1、 2.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 2.3.1 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 学习目标 1.理解取有限值的离散型随机变量的均值或数学期望的概念.2.会求离散型随机 变量的数学期望.3.会利用数学期望分析和解决一些实际问题 知识点一 离散型随机变量的数学期望 设有 12 个西瓜，其中 4 个重 5 kg,3 个重 6 kg,5 个重 7 kg. 思考 1 任取 1 个西瓜，用 X 表示这个西瓜的重量，试问 X 可以取哪些值？ 答案 X5,6,7. 思考 2 X 取上述值时，对应的概率分别是多少？ 答案 P(X5) 4 12 1 3，P(X6) 3 12 1 4，P
2、(X7) 5 12. 思考 3 如何求每个西瓜的平均重量？ 答案 546375 12 51 36 1 47 5 12 73 12. 梳理 离散型随机变量的数学期望 (1)定义：一般地，设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是 x1，x2，xn，这些值对应 的概率是 p1，p2，pn，则 E(X)x1p1x2p2xnpn叫做这个离散型随机变量 X 的均值 或数学期望(简称期望) (2)意义：它反映了离散型随机变量的平均取值水平 (3)数学期望的性质 若 YaXb，其中 a，b 为常数，X 为随机变量 Y 也是随机变量； E(aXb)aE(X)b. 知识点二 二点分布、二项分布及超几何分布的数学
3、期望 1二点分布：E(X)1p0(1p)p. 2二项分布：在 n 次独立重复试验中，XB(n，p)，则 E(X)np. 3超几何分布：若离散型随机变量 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 E(X)nM N . 1随机变量 X 的期望 E(X)是个变量，其随 X 的变化而变化( ) 2随机变量的期望与样本的平均值相同( ) 3若随机变量 X 的期望 E(X)2，则 E(2X)4.( ) 类型一 离散型随机变量的数学期望 命题角度 1 一般离散型随机变量的数学期望 例 1 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的 机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照
4、，不再参加以后的考试，否则就一直考到第 4 次为 止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6,0.7,0.8,0.9，求在 一年内李明参加驾照考试次数 X 的分布列和数学期望 解 X 的取值分别为 1,2,3,4. X1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了， 故 P(X1)0.6. X2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了， 故 P(X2)(10.6)0.70.28. X3， 表明李明在第一、 二次考试未通过， 第三次通过了， 故 P(X3)(10.6)(10.7)0.8 0.096. X4，表明李明第一、二、三次考试都未通过， 故 P(X4)(10.6)(10
5、.7)(10.8)0.024. 所以李明实际参加考试次数 X 的分布列为 Xk 1 2 3 4 P(Xk) 0.6 0.28 0.096 0.024 所以 X 的期望为 E(X)10.620.2830.09640.0241.544. 反思与感悟 求随机变量 X 的数学期望的方法和步骤 (1)理解随机变量 X 的意义，写出 X 所有可能的取值 (2)求出 X 取每个值的概率 P(Xk) (3)写出 X 的分布列 (4)利用数学期望的定义求 E(X) 跟踪训练 1 在有奖摸彩中，一期(发行 10 000 张彩票为一期)有 200 个奖品是 5 元的，20 个 奖品是 25 元的，5 个奖品是 10
6、0 元的在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少 元？ 考点 离散型随机变量的数学期望的概念与计算 题点 数学期望的计算 解 设一张彩票的中奖额为随机变量 X， 显然 X 的所有可能取值为 0,5,25,100.依题意， 可得 X 的分布列为 X 0 5 25 100 P 391 400 1 50 1 500 1 2 000 所以 E(X)0391 4005 1 5025 1 500100 1 2 000 0.2，所以一张彩票的合理价格是 0.2 元 命题角度 2 二项分布与二点分布的数学期望 例 2 某运动员投篮命中率为 p0.6. (1)求投篮 1 次时命中次数 X 的数学期望； (
7、2)求重复 5 次投篮时，命中次数 Y 的数学期望 考点 二项分布、二点分布的数学期望 题点 二项分布、二点分布的数学期望 解 (1)投篮 1 次，命中次数 X 的分布列为 X 0 1 P 0.4 0.6 则 E(X)0.6. (2)由题意知，重复 5 次投篮，命中次数 Y 服从二项分布，即 YB(5,0.6)， E(Y)np50.63. 引申探究 在重复 5 次投篮时，命中次数为 Y，随机变量 5Y2，求 E() 解 E()E(5Y2)5E(Y)253217. 反思与感悟 (1)常见的两种分布的数学期望 设 p 为一次试验中成功的概率，则 二点分布 E(X)p； 二项分布 E(X)np. 熟
8、练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度 (2)二点分布与二项分布辨析 相同点：一次试验中要么发生要么不发生 不同点： a随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为 0,1，二项分布中随机变量的取值 X 0,1,2，n. b试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行 n 次试验 跟踪训练 2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购 买甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立 (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； (2)X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 X 的数学期
