3.1 数系的扩充 学案（苏教版高中数学选修2-2）

1、31 数系的扩充数系的扩充 学习目标 1.了解引进虚数单位 i 的必要性， 了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由 实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法， 理解复数相等的 充要条件 知识点一 复数的概念及代数表示 思考 为解决方程 x22 在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样 解决方程 x210 在实数系中无根的问题呢？ 答案 设想引入新数 i，使 i 是方程 x210 的根，即 i i1，则方程 x210 有解，同 时得到一些新数 梳理 (1)虚数单位 i 引入一个新数 i，叫做虚数单位，并规定： i21. 实数可以与 i 进行四则

2、运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立 (2)复数的概念 形如 abi(a，bR)的数叫做复数全体复数所组成的集合叫做复数集，记作 C. (3)复数的代数形式 复数通常用字母 z 表示，即 zabi(a，bR)，其中 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部 知识点二 复数的分类 1复数(abi，a，bR) 实数b0， 虚数b0 纯虚数a0， 非纯虚数a0. 2集合表示： 知识点三 两个复数相等的充要条件 思考 1 由 42 能否推出 4i2i? 答案 不能当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较 大小 思考 2 两个复数能不能判断相等或不等呢？ 答

3、案 能 梳理 在复数集 Cabi|a，bR中任取两个数 abi，cdi (a，b，c，dR)，我们规 定：abi 与 cdi 相等的充要条件是 ac 且 bd. 1复数 z3i 2，则它的实部是 3，虚部是 2.( ) 2实部为零的复数一定是纯虚数( ) 3若复数 zmni，则 m，n 一定是复数 z 的实部和虚部( ) 4若两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等( ) 类型一 复数的概念 例 1 (1)给出下列命题： 若 zC，则 z20； 2i1 虚部是 2i； 2i 的实部是 0； 若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； 实数集的补集是虚数集 其中真命题的序号为_ (2)已知复数 za2(2b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3， 则实数 a， b 的值分别是_ 答案 (1) (2) 2，5 解析 (1)令 ziC，则 i211，则实数 x 的值是_ 答案 2 解析 由题意知 log2x23x21， log2x22x10， 得 x2. 1对于复数 zabi(a，bR)，可以限制 a，b 的值得到复数 z 的不同情况 2两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判 断.