、（，0）4（1+ln2） D（0，4（ln2+1） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置 13已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为 14已知ABC中，BAC60，AB2，AC4，E、F分别为BC边上三等分点，则 15若数列an的前n项和为Sn，对任意正整数n都有 3Sn+an2，记，则数 列的前 50 项的和为 16如图是 3 世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，阴 影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在 小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的
5、长分别为a，b（ab），则 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解 答应写在答题卡上的指定区域内 17已知各项都不相等的等差数列an中，又a1，a2，a6成等比数列 （I）求数列an的通项公式； （II） 若函数， 0， 的一部分图象如图所示，A（1，a1） ， B（3，a1）为图象上的两点，设AOB，其中O为坐标原点，0，求 cos （+）的值 18 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究， 他 们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的 发芽数，得到如下
6、资料： 日期 3 月 1 日 3 月 2 日 3 月 3 日 3 月 4 日 3 月 5 日 温差x（） 10 11 13 12 8 发芽数y （颗） 23 25 30 26 16 （1）从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n 均小于 25”的概率； （2）请根据 3 月 2 日至 3 月 4 日的数据，求出y关于x的线性回归方程 x （参考公式：回归直线方程为 x，其中 ， x） 19如图甲，在平面四边形ABCD中，已知A45，C90，ADC105，ABBD， 现将四边形ABCD沿BD折起， 使平面ABD平面BDC（如图乙） ， 设点E
7、、F分别为棱AC、 AD的中点 （）求证：DC平面ABC； （）设CD2，求三棱锥ABCD夹在平面BEF与平面BCD间的体积 20已知点M为椭圆上一个动点，且点M到两焦点的距离之和为 4， 离心率为，且点M与点N关于原点O对称 （）求椭圆的方程； （）过点M作椭圆的切线l与圆C：x 2+y24 相交于 A，B两点，当NAB的面积最大 时，求直线l的方程 21已知函数f（x）x+xlnx，h（x）（a1）x+xlnx+2ln（1+x） （）求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （）当a（0，2）时，求函数g（x）f（x）h（x）在区间0，3上的最小值 请考生在第 22-23 二题中任选
8、一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分作答时请写清 题号选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系 （与直角坐标系xOy取相同的长度单位， 且以原点O为极点， 以x轴正半轴为极轴） 中， 圆C的方程为 （）求圆C的圆心到直线l的距离； （）设圆C与直线l交于点A、B若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB| 选修 4-5：不等式选讲 23（）已知非零常数a、b满足，求不等式|2x+1|ab的解集； （）若x1，2，x|xa|1 恒成立，求常数a的取值范围 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每
9、小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1已知集合Ax|2x1|3，Bx|ylg（x 2x6），则 RAB（ ） A（1，3） B C（2，3） D（2，1） 解：因为Ax|2x1|3x|x2 或x1， 所以RA（1，5），Bx|ylg（x 2x6）x|x3 或 x4， 故选：B 2复数z（sin2cos）+（sin+2cos）i是纯虚数，则 sincos（ ） A B C D 解：复数z（sin2cos）+（sin+2cos）i是纯虚数， ，解得 tan2 故选：C 3甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n 的比值（ ） A B C2 D3
10、解：根据茎叶图知，乙的中位数是 31， 甲的中位数也是 31，即31， 又甲的平均数是（24+29+33+42）32， n9； 故选：A 4在等差数列an中，a3+a8+a1327，Sn表示数列an的前n项和，则S15（ ） A134 B135 C136 D137 解：在等差数列an中， a3+a8+a1327， Sn表示数列an的前n项和， 故选：B 5已知a0，b0，两直线l1：（a1）x+y10，l2：x+2by+10 且l1l2，则 的最小值为（ ） A2 B4 C8 D9 解：a0，b0，两直线l1：（a3）x+y10，l2：x+6by+10，且l1l2， （a6）+2b0，即a+2
