1、第第 2 课时课时 组合的应用组合的应用 学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问 题 1组合的有关概念 从 n 个不同元素中，任意取出 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中任取 m 个元 素的一个组合 组合数，用符号 Cm n表示其公式为 Cm nA m n Am m nn1n2nm1 m！ n！ m！nm！(n，mN ，mn)特别地 C0nCnn1. 2组合数性质 (1)Cm nC nm n . (2)Cm n1C m nC m1 n . 3组合应用题的解法 (1)无限制条件的组合应用题的解法步骤为：“一、判断；二、转化；三、求值；
2、四、作答” (2)有限制条件的组合应用题的解法 常用解法有：直接法、间接法，可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选 取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类. 类型一 简单的组合应用题 例 1 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名，选派 5 人外出比赛，在下列情 形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员 3 名，女运动员 2 名； (2)至少有 1 名女运动员； (3)既要有队长，又要有女运动员 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 解 (1)第一步：选 3 名男运动员，有 C36种选法；第二步：选 2 名女运动员，有 C24种选法，
3、 故共有 C36 C24120(种)选法 (2)方法一 (直接法) “至少有 1 名女运动员”包括以下几种情况，1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男 由分类加法计数原理知，共有 C14 C46C24 C36C34 C26C44 C16246(种)选法 方法二 (间接法) 不考虑条件，从 10 人中任选 5 人，有 C510种选法，其中全是男运动员的选法有 C56种，故“至 少有 1 名女运动员”的选法有 C510C56246(种) (3)当有女队长时，其他人选法任意，共有 C49种选法；不选女队长时，必选男队长，共有 C48种 选法，其中不含女运动员的选法有 C45种
4、，故不选女队长时共有(C48C45)种选法所以既有队 长又有女运动员的选法共有 C49C48C45191(种) 反思与感悟 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问 题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关， 而组合问题与取出元素的顺序无关 (2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有 无重复或遗漏 跟踪训练 1 在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试，学校要从中选出 5 人参加市级 培训在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选 5 人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加
5、； (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 解 (1)从中任选 5 人是组合问题，共有 C512792(种)不同的选法 (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外 9 人中选 2 人，是组合问题，共有 C2936(种)不 同的选法 (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的 9 人中选 5 人，共有 C59126(种)不同的选法 (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分为两步：先从甲、乙、丙中选 1 人，有 C133(种) 选法，再从另外 9 人中选 4 人，有 C49种选法，共有 C13C49378(种)不同的选法 类型二 与几何有关的组合
6、应用题 例 2 如图，在以 AB 为直径的半圆周上，有异于 A，B 的六个点 C1，C2，C6，线段 AB 上有异于 A，B 的四个点 D1，D2，D3，D4. (1)以这 10 个点中的 3 个点为顶点可作多少个三角形？其中含 C1点的有多少个？ (2)以图中的 12 个点(包括 A，B)中的 4 个点为顶点，可作出多少个四边形？ 考点 组合的应用 题点 与几何有关的组合问题 解 (1)方法一 可作出三角形 C36C16 C24C26 C14116(个) 方法二 可作三角形C310C34116(个)， 其中以C1为顶点的三角形有C25C15 C14C2436(个) (2)可作出四边形 C46
7、C36 C16C26 C26360(个) 反思与感悟 (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形， 防止多算常用直接法，也可采用间接法 (2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决 跟踪训练 2 空间中有 10 个点，其中有 5 个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点 共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( ) A205 B110 C204 D200 考点 组合的应用 题点 与几何有关的组合问题 答案 A 解析 方法一 可以按从共面的 5 个点中取 0 个、1 个、2 个、3 个进行分类，则得到所有的 取法总数为 C05C45
8、C15C35C25C25C35C15205. 方法二 从 10 个点中任取 4 个点的方法数中去掉 4 个点全部取自共面的 5 个点的情况， 得到 所有构成四面体的个数为 C410C45205. 类型三 分组、分配问题 命题角度 1 不同元素分组、分配问题 例 3 有 6 本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？ (1)分成三组，每组分别有 1 本，2 本，3 本； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本； (3)分成三组，每组都是 2 本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本 考点 排列组合综合问题 题点 分组、分配问题 解 (1
9、)分三步：先选一本有 C16种选法，再从余下的 5 本中选两本有 C25种选法，最后余下的 三本全选有 C33种选法由分步乘法计数原理知，分配方式共有 C16 C25 C3360(种) (2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题因此，分配方 式共有 C16 C25 C33 A33360(种) (3)先分三组，有 C26C24C22种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为 A，B，C，D，E， F，若第一组取了 A，B，第二组取了 C，D，第三组取了 E，F，则该种方法记为(AB，CD， EF)，但 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，
10、AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD， AB)， (EF， AB， CD)， 共 A33种情况， 而这 A33种情况只能作为一种分法， 故分配方式有C 2 6 C 2 4 C 2 2 A33 15(种) (4)在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式C 2 6 C 2 4 C 2 2 A33 A3390(种) 反思与感悟 分组、分配问题的求解策略 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： 完全均匀分组，每组的元素个数均相等； 部分均匀分组，应注意不要重复，若有 n 组均匀，最后必须除以 n！ ； 完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象 (2)分配问题属于“排列”问题分
