1、第第 1 章章 导数及其应用导数及其应用 章末复习章末复习 学习目标 1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数 的求导公式， 并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法， 会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题 1导数的概念 (1)定义：设函数 yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若 x 无限趋近于 0 时，比值y x fx0 xfx0 x 无限趋近于一个常数 A， 则称 f(x)在 xx0处可导， 并称该常数 A 为函数 f(x) 在 xx0处的导数，记作 f(x0) (2)几何意义：
2、导数 f(x0)的几何意义就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率 2基本初等函数的导数公式 (1)(x)x 1( 为常数) (2)(ax)axln_a(a0，且 a1) (3)(ex)ex. (4)(logax)1 xlogae 1 xln a(a0，且 a1) (5)(ln x)1 x. (6)(sin x)cos_x. (7)(cos x)sin_x. 3函数的求导法则 (1)f(x) g(x)f(x) g(x) (2)Cf(x)Cf(x)(C 为常数) (3)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) (4) fx gx fxgxfxgx g2x (g(x)0
3、) 4复合函数的求导法则 (1)复合函数记法：yf(g(x) (2)中间变量代换：yf(u)，ug(x) (3)逐层求导法则：yxyu ux. 5函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数 对于函数 yf(x)， 如果在某区间上 f(x)0，那么 f(x)为该区间上的增函数； 如果在某区间上 f(x)0，那么 f(x)为该区间上的减函数 (2)函数的极值与导数 极大值：在点 xa 附近，满足 f(a)f(x)，当 x0，当 xa 时，f(x)0，则 点 a 叫做函数 f(x)的极大值点，f(a)叫做函数的极大值； 极小值：在点 xa 附近，满足 f(a)f(x)，当 xa 时，f(x)
4、a 时，f(x)0，则 点 a 叫做函数 f(x)的极小值点，f(a)叫做函数的极小值 (3)求函数 f(x)在闭区间a，b上的最值的步骤 求函数 yf(x)在(a，b)上的极值； 将函数 yf(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，得到 f(x)在区间a，b上的最大值与最小值. 类型一 导数几何意义的应用 例 1 设函数 f(x)1 3x 3ax29x1(a0)，直线 l 是曲线 yf(x)的一条切线，当 l 的斜率最 小时，直线 l 与直线 10 xy6 平行 (1)求 a 的值； (2)求 f(x)在 x3 处的切线方程 解 (1)f(x)x22ax9(xa)2a29， f(x)mina
5、29， 由题意知，a2910，a1 或 a1(舍去) 故 a1. (2)由(1)得 a1， f(x)x22x9， 则 kf(3)6，f(3)10. f(x)在 x3 处的切线方程为 y106(x3)， 即 6xy280. 反思与感悟 已知函数 yf(x)，利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设 出常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率 进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点(x0，y0)的切线方程”，这种类型中的点不 一定是切点，可先设切点为 Q(x1，y1)，由y0y1 x0 x1f(x1)和 y1f(x1)，求出 x1，y1 的值，转
6、化为第一种类型 跟踪训练 1 直线 ykxb 与曲线 f(x)x3ax1 相切于点(2,3)，则 b_. 答案 15 解析 由题意知 f(2)3，则 a3. f(x)x33x1. f(2)32239k， 又点(2,3)在直线 y9xb 上， b39215. 类型二 函数的单调性、极值、最值问题 例 2 设 a 为实数，函数 f(x)ex2x2a，xR. (1)求 f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当 aln 21 且 x0 时，exx22ax1. (1)解 由 f(x)ex2x2a，xR 知， f(x)ex2，xR. 令 f(x)0，得 xln 2. 列表如下. x (，ln 2) ln
7、 2 (ln 2，) f(x) 0 f(x) 极小值 f(ln 2) 故 f(x)的单调减区间是(， ln 2)， 单调增区间是(ln 2， )， f(x)在 xln 2 处取得极小值， 极小值为 f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a) (2)证明 设 g(x)exx22ax1，xR， 于是 g(x)ex2x2a，xR. 由(1)知，当 aln 21 时，g(x)取最小值为 g(ln 2)2(1ln 2a)0. 于是对任意 xR，都有 g(x)0， 所以 g(x)在 R 内单调递增 于是当 aln 21 时，对任意 x(0，)， 都有 g(x)g(0) 而 g(0)0，从而对
8、任意 x(0，)，都有 g(x)0， 即 exx22ax10， 故 exx22ax1. 反思与感悟 本类题考查导数的运算， 利用导数研究函数的单调性， 求函数的极值和证明不 等式，考查运算能力，分析问题、解决问题的能力 跟踪训练 2 已知函数 f(x)xln x. (1)求 f(x)的最小值； (2)若对所有 x1 都有 f(x)ax1，求实数 a 的取值范围； (3)若关于 x 的方程 f(x)b 恰有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 (1)f(x)的定义域是(0，)，f(x)1ln x， 令 f(x)0，解得 x1 e，令
