1、15 定积分定积分(选学选学) 151 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车 行驶的路程 知识点 曲边梯形的面积 思考 1 如何计算下列两图形的面积？ 答案 直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解 思考 2 如图，为求由抛物线 yx2与直线 x1，y0 所围成的平面图形的面积 S，图形与 我们熟悉的“直边图形”有什么区别？ 答案 已知图形是由直线 x1，y0 及 yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条 边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段 梳理 (1)曲边梯形：由直线 xa，xb(ab)，y
2、0 和曲线 yf(x)所围成的图形称为曲边梯 形(如图所示) (2)求曲边梯形面积的方法 将已知区间a，b等分成 n 个小区间，当分点非常多(n 很大)时，可以认为 f(x)在小区间上几 乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点 xi对应的函数值 f(xi)作为小矩形 一边的长 于是， 可用 f(xi)x 来近似表示小曲边梯形的面积， 这样， 和式 f(x1)xf(x2)x f(xn)x 表示了曲边梯形面积的近似值(如图所示) (3)求曲边梯形面积的步骤：分割以直代曲作和逼近. 类型一 求曲边梯形的面积 例 1 求由直线 x0，x1，y0 和曲线 yx(x1)围成的图形面积 解
3、(1)分割 把区间0,1等分成 n 个小区间： 0，1 n ， 1 n， 2 n ， ， i1 n ，i n ， ， n1 n ，n n ， 简写作 i1 n ，i n (i1,2，n) 每个小区间的长度为xi n i1 n 1 n.过各区间端点作x轴的垂线， 从而得到n个小曲边梯形， 它们的面积分别记作 S1，S2，Si，Sn. (2)以直代曲 用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间 i1 n ，i n 上任取一点 i(i1,2，n)， 为了计算方便，取 i为小区间的左端点，用 f(i)的相反数f(i) i1 n i1 n 1 为其一 边长， 以小区间长度 x1 n为另一边长的小矩形对
4、应的面积近似代替第 i 个小曲边梯形面积 (3)作和 Sif(i)x i1 n i1 n 1 1 n(i1,2，n) S i1 n Si i1 n f(i)x i1 n i1 n i1 n 1 1 n 1 n30 21222(n1)21 n2012(n1) 1 n3 1 6n(n1)(2n1) 1 n2 nn1 2 n 21 6n2 1 6 1 n21 . (4)逼近 当分割无限变细，即 x0(亦即 n)时，1 6 1 n21 S， 即当 n时，有 S1 6. 所以由直线 x0，x1，y0 和曲线 yx(x1)围成的图形面积为1 6. 反思与感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲 (2)
5、步骤：分割以直代曲作和逼近 (3)关键：以直代曲 (4)结果：分割越细，面积越精确 (5)求和时可用到一些常见的求和公式，如 123nnn1 2 ； 122232n2nn12n1 6 ； 132333n3 nn1 2 2. 跟踪训练 1 求由抛物线 yx2与直线 y4 所围成的曲边梯形的面积 解 yx2为偶函数，图象关于 y 轴对称， 所求曲边梯形的面积应为抛物线 yx2(x0)与直线 x0， y4 所围图形面积 S阴影的 2 倍， 下面求 S阴影 由 yx2x0， y4， 得交点为(2,4)， 如图所示，先求由直线 x0，x2，y0 和曲线 yx2围成的曲边梯形的面积 (1)分割 将区间0,
6、2 n 等分， 则 x2 n， 取 i 2i1 n . (2)以直代曲、作和 Si 2i1 n 2 2 n， S i1 n 2i1 n 2 2 n 8 n30 2122232(n1)2 8 3 11 n 1 1 2n . (3)逼近 当 n时， 8 3 11 n 1 1 2n 8 3. 所求平面图形的面积为 S阴影248 3 16 3 . 2S阴影32 3 ， 即抛物线 yx2与直线 y4 所围成的曲边梯形的面积为32 3 . 类型二 求变速运动的路程 例 2 当汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程 svt.如果汽车做变速直 线运动，在时刻 t 的速度为 v(t)t22
7、(单位：km/h)，那么它在 1t2(单位：h)这段时间行 驶的路程是多少？ 解 将区间1,2等分成 n 个小区间， 第 i 个小区间为 1i1 n ，1i n . 所以 siv 1i1 n 1 n. sn n i1si n i1v 1i1 n 1 n 1 n n i1 1i1 n 22 1 n n i1 i12 n2 2i1 n 3 1 n 3n 1 n20 21222n12 1 n02462n1 3n12n1 6n2 n1 n . 当 n时， 3n12n1 6n2 n1 n 13 3 . 所以 s13 3 ， 所以这段时间行驶的路程为13 3 km. 引申探究 本例中求小曲边梯形面积时若用