11、配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配 跟踪训练 3 某宾馆安排 A，B，C，D，E 五人入住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，且 A， B 不能住同一房间，则不同的安排方法的种数为( ) A24 B48 C96 D114 考点 排列组合综合问题 题点 分组、分配问题 答案 D 解析 5 个人住三个房间，每个房间至少住 1 人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种 当为(3,1,1)时，有 C35A3360(种)，A，B 住同一房间有 C13A3318(种)，故有 601842(种) 当为(2,2,1)时， 有C 2 5C 2 3 A22 A3390(种)， A， B 住同一房间有
12、 C13C23A2218(种)， 故有 901872(种) 根据分类加法计数原理共有 4272114(种) 命题角度 2 相同元素分配问题 例 4 将 6 个相同的小球放入 4 个编号为 1,2,3,4 的盒子， 求下列方法的种数 (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子 考点 排列组合综合问题 题点 分组、分配问题 解 (1)先把 6 个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间 5 个 空隙中任选 3 个空隙各插一块隔板，有 C3510(种) (2)恰有一个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中任 选 2 个空
13、隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有 C25种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一 块并放形成空盒，如|0|000|00|，有 C14种插法，故共有 C25 C1440(种) (3)恰有两个空盒子，插板分两步进行 先在首尾两球外侧放置一块隔板， 并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板， 有C15种插法， 如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒 这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子， 如|00|0000|，有 C23种插法 将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000|，有 C13种插法 故共有 C15 (C23C13)30(种) 反思与感悟 相同元素分配问题的处
14、理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中 插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒 子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题 (2)将 n 个相同的元素分给 m 个不同的对象(nm)，有 Cm 1 n1种方法可描述为(n1)个空中插 入(m1)个块板 跟踪训练 4 某同学有同样的画册 2 本， 同样的集邮册 3 本， 从中取出 4 本赠送给 4 位朋友， 每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有( ) A4 种 B10 种 C18 种 D20 种 考点 排列组合综合问题 题点 分组、分
15、配问题 答案 B 解析 由于只剩一本书， 且这些画册、 集邮册分别相同， 可以从剩余的书的类别进行分析 又 由于排列、组合针对的是不同的元素，应从 4 位朋友中进行选取 第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把 3 本相同的集邮册和 1 本画册分给 4 位朋友，只 有 1 位朋友得到画册即把 4 位朋友分成人数为 1,3 的两队，有 1 个元素的那队分给画册， 另一队分给集邮册，有 C14种分法 第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把 2 本相同的画册和 2 本相同的集邮册分给 4 位 朋友，有 2 位朋友得到画册，即把 4 位朋友分成人数为 2,2 的两队，一队分给画册，另一队 分给集邮册，
16、有 C24种分法 因此，满足题意的赠送方法共有 C14C244610(种). 1身高各不相同的 7 名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个 比一个低，这样的排法种数是( ) A5 040 B36 C18 D20 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 答案 D 解析 最高的同学站中间，从余下 6 人中选 3 人在一侧只有一种站法，另 3 人在另一侧也只 有一种站法，所以排法有 C3620(种) 2某食堂每天中午准备 4 种不同的荤菜，7 种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配 午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭，则
17、每天 不同午餐的搭配方法共有( ) A210 种 B420 种 C56 种 D22 种 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 答案 A 解析 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭 配方法共有 C24C27C14C27210(种) 3 从 1,2,3， ， 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数， 若其和为偶数， 则不同的取法共有( ) A60 种 B63 种 C65 种 D66 种 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 答案 D 解析 对于 4 个数之和为偶数，可分 3 类： 第 1 类，4 个数均为偶数，有 C44种取法； 第 2 类
18、，2 个数为偶数，2 个数为奇数，有 C24C25种取法； 第 3 类，4 个数均为奇数，有 C45种取法 由分类加法计数原理，可得不同的取法共有 C44十 C24C25C4566(种) 4在直角坐标平面 xOy 上，平行直线 xn(n0,1,2，5)与平行直线 yn(n0,1,2， 5)组成的图形中，矩形共有( ) A25 个 B36 个 C100 个 D225 个 考点 组合的应用 题点 与几何有关的组合问题 答案 D 解析 在垂直于 x 轴的 6 条直线中任取 2 条，在垂直于 y 轴的 6 条直线中任取 2 条，四条直 线相交得出一个矩形，所以矩形总数为 C26C261515225.
19、5将 4 名学生分配到甲、乙、丙 3 个实验室准备实验，每个实验室至少分配 1 名学生的不同 分配方案共有_种 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 答案 36 解析 先将 4 名学生分成三组，人数分别为 2,1,1，共有 C246(种)，再将这三组分配到 3 个 实验室，有 A336(种)，由分步乘法计数原理，可知不同的分配方案共有 6636(种) 1无限制条件的组合应用题其解题步骤为 (1)判断(2)转化(3)求值(4)作答 2有限制条件的组合应用题 (1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一 般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题 的突破口，即采用排除法解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都 不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准 (2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面 及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题 来解决 (3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同， 是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.
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