1、第第 3 章章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 章末复习章末复习 学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复 数的相关运算 1复数的有关概念 (1)复数的概念：形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部若 b0，则 abi 为实数，若 b0，则 abi 为虚数，若 a0 且 b0，则 abi 为纯虚数 (2)复数相等：abicdiac 且 bd(a，b，c，dR) (3)共轭复数：abi 与 cdi 共轭ac，bd0(a，b，c，dR) (4)复平面： 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 x 轴叫做
2、实轴， y 轴叫做虚轴 实 轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚 数 (5)复数的模：向量OZ 的模叫做复数 zabi 的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi| a2b2 (a，bR) 2复数的几何意义 (1)复数 zabi 一一对应 复平面内的点 Z(a，b)(a，bR) (2)复数 zabi(a，bR) 一一对应 平面向量OZ . 3复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； 减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；
3、 乘法：z1 z2(abi) (cdi)(acbd)(adbc)i； 除法：z1 z2 abi cdi abicdi cdicdi acbd c2d2 bcad c2d2 i(cdi0) (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意 z1，z2，z3C，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3 z1(z2z3). 类型一 复数的概念 例 1 已知复数 za2a6a 22a15 a24 i，分别求出满足下列条件的实数 a 的值： (1)z 是实数；(2)z 是虚数；(3)z 是 0. 解 由 a2a60，解得 a2 或 a3. 由 a22a150，解得 a5 或 a3. 由 a
4、240，解得 a 2. (1)由 a22a150 且 a240， 得 a5 或 a3， 当 a5 或 a3 时，z 为实数 (2)由 a22a150 且 a240， 得 a5 且 a3 且 a 2， 当 a5 且 a3 且 a 2 时，z 是虚数 (3)由 a2a60，且 a22a150，且 a240，得 a3， 当 a3 时，z0. 引申探究 本例中条件不变，若 z 为纯虚数，是否存在这样的实数 a，若存在，求出 a，若不存在，请 说明理由 解 由 a2a60，且 a22a150， 且 a240，得 a 无解， 不存在实数 a，使 z 为纯虚数 反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确
5、理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚 数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提 (2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据 跟踪训练 1 (1)已知 i 是虚数单位，若(mi)234i，则实数 m 的值为_ (2)下列说法： 复数 z 是实数的充要条件是 z z ； 若(x24)(x23x2)i 是纯虚数，则实数 x 2； 实数集是复数集的真子集 其中正确说法的个数是_ 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 (1)2 (2)2 解析 (1)(mi)2(m21)2mi34i， 由复数相等得 m213， 2m4， 解得 m2. (2)设 zabi，a，bR，则 z abi
6、，z z 时，得 b0，z 为实数；z 为实数则 b0， 有 z z 成立，所以正确对于，若 x2，则 x240，x23x20，此时(x24) (x23x2)i0，不是纯虚数，故错误显然，正确 类型二 复数的运算 例 2 已知 z 是复数，z3i 为实数，z5i 2i 为纯虚数(i 为虚数单位) (1)求复数 z； (2)求 z 1i的模 解 (1)设 zabi(a，bR)， z3ia(b3)i 为实数，可得 b3. 又a2i 2i 2a2a4i 5 为纯虚数， a1，即 z13i. (2) z 1i 13i 1i 13i1i 1i1i 42i 2 2i， z 1i |2i|2212 5. 反
7、思与感悟 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求 z 时要注意是把 z 看作一个整 体还是设为代数形式应用方程思想当 z 是实数或纯虚数时注意常见结论的应用 跟踪训练 2 已知 z1，z2为复数，(3i)z1为实数，z2 z1 2i，且|z2|5 2，求 z2. 解 z1z2(2i)， (3i)z1z2(2i)(3i)z2(55i)R， 因为|z2|5 2，所以|z2(55i)|50， 所以 z2(55i) 50， 所以 z2 50 55i 10 1i (55i) 类型三 复数的几何意义 例 3 (1)已知等腰梯形 OABC 的顶点 A，B 在复平面上对应的复数分别为 12i，26i， O
8、ACB，求顶点 C 所对应的复数 z. (2)已知复数 z1，z2满足|z1|3，|z2|5，|z1z2| 10，求|z1z2|的值 解 (1)设 zxyi，x，yR，则顶点 C 的坐标为(x，y) 如图，因为 OABC， 所以 kOAkBC，OCBA， 所以 2 1 y6 x2， x2y2 3242. 解得 x5， y0 或 x3， y4. 因为 OABC，所以 x3，y4 舍去，故 z5. (2)如图所示，设复数 z1，z2的对应点为 A，B，以OA ，OB 为邻边作OACB， 则OC 对应的复数为 z1z2， 所以|OA |3，|OB |5，|BA | 10. 所以 cosAOB|OA
9、|2|OB |2|BA |2 2|OA |OB | 3 25210 235 4 5. 所以 cosOBC4 5， 又|BC |OA |3， 所以|z1z2|OB |2|BC |22|OB |BC |cosOBC 58. 反思与感悟 (1)任意一个复数都对应着一个点和一个向量，因而复数的加减运算可以转化 为总的坐标运算或向量运算 (2)求复数模可以计算它对应的向量的模，也可以计算它对应的点到原点的距离 跟踪训练 3 已知复平面内点 A，B 对应的复数分别是 z1sin2i，z2cos2icos 2， 其中 (0，)，设AB 对应的复数为 z. (1)求复数 z； (2)若复数 z 对应的点 P
10、在直线 y1 2x 上，求 的值 解 (1)由题意得 zz2z1cos2sin2(cos 21)i12sin2 i. (2)由(1)知，点 P 的坐标为(1，2sin2) 由点 P 在直线 y1 2x 上，得2sin 21 2， sin21 4，又 (0，)，sin 0， 因此 sin 1 2， 6或 5 6 . 1若复数 zcos 5 13 12 13sin i(i 是虚数单位)是纯虚数，则 tan _. 答案 12 5 解析 复数 zcos 5 13 12 13sin i 是纯虚数， cos 5 130， 12 13sin 0， cos 5 13， sin 12 13， 则 tan sin
11、 cos 12 5 . 2设 z 10i 3i，则 z 的共轭复数为_ 答案 13i 解析 由 z 10i 3i 10i3i 3i3i13i， 得 z 13i. 3若复数 z 满足(34i)z|43i|，则 z 的虚部为_ 答案 4 5 解析 z|43i| 34i 5 34i 3 5 4 5i. 4若 z 是复数，且(3z)i1(i 为虚数单位)，则 z_. 答案 3i 解析 z1 i33i. 5 复平面内点A， B， C对应的复数分别为i,1,42i， 由ABCD按逆时针顺序作ABCD， 则|BD |_. 答案 13 解析 如图，设 D(x，y)，F 为ABCD 的对角线的交点，则点 F 的坐标为 2，3 2 ， 所以 x14， y03， 即 x3， y3. 所以点 D 对应的复数为 z33i. 因为BD OD OB ， 所以BD 表示的复数为 33i123i， 所以|BD | 13. 1 复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算， 其中除法运算的关键是将分母实数化 2复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现 3利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题
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