1、 2.4 正态分布正态分布 学习目标 1.通过实际问题， 了解什么是正态曲线和正态分布.2.认识正态曲线的特点及曲线 所表示的意义.3.会根据正态曲线的性质求随机变量 X 在某一范围内的概率 知识点 正态分布 1概率密度曲线 (1)特点：曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积为 1. (2)意义：概率密度曲线反映变化规律所起的作用与离散型随机变量分布列的作用是相同的 2正态变量的概率密度函数 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 f(x) 2 2 () 2 1 e 2 x ，xR，其中 ， 是参数，且 0， 和 分别为正态变量的数学期望和标准差 3正态曲线 (1)概念：正态变量的概率密度函
2、数的图象 (2)性质 曲线在 x 轴的上方，并且关于直线 x 对称； 曲线在 x 时处于最高点， 并且由此处向左右两边延伸时， 曲线逐渐降低， 呈现“中间高， 两边低”的形状； 曲线的形状由参数 确定， 越大，曲线越“矮胖”； 越小，曲线越“高瘦” 4正态分布在三个特殊区间内取值的概率 P(X)68.3%； P(2X2)95.4%； P(3X0)和 N(2，22)(20)的正态曲线如图所示，则有 ( ) A12，12 B12 C12，12，12 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线性质的应用 答案 A 解析 根据正态曲线的特点可知正态曲线是一条关于直线 x 对称，在 x 处取得最大值
3、的连续曲线当 一定时， 越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来， 越小，曲线的最 高点越高且较陡峭故选 A. 类型二 利用正态分布的对称性求概率 例 2 设 XN(1,22)，试求： (1)P(1X3)；(2)P(3X5) 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 解 因为 XN(1,22)， 所以 1，2. (1)P(1X3)P(12X12) P(X)0.683. (2)因为 P(3X5)P(3X1)， 所以 P(3X5)1 2P(3X5)P(1X3) 1 2P(14X14)P(12X12) 1 2P(2X2)P(X5)P(X3)1 21P(3X5) 1 21P(14Xc1)P
4、(Xc1)P(Xc 1)，因此c1c1 2 1，即 c1. 反思与感悟 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线 x 对称的，且概率的和为 1，故在关于直线 x 对 称的区间上概率相等如： P(Xa)； P(Xa) (2)“3”法：利用 X 落在区间(，)，(2，2)，(3，3)内的概率分别 是 0.683,0.954,0.997 求解 跟踪训练 2 已知随机变量 服从正态分布 N(2， 2)， 且 P(4)0.8， 则 P(02)等于( ) A0.6 B0.4 C0.3 D0.2 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 C 解析 随机变量 服从
5、正态分布 N(2，2)， 2，对称轴是 x2. P(4)P(0)0.2， P(04)0.6， P(090)P(X11020)P(X)， P(X)P(X) 2P(X)0.6831， P(X90)1P(X130)P(X11020)P(X)， P(X)P(X)0.6832P(X)1， P(X)0.159，即 P(X130)0.159. 540.1598(人)，即 130 分以上的人数约为 8. 反思与感悟 解答正态分布的实际应用题， 其关键是如何转化， 同时应熟练掌握正态分布在( ，)，(2，2)，(3，3)三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想 和数形结合思想 跟踪训练 3 有一种精密零件，其尺
6、寸 X(单位：mm)服从正态分布 N(20,4)若这批零件共有 5 000 个，试求： (1)这批零件中尺寸在 1822 mm 间的零件所占的百分比； (2)若规定尺寸在 2426 mm 间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 解 (1)XN(20,4)，20，2， 18，22， 尺寸在 1822 mm 间的零件所占的百分比大约是 68.3%. (2)314，326，216，224， 尺寸在 1426 mm 间的零件所占的百分比大约是 99.7%， 而尺寸在 1624 mm 间的零件所 占的百分比大约是 95.4%. 尺寸在 24
7、26 mm 间的零件所占的百分比大约是99.7%95.4% 2 2.15%. 因此尺寸在 2426 mm 间的零件大约有 5 0002.15%107(个). 1某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示(由于人数众多，成绩 分布的直方图可视为正态分布)，则下列说法中正确的是( ) A甲科总体的标准差最小 B丙科总体的平均数最小 C乙科总体的标准差及平均数都居中 D甲、乙、丙总体的平均数不相同 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线 答案 A 解析 由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数 确定， 越大，曲线越矮胖； 越小，曲线 越瘦高，且 是标准差，故选 A. 2设随机变量
8、服从正态分布 N(，2)，且二次方程 x24x0 无实数根的概率为1 2，则 等于( ) A1 B2 C4 D不能确定 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的数学期望或方差 答案 C 解析 因为方程 x24x0 无实数根的概率为1 2， 由 1644， 即 P(4) 1 2 1P(4)，故 P(4)1 2，所以 4. 3已知服从正态分布 N(，2)的随机变量在区间(，)，(2，2)和(3， 3)内取值的概率分别为 68.3%,95.4%和 99.7%.若某校高一年级 1 000 名学生的某次考试成 绩 X 服从正态分布 N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大
9、约有( ) A997 人 B972 人 C954 人 D683 人 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 C 解析 依题意可知 90，15，故 P(60X120)P(90215X0) 若 X 在(0,1)内取值的概率为 0.4， 则 X 在(0,2)内取值的概率为_ 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 0.8 解析 如图，易得 P(0X1)P(1X2)，故 P(0X2)2P(0X1)20.40.8. 5设随机变量 XN(0,1)，求 P(X0)，P(2X2) 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 解 对称轴为 X0，故 P(X0)0.5， P(2X2)P(021X021)0.954. 1理解正态分布的概念和正态曲线的性质 2正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记 P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值 (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1 这两个特点 正态曲线关于直线 x 对称，从而在关于 x 对称的区间上概率相等； P(Xa)，P(Xa)， 若 b，则 P(Xb)1PbXb 2 .
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