1、1.3.2 杨辉三角杨辉三角 学习目标 1.了解杨辉三角， 会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2. 理解二项式系数的性质并灵活运用 知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质 (ab)n的展开式的二项式系数，当 n 取正整数时可以表示成如下形式： 思考 1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ 答案 在同一行中， 每行两端都是 1， 与这两个 1 等距离的项的系数相等； 在相邻的两行中， 除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和 思考 2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 答案 2,4,8,16,32,64，其系数和为 2n. 思考 3 二项式系数的最大值有
2、何规律？ 答案 当 n2,4,6 时，中间一项最大，当 n3,5 时中间两项最大 梳理 (1)二项式系数表及特征 当 n 依次取 1,2,3，时，(ab)n展开式的二项式系数如图所示： 图中所示的表叫做二项式系数表，它有这样的规律： 每一行的两端都是 1； 除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，即 Cm n1C m1 n Cm n. (2)二项式系数的性质 1杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列( ) 2二项式展开式的二项式系数和为 C1nC2nCnn.( ) 3二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同( ) 类型一 与杨辉三角有关的问题 例 1 如图所示，在“杨辉三角”中，
3、从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，记其前 n 项和为 Sn，求 S16的值 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 解 由题意及杨辉三角的特点可得 S16(12)(33)(64)(105)(369) (C22C12)(C23C13)(C24C14)(C29C19) (C22C23C24C29)(239) C310829 2 164. 引申探究 本例条件不变，若改为求 S21，则结果如何？ 解 S21(12)(33)(64)(5511)66(C22C12)(C23C13)(C24C14) (C211C111)C212(C22C23C24C
4、212)(2311) C31321110 2 28665351. 反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 跟踪训练 1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左至右的 第 14 个数与第 15 个数的比为 23. 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 34 解析 由题意设第 n 行的第 14 个数与第 15 个数的比为 23，它等于二项展开式的第 14 项 和第 15 项的二项式系数的比，所以 C13 nC 14 n23，即 14 n13 2 3，解得 n34，所以在第 34 行中，从左至右第 14 个数与第 15 个数的比为 23. 类型二 二项式
5、系数和与项的系数和问题 例 2 设(2 3x)100a0a1xa2x2a100 x100，求下列各式的值 (1)a0； (2)a1a2a3a4a100； (3)a1a3a5a99； (4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2； (5)|a0|a1|a100|. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)令 x0，则展开式为 a02100. (2)令 x1， 可得 a0a1a2a100(2 3)100， 所以 a1a2a100(2 3)1002100. (3)令 x1， 可得 a0a1a2a3a100(2 3)100. 与式联立相减得 a1a3a992 3 10
6、02 3100 2 . (4)由可得，(a0a2a100)2(a1a3a99)2(a0a1a2a100)(a0a1a2 a100)(2 3)100 (2 3)1001. (5)|a0|a1|a100|， 即(2 3x)100的展开式中各项系数的和， 在(2 3x)100的展开式中， 令 x1，可得各项系数的和为(2 3)100. 反思与感悟 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN)的式子求其展开式的各项系数之 和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对(axby)n(a，bR，nN)的式子求其展开式各项系 数之和，只需令 xy1 即可 (2)
7、一般地，若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0a2a4f1f1 2 ， 偶数项系数之和为 a1a3a5f1f1 2 . 跟踪训练 2 在二项式(2x3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9. (1)二项式系数之和为 C09C19C29C9929. (2)各项系数之和为 a0a1a2a9， 令 x1，y1， 所以 a0a1a2a9(23)91. (3