11、b12ab，8，当且仅当a2b时，等 号成立 故选：C 6执行如图所示的程序框图，输出S的值是（ ） A0 B C D 解： 由已知中的程序语句可知： 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量Stan +tan+tan的值， 由于 tan的取值周期为 6，且 20173366+2， 故选：C 7圆柱的底面半径为r，侧面积是底面积的 4 倍O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取 一点P，则使|PO|r的概率为（ ） A B C D 解：根据题意，设圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，其底面面积Sr 2，侧面积 S侧 2rh， 若侧面积是底面积的 3 倍，即 2rh4r 2，则有 h3r， 若|PO|
12、r，则P在以O为球心，半径为r的球内，其体积V， 故选：C 8下列四个命题中，正确的有（ ） 两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低； 命题“xR，使得x 2+x+10”的否定是：“对xR，均有 x 2+x+10”； 命题“pq为真”是命题“pq为真”的必要不充分条件； 若函数f（x）x 3+3ax2+bx+a2在 x1 有极值 0，则a2，b9 或a1，b3 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 解：对于：相关系数r的绝对值越趋近于 1，相关性越强；越趋近于 0，相关性越弱， 故错误； 对于：命题“xR，使得x 2+x+10”的否定是：“对xR，均有 x 7+x+10”
13、，故 错误； 对于：f （x） 3x 2+6ax+b， 因为 f（x） 在x1 有极值 0， 故， 解得 当a1，b3 时，f（x）3x 7+6x+33（x+1）20 恒成立，此时 f（x）没有极值点， 故不符合条件； 故选：A 9已知x，y满足区域D：，则的取值范围是（ ） A1，+） B C D 解：作出不等式表示的平面区域如图所示， 令t，则t0，8，t+11，3， 而当 1+t1 时，1+t+31，当 1+t3 时，1+t+31， 的取值范围是，1 故选：C 10函数的图象大致为（ ） A B C D 解：根据题意，函数，其定义域为x|x0 有f（x）f（x），即函数f（x）为奇函数，
14、 排除A， f（x），当x+时，f（x）0，函数图象向x轴靠近， 排除C； 故选：D 11已知抛物线C：x 24y，焦点为 F，圆M：x 22x+y2+4y+a20（a0），过 F的直线l 与C交于A，B两点 （点A在第一象限） ， 且， 直线l与圆M相切， 则a （ ） A0 B C D3 解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，得，解得x11 ，则直线l的方程为y，即 3x+4y60 则圆M的圆心坐标为（1，2），半径为 故选：B 12若函数f（x）ax 2+（2a）xlnx（aR）在其定义域上有两个零点，则 a的取值范 围是（ ） A（4（ln2+1），+） B（0，4（1
15、+ln2） C（，0）4（1+ln2） D（0，4（ln2+1） 解：函数定义域为（0，+），由f（x）0 有两个根，而f（1）2，所以x1 不是 方程的根， 即直线ya与函数y有两个交点， 由图可知，a的取值范围是（4（1+ln4），+） 故选：A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置 13已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为 解：由三视图还原原几何体如图， PA底面ABC，且ABPA2， BC平面PAC，得BCPC，取PB中点O，则O为三棱锥PABC外接球的球心， 这个几何体的外接球的体积为 故答案为： 14已知A
16、BC中，BAC60，AB2，AC4，E、F分别为BC边上三等分点，则 解：根据题意，作出如下所示的图形： 同理可得，+， + 故答案为： 15若数列an的前n项和为Sn，对任意正整数n都有 3Sn+an2，记，则数 列的前 50 项的和为 解：数列an的前n项和为Sn，对任意正整数n都有 3Sn+an2， 当n1 时， 得 3（SnSn1）+（anan1）0， 所以数列an是以为首项，为公比的等比数列 所以 所以T50c1+c2+c50 故答案为： 16如图是 3 世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，阴 影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取
17、一点，这一点落在 小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（ab），则 解：根据题意知，大正方形的边长为，面积为a 2+b2， 小正方形的面积为（a 2+b6）4 aba 4+b22ab； 3（）+10， 又ab， 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解 答应写在答题卡上的指定区域内 17已知各项都不相等的等差数列an中，又a1，a2，a6成等比数列 （I）求数列an的通项公式； （II） 若函数， 0， 的一部分图象如图所示，A（1，a1） ， B（3，a1）为图象上的两点，设AOB，其中O为坐标原点，0，求 c
