1、1.1基本计数原理(二)学习目标巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能灵活应用这两个计数原理解决实际问题知识点一分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理任务做一件事步骤完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，做第n个步骤有mn种不同的方法结果完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法知识点二两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完
2、成一件事的方法种类不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整类型一组数问题例1用0,1,2,3,4五个数字：(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用解(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有55553125(种)排法(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除
3、0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有455100(种)排法(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4312(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有23318(种)排法因而有121830(种)排法即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数引申探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？解完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个
4、还有3个可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法由分步乘法计数原理知，共有233236(个)反思与感悟对于组数问题，应掌握以下原则(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位跟踪训练1(1)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答
5、案14解析因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24214(个)(2)我们把各数位上数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013)，则“六合数”中首位是2的有_个考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案15解析设满足题意的“六合数”为“2abc”，则abc4，于是满足条件的a，b，c可分以下四种情况：一个为4，两个为0，共3种；一个为3，一个为1，一个为0，共有3216(种)；两个为2，一个为0，共有3种；一个为2，两个为1，共有3种则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15个类型二抽取(分配)问题例23个不同的小球放
6、入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？考点抽取(分配)问题题点抽取(分配)问题解方法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择，根据分步乘法计数原理得总方法数N54360.方法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：第一类：空盒子标号为：(1,2)：选法有3216(种)；第二类：空盒子标号为：(1,3)：选法有3216(种)；第三类：空盒子标号为：(1,4)：选法有3216(种)；分类还有以下几种情况：(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4
7、)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法根据分类加法计数原理得总方法数N66660.反思与感悟解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行；间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可跟踪训练2高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A16种 B18种
8、C37种 D48种考点抽取(分配)问题题点抽取(分配)问题答案C解析方法一(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案共有339(种)；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有33327(种)综上所述，不同的分配方案有192737(种)方法二(间接法)先计算3个班级自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即44433337(种)方案类型三种植与涂色问题命题角度1平面图形的涂色问题例3用5种不同的颜色给图中的A，B，C，D四个区域涂
9、色，规定一个区域一种颜色，相邻的区域颜色不同，则不同的涂色方案有_种考点涂色问题题点涂色问题答案180解析由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法共有5433180(种)不同的涂色方案反思与感悟(1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色解决此类问题要特别关注图形的结构特征如果图形不很规则，往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，每一类再进行分步(2)涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件
10、的情况下分步涂色跟踪训练3将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1234考点涂色问题题点涂色问题解第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法(1)当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4312(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5123180(种)不同的涂法(2)当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有54480(种)不同的涂法由分类加法
11、计数原理可得共有18080260(种)不同的涂法命题角度2几何体的涂色问题例4如图所示，将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数考点涂色问题题点涂色问题解由题意，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有54360(种)染色方法当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3.若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法由分类加法计数原理知，当S，A，B染法确定时，C，D有7种染法由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有607
12、420(种)反思与感悟几何体的涂色问题应转化为平面的涂色问题处理跟踪训练4如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成的，现用3种不同的颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有_种考点涂色问题题点涂色问题答案12解析先涂三棱锥PABC的三个侧面有32种情况，然后涂三棱柱的三个侧面有12种情况共有321212(种)不同的涂法.1有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有()A6种 B5种
13、C4种 D3种考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案C解析不同的选派情况可分为3类：若选甲、乙，有2种方法；若选甲、丙，有1种方法；若选乙、丙，有1种方法根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有2114(种)2在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为()A20 B10 C5 D24考点抽取(分配)问题题点抽取(分配)问题答案B解析当分子为11时，分母可为2,3,5,7，所以可构成4个假分数；当分子为7时，分母可为2,3,5，所以可构成3个假分数；当分子为5时，分母可为2,3，所以可构成2个假分数；当分子为3时，分母可为2，所以可构成1个假分数由分
14、类加法计数原理可得，假分数的个数为432110.3有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天已知同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的安排方案共有()A12种 B24种 C48种 D120种考点抽取(分配)问题题点抽取(分配)问题答案B解析安排同学甲周三值日，其余4名同学的安排方案分四个步骤完成：第一步，安排第一位同学，有4种方法；第二步，安排第二位同学，有3种方法；第三步，安排第三位同学，有2种方法；第四步，安排第四位同学，有1种方法根据分步乘法计数原理知，这5名同学值日顺序的安排方案共有432124(种)4如图，AC，有_种不同的走法考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应
15、用答案6解析AC分两类：第一类，ABC分两步，AB有两种走法，BC有两种走法，ABC有224(种)走法第二类，AC有2种走法所以AC共有426(种)走法5如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有_种.ABCD考点涂色问题题点涂色问题答案108解析A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4333108(种)涂法1分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答后面将要学习的排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础2应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤3一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏4若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些.
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