8、另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果 是否一样？ 解 将区间1,2等分成 n 个小区间，第 i 个小区间为 1i1 n ，1i n . 所以 siv 1i n 1 n. sn n i1si n i1v 1i n 1 n 3 1 n31 222(n1)2n21 n22462(n1)2n 3n12n1 6n2 n1 n . 当 n时， 3n12n1 6n2 n1 n 13 3 . 所以 s13 3 ， 所以这段时间行驶的路程为13 3 km. 所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的 反思与感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直 代曲”“
9、逼近”的思想求解求解过程为：分割、以直代曲、作和、逼近应特别注意变速 直线运动的时间区间 跟踪训练 2 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶， 设汽车在时刻 t 的速度为 v(t)t25(t 的 单位：h，v 的单位：km/h)，试计算这辆汽车在 0t2 这段时间内汽车行驶的路程 s(单位： km) 解 分割 在时间区间0,2上等间隔地插入(n1)个分点，将区间分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为 2i1 n ，2i n (i1,2，n)，t2i n 2i1 n 2 n，把汽车在时间段 0，2 n ， 2 n， 4 n ， 2n1 n ，2 上行驶的路程分别记为 s1，s2，sn，则有 s i1
10、 n si. 以直代曲 取 i2i n(i1,2，n)， siv 2i n t 2i n 25 2 n 4i 2 n2 2 n 10 n (i1,2，n) 作和 sn i1 n si i1 n 4i 2 n2 2 n 10 n 41 2 n2 2 n 422 n2 2 n 4n2 n2 2 n10 8 n3(1 222n2)10 8 n3 nn12n1 6 10 8 1 3 11 n 1 1 2n 10. 逼近 当 n时，s22 3 . 因此，行驶的路程为22 3 km. 1把区间1,3 n 等分，所得 n 个小区间的长度均为_ 答案 2 n 解析 区间1,3的长度为 2，故 n 等分后，每个
11、小区间的长度均为2 n. 2求由曲线 y1 2x 2与直线 x1，x2，y0 所围成的平面图形面积时，把区间 5 等分，则 面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_ 答案 1.02 解析 将区间 5 等分所得的小区间为 1，6 5 ， 6 5， 7 5 ， 7 5， 8 5 ， 8 5， 9 5 ， 9 5，2 ，于是所求平 面图形的面积近似等于 1 10 136 25 49 25 64 25 81 25 1 10 255 25 1.02. 3一物体沿直线运动，其速度 v(t)t，这个物体在 t0 到 t1 这段时间内所走的路程为 _ 答案 1 2 4直线 y0，x1，x2，曲线 yx2围成的
12、曲边梯形的面积为_ 答案 7 3 5求由直线 x0，x1，y0 及曲线 f(x)1 2x 2所围成的图形的面积 解 (1)分割 将区间0,1等分成 n 个小区间： 0，1 n ， 1 n， 2 n ， i1 n ，i n ， n1 n ，1 ， 每个小区间的长度为 x1 n. 过各区间端点作 x 轴的垂线，将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作 S1， S2，Sn. (2)以直代曲 在区间 i1 n ，i n 上， 用i1 n 处的函数值1 2 i1 n 2作为高， 以小区间的长度 x1 n作为底边长的 小矩形的面积近似代替第 i 个小曲边梯形的面积，即 Si1 2 i1 n 2
13、 1 n. (3)作和 曲边梯形的面积为 S n i1Si 1 2 n i1 i1 n 2 1 n 0 1 n 1 2 1 n 2 1 n 1 2 2 n 2 1 n 1 2 n1 n 2 1 n 1 2n31 222(n1)2 1 6 11 n 1 1 2n . (4)逼近 当 n时，1 6 11 n 1 1 2n 1 6. 即曲边梯形的面积为1 6. 1求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤 (1)分割：n 等分区间a，b (2)以直代曲：取点 ixi1，xi (3)作和： i1 n f(i) ba n . (4)逼近：当 n时， i1 n f(i) ba n S.“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形， 为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点) 2变速运动的路程，变力做功等问题可转化为曲边梯形面积问题
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