18、os （+）的值 解：（I）设等差数列an的公差为d（d0），则a4a1+3d， a1，a2，a6成等比数列，a4a6，即a1（a1+5d）， ana2+（n1）dn（nN *） 把A（1，）代入函数ysin（x+），得 +2k，kZ A（1，），B（5，）， 在AOB中，由余弦定理知，cosAOB， 又 5， cos（+）cos（+）coscossinsin（） （） 18 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究， 他 们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的 发芽数，得到如下资料： 日期 3 月 1
19、 日 3 月 2 日 3 月 3 日 3 月 4 日 3 月 5 日 温差x（） 10 11 13 12 8 发芽数y （颗） 23 25 30 26 16 （1）从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n 均小于 25”的概率； （2）请根据 3 月 2 日至 3 月 4 日的数据，求出y关于x的线性回归方程 x （参考公式：回归直线方程为 x，其中 ， x） 解： （1）m，n构成的基本事件（m，n）有： （23，25）， （23，30）， （23，26）， （23， 16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26）
20、，（30，16），（26，16）， 共有 10 个其中“m，n均小于 25”的有 1 个，其概率为 （2）， 故所求线性回归方程为 19如图甲，在平面四边形ABCD中，已知A45，C90，ADC105，ABBD， 现将四边形ABCD沿BD折起， 使平面ABD平面BDC（如图乙） ， 设点E、F分别为棱AC、 AD的中点 （）求证：DC平面ABC； （）设CD2，求三棱锥ABCD夹在平面BEF与平面BCD间的体积 解：（）证明：由已知A45，C90，ADC105，ABBD， 得DCBC，ABAD， AB平面BCD，得ABDC， DC平面ABC； CD2，BDAB4，BC2，则 由（）知DC平面A
21、BC，则EF平面ABC 三棱锥ABCD夹在平面BEF与平面BCD间的体积为 20已知点M为椭圆上一个动点，且点M到两焦点的距离之和为 4， 离心率为，且点M与点N关于原点O对称 （）求椭圆的方程； （）过点M作椭圆的切线l与圆C：x 2+y24 相交于 A，B两点，当NAB的面积最大 时，求直线l的方程 解：（）由椭圆的定义可得 2a4，即a2， 又e，可得c，b1， （）设M（m，n），由题意可得N（m，n）， 可得过M的切线的斜率为， 化为mx+4ny4， 圆C的圆心为（7，0），半径为 2，可得圆心到切线的距离为， 故SNAB22|n| 4， 则当NAB的面积最大时， 直线l的方程为x+
22、8y120， 或x8y120， 或x+8y+120，或x8y+120 21已知函数f（x）x+xlnx，h（x）（a1）x+xlnx+2ln（1+x） （）求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （）当a（0，2）时，求函数g（x）f（x）h（x）在区间0，3上的最小值 解：（）依题意，f（x）1+lnx+1lnx+2，故kf（1）2， 又f（1）3， （ ） 由 题 意 可 知 ，g（x） （ 2 a）x 2ln（x+1 ） （x 1 ） ， 则 ， 6a0， 函数g（x）在上单调递减，在单调递增， 当，即时，g（x）在单调递减，在单调 递增， ； 当，即时，g（x）在0，3单调递减
23、， g（x）ming（3）83a2ln4； 综上， 当时，； 当时，g（x）min63a4ln2 请考生在第 22-23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分作答时请写清 题号选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系 （与直角坐标系xOy取相同的长度单位， 且以原点O为极点， 以x轴正半轴为极轴） 中， 圆C的方程为 （）求圆C的圆心到直线l的距离； （）设圆C与直线l交于点A、B若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB| 解：（） 由， 可得， 即圆C的方程为 由可得直线l的方程为 （）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即 所以，又直线l过点， 故由上式及t的几何意义得 选修 4-5：不等式选讲 23（）已知非零常数a、b满足，求不等式|2x+1|ab的解集； （）若x1，2，x|xa|1 恒成立，求常数a的取值范围 解：（I）由已知， a、b不为 0，ab1，或a+b0， ab6 时，原不等式相当于|2x+1|1， 所以，2x+11 或2x+11， a+b0 时，a，b异号，ab0， （）由已知得，|xa|x17， a1 时，（a1）（a2x+1）8 恒成立， a1 时，由（a1）（a2x+1）4 得，a2x1，从而a1， 综上所述，a的取值范围为（，13，+）
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