9、望 考点 二项分布、二点分布的期望 题点 二项分布的期望 解 设该车主购买乙种保险的概率为 p，由题意知 p(10.5)0.3，解得 p0.6. (1)设所求概率为 P1，则 P11(10.5)(10.6)0.8. 故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 0.8. (2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 (10.5)(10.6)0.2. XB(100,0.2)，E(X)1000.220. X 的数学期望是 20. 类型二 超几何分布的数学期望 例 3 一个口袋内有 n(n3)个大小相同的球， 其中有 3 个红球和(n3)个白球 已知从口袋中 随机取出一个球是红球的概
10、率是3 5.不放回地从口袋中随机取出 3 个球，求取到白球的个数 的数学期望 E() 考点 超几何分布的数学期望 题点 超几何分布的数学期望 解 p3 5， 3 n 3 5，n5，5 个球中有 2 个白球 方法一 白球的个数 可取 0,1,2. 则 P(0)C 3 3 C35 1 10，P(1) C23C12 C35 3 5， P(2)C 1 3C 2 2 C35 3 10. E() 1 100 3 51 3 102 6 5. 方法二 取到白球的个数 服从参数为 N5， M2， n3 的超几何分布， 则 E()nM N 32 5 6 5. 反思与感悟 (1)超几何分布模型 一般地， 在含有M件
11、次品的N件产品中， 任取n件， 其中含有X件次品， 则P(Xk)C k MC nk NM CnN ， k0,1,2，m，其中 mminM，n，且 nN，MN，n，M，NN. (2)超几何分布数学期望的计算公式 若一个随机变量 X 的分布列服从超几何分布，则 E(X)nM N . 跟踪训练 3 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量 X 表示所选 3 人 中女生的人数 (1)求 X 的数学期望； (2)求“所选 3 人中女生人数 X1”的概率 解 (1)X 服从超几何分布，且 n3，M2，N6， 则 E(X)nM N 32 6 1. (2)P(X1)1P(X2)1C
12、2 2C 1 4 C36 11 5 4 5. 1现有一个项目，对该项目每投资 10 万元，一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元 的概率分别为1 6， 1 2， 1 3.随机变量 X 表示对此项目投资 10 万元一年后的利润，则 X 的数学期望 为( ) A1.18 B3.55 C1.23 D2.38 考点 离散型随机变量的数学期望的概念与计算 题点 数学期望的计算 答案 A 解析 因为 X 的所有可能取值为 1.2,1.18,1.17， P(X1.2)1 6，P(X1.18) 1 2，P(X1.17) 1 3， 所以 X 的分布列为 X 1.2 1.18 1.17 P 1
13、 6 1 2 1 3 则 E(X)1.21 61.18 1 21.17 1 31.18. 2随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数 的数学期望是( ) A0.6 B1 C3.5 D2 答案 C 解析 抛掷骰子所得点数 的分布列为 1 2 3 4 5 6 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 E()11 62 1 63 1 64 1 65 1 66 1 63.5. 3设随机变量 XB(40，p)，且 E(X)16，则 p 等于( ) A0.1 B0.2 C0.3 D0.4 考点 二项分布、二点分布的数学期望 题点 二项分布的数学期望 答案 D 解析 由 E(X)np40p16，得 p0.
14、4. 4若 p 为非负实数，随机变量 的分布列为 0 1 2 P 1 2p p 1 2 则 E()的最大值为( ) A1 B.3 2 C. 2 3 D2 考点 离散型随机变量的数学期望的概念与计算 题点 数学期望的计算 答案 B 解析 由 p0，1 2p0，得 0p 1 2， 则 E()p13 2.故选 B. 5袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n1,2,3,4)现 从袋中任取一球， 表示所取球的标号 (1)求 的分布列、数学期望； (2)若 a4，E()1，求 a 的值 考点 离散型随机变量的数学期望的性质 题点 数学期望性质的应用 解
15、(1) 的分布列为 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 的数学期望为 E()01 21 1 202 1 103 3 204 1 5 3 2. (2)E()aE()41，又 E()3 2， 则 a3 241，a2. 1求离散型随机变量的数学期望的步骤 (1)确定离散型随机变量 X 的取值 (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否 (3)根据公式写出数学期望 2二点分布、二项分布和超几何分布的期望 (1)若随机变量 X 服从参数为 p 的二点分布，则 E(X)p. (2)若随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布，则 E(X)np. (3)若随机变量 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 E(X)nM N .
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