8、)令 x1，y1，可得 a0a1a2a959， 又 a0a1a2a91， 将两式相加可得 a0a2a4a6a85 91 2 ， 即所有奇数项系数之和为5 91 2 . 类型三 二项式系数性质的综合应用 例 3 在 x 2 x2 8的展开式中： (1)系数的绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 Tr1Cr8 ( x)8 r 2 x2 r 5 4 2 8 ( 1)C2 r rrr x . (1)设第 r1 项系数的绝对值最大， 则 Cr8 2rCr 1 8 2r 1， C
9、r8 2rCr 1 8 2r 1， 1 8r 2 r1， 2 r 1 9r， 解得 5r6. 又 0r8 且 rN，r5 或 r6. 故系数的绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项 (2)二项式系数最大的项为中间项，即第 5 项， T5 20 4 44 2 8 C2x 1 120 x 6. (3)由(1)知展开式中的第 6 项和第 7 项系数的绝对值最大，而第 6 项的系数为负，第 7 项的系 数为正， 系数最大的项为 T7C68 26 x 111 792x11. (4)系数最小的项为 T6 17 55 2 8 C2x 17 2 1 792x . 反思与感悟 (1)求二项式系数最大的项： 若
10、n 是偶数，则中间一项 即第n 21项 的二项式系数最大； 若 n 为奇数，则中间两项 即第n1 2 项与第n1 2 1项 的二项式系数相等且最大 (2)求展开式中系数最大的项：如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数最大的项，一般是采用 待定系数法，设展开式中各项系数分别为 A1，A2，An1，且第 r 项系数最大，应用 ArAr1， ArAr1， 从而解得 r 即可 跟踪训练 3 写出(xy)11的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)项的系数绝对值最大的项； (3)项的系数最大的项和系数最小的项； (4)二项式系数的和； (5)各项系数的和 考点 展开式中系数的和问题 题点 二
11、项展开式中系数的和问题 解 (1)二项式系数最大的项为中间两项： T6C511x6y5，T7C611x5y6. (2)(xy)11展开式的通项为 Tr1Cr11x11 r(y)rCr 11(1) rx11ryr， 项的系数的绝对值为|Cr11 (1)r|Cr11， 项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6C511x6y5，T7 C611x5y6. (3)由(2)知中间两项系数绝对值相等， 又第 6 项系数为负，第 7 项系数为正， 故项的系数最大的项为 T7C611x5y6，项的系数最小的项为 T6C511x6y5. (4)展开式中，二项式系数的和为 C011C111
12、C211C11 112 11. (5)令 xy1，得展开式中各项的系数和为 C011C111C211C11 11(11) 110. 1在(1x)n(nN)的二项展开式中，若只有 x5的系数最大，则 n 等于( ) A8 B9 C10 D11 考点 二项式系数的性质 题点 用二项式系数的性质计算 答案 C 解析 由题意知(1x)n的二项展开式中，x5的系数就是第 6 项的系数，因为只有 x5的系数最 大，所以 n10. 2若(x3y)n的展开式中所有项的系数之和等于(7ab)10的展开式的二项式系数之和，则 n 的值为( ) A15 B10 C8 D5 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开
13、式中系数的和问题 答案 D 解析 令 xy1，得(x3y)n的展开式中所有项的系数和为 4n，(7ab)10的展开式中所有项 的二项式系数之和为 210，故 4n210，即 n5. 3(1x)2n 1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( ) An，n1 Bn1，n Cn1，n2 Dn2，n3 考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求二项式系数最大(小)的项 答案 C 解析 (1x)2n 1展开式有 2n2 项系数最大的项是中间两项，是第 n1 项与第 n2 项， 它们的二项式系数为 Cn2n1与 Cn 1 2n1. 4设(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 a0a1
14、a2a3的值为_ 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 15 解析 令 x1，得 a0a1a2a3a41. 又 Tr1Cr4(2x)4 r(1)r3r， 当 r0 时，x4的系数 a416. 由，得 a0a1a2a315. 5已知 x21 x n展开式中的二项式系数的和比(3a2b)7展开式的二项式系数的和大 128，求 x21 x n展开式中的系数最大的项和系数最小的项 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 2n27128，n8， x21 x 8的通项 T r1C r 8(x 2)8r 1 x r (1)rCr8x16 3r. 当 r4 时，展开式中的系数最大，即 T570 x4为展开式中的系数最大的项； 当 r3 或 5 时，展开式中的系数最小，即 T456x7，T656x 为展开式中的系数最小的 项 1二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出 2求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据 所求的展开式系数和的特征来确定一般地对字母赋的值为 0,1 或1，但在解决具体问题时 要灵活掌握 3注意以下两点 (1)区分开二项式系数与项的系数 (2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中 k0,1,2，n.
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