9、f(x)0， 解得 0x1 e， 故 f(x)在 0，1 e 上单调递减，在 1 e， 上单调递增， 故 f(x)minf 1 e 1 eln 1 e 1 e. (2)f(x)xln x， 当 x1 时，f(x)ax1 恒成立， 等价于 xln xax1(x1)恒成立， 等价于 aln x1 x(x1)恒成立， 令 g(x)ln x1 x，则 ag(x)min(x1)恒成立； g(x)1 x 1 x2 x1 x2 ， 当 x1 时，g(x)0， g(x)在1，)上单调递增，g(x)ming(1)1， a1，即实数 a 的取值范围为(，1 (3)若关于 x 的方程 f(x)b 恰有两个不相等的实
10、数根， 即 yb 和 yf(x)在(0，)上有两个不同的交点， 由(1)知当 0x1 e时，f(x)0， f(x)在 0，1 e 上单调递减，在 1 e， 上单调递增， f(x)minf 1 e 1 eln 1 e 1 e； 故当1 eb0 时，满足 yb 和 yf(x)在(0，)上有两个不同的交点， 即若关于 x 的方程 f(x)b 恰有两个不相等的实数根，则1 eb0. 取 b 的取值范围是 1 e，0 . 类型三 生活中的实际问题 例 3 某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入 广告费 t(百万元)，可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3) (1)若
11、该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获 得的收益最大？ (2)现该公司准备共投入 3 百万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改 造费 x(百万元)，可增加的销售额为1 3x 3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该 公司由此获得的收益最大 解 (1)设投入 t(百万元)的广告费后增加的收益为 f(t)(百万元)， 则有 f(t)(t25t)tt24t (t2)24(0t3)， 所以当 t2 时，f(t)取得最大值 4， 即投入 2 百万元的广告费时，该公司获得的收益最大 (2)设用于技术改造的资金为 x(百万元)，则用于广告促销的资
12、金为(3x)(百万元) 由此获得的收益是 g(x)(百万元)， 则 g(x)1 3x 3x23x(3x)25(3x)31 3x 34x3(0 x3)， 所以 g(x)x24. 令 g(x)0，解得 x2(舍去)或 x2. 又当 0 x0；当 2x3 时，g(x)0，又 h0，可得 r0，故 V(r)在(0,5)上为增函数； 当 r(5,5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数 由此可知，V(r)在 r5 处取得极大值，也是最大值，此时 h8. 即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大. 1函数 yxex在其极值点处的切线方程为_ 答案 y1 e 解析 依题意得 yexxe
13、x，令 y0，可得 x1， y1 e. 函数 yxex在其极值点处的切线方程为 y1 e. 2函数 f(x)x e x 的单调增区间是_ 答案 (，1) 解析 f(x)x e x，则 f(x)1xe x e2x 1x ex ， 令 f(x)0, 得 x1，故单调增区间为(，1) 3.如图， yf(x)是可导函数， 直线 l： ykx2 是曲线 yf(x)在 x3 处的切线， 令 g(x)xf(x)， g(x)是 g(x)的导函数，则 g(3)_. 答案 0 解析 直线 l：ykx2 是曲线 yf(x)在 x3 处的切线，f(3)1.又点(3,1)在直线 l 上， 3k21，从而 k1 3，f(
14、3)k 1 3. g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)， 则 g(3)f(3)3f(3)13 1 3 0. 4体积为 16 的圆柱，当它的半径为_时，圆柱的表面积最小 答案 2 解析 设圆柱底面半径为 r，高为 l. 16r2l，即 l16 r2. 则 S表面积2r22rl2r22r16 r22r 232 r ， 令 S4r32 r2 0，得 r2. 当 r2 时，圆柱的表面积最小 5设函数 f(x)xea xbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y(e1)x4.则 a，b 的值为_ 答案 2，e 解析 f(x)的定义域为 R. f(x)ea xxeaxb(1x)e
15、axb. 依题设知， f22e2， f2e1， 即 2ea 22b2e2， ea 2be1. 解得 a2，be. 1利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程 yy0f(x0)(xx0)明确 “过点 P(x0， y0)的曲线 yf(x)的切线方程”与“在点 P(x0， y0)处的曲线 yf(x)的切线方程” 的异同点 2借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数 形结合于一体 3 利用导数求解优化问题， 注意自变量中的定义域， 找出函数关系式， 转化为求最值问题 4不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、 下限一般是两曲线交点的横坐标
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