1、第2章 推理与证明 章末复习学习目标1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题1合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理：合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理2演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提提供了一个一般性的原理；小前提指出了一个特殊对象；结
2、论揭示了一般原理与特殊对象的内在联系3直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法综合法是从已知条件推出结论的证明方法；分析法是从结论追溯到条件的证明方法(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法4数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当nn0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当nk(kN*，且kn0)时结论成立，推得当nk1时结论也成立类型一合情推理与演绎推理例1(1)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_(nN*)考点归纳推
3、理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案n(n1)解析第一个等式中1，2；第二个等式中，2，3；第三个等式中，3，4.由此可推得第n个等式等于n(n1)(nN*)(2)下列推理正确的是_把a(bc)与loga(xy)类比，则loga(xy)logaxlogay；把a(bc)与sin(xy)类比，则sin(xy)sin xsin y；把(ab)n与(xy)n类比，则(xy)nxnyn；把(ab)c与(xy)z类比，则(xy)zx(yz)答案(3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说
4、：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案1和3解析由题意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意故甲的卡片上的数字是1和3.反思与感悟(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的论理证明(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错
5、误(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确跟踪训练1若数列an为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若SmSn(m，nN*且mn)，则Smn0.”类比上述性质，相应地，当数列bn为等比数列时，写出一个正确的性质：_.考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案数列bn为等比数列，Tm表示其前m项的积，若TmTn(m，nN*，mn)，则Tmn1解析由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，加减运算类比推理为乘除运算累加类比为累乘，由此，等差数列an的性质类比到等
6、比数列bn中为：数列bn为等比数列，Tm表示其前m项的积，若TmTn(m，nN*，mn)，则Tmn1.类型二证明方法例2(1)已知a，b，c为互不相等的非负数求证：a2b2c2()(2)证明：2cos().证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，又因为a，b，c为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“”，所以a2b2c2abbcac，因为abbc2，bcac2，abac2，又a，b，c为互不相等的非负数，所以abbcac()，所以a2b2c2()(2)要证原等式成立，只需证：2cos()sin sin(2)sin .因为式左边2cos()sin sin()2cos
7、()sin sin()cos cos()sin cos()sin sin()cos sin 右边，所以式成立，即原等式成立反思与感悟分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件跟踪训练2已知x0，y0，求证：.证明要证明，只需证(x2y2)3(x3y3)2，只需证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，只需证3x4y23x2y42x3y3.又x0，y0，x2y20，只需证3x23y22xy
8、.3x23y2x2y22xy，3x23y22xy成立，故.例3若x，y都是正实数，且xy2，求证：2与2中至少有一个成立证明假设2和0且y0，所以1x2y且1y2x，两式相加，得2xy2x2y，所以xy2.这与已知xy2矛盾故2与2至少有一个成立反思与感悟反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题时，也常用反证法跟踪训练3已知：ac2(bd)求证：方程x2axb0与方程x2cxd0中至少有一个方程有实数根证明假设两方程都没有实数根，则1a24b0与2c24d0，有a2c22ac，即ac2(bd)，与已知矛盾，故原命题成立类型三数学归纳法例
9、4观察下列四个等式：第一个式子11第二个式子2349第三个式子3456725第四个式子4567891049(1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明解(1)第五个等式：5671381.(2)猜想第n个等式为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.下面用数学归纳法证明当n1时，左边1，右边(21)21，所以猜想成立假设当nk(k1，kN*)时，猜想成立，即有k(k1)(k2)(3k2)(2k1)2.那么当nk1时，左边(k1)(k2)(3k2)(3k1)3k(3k1)k(k1)(k2)(3k2)(2k1)3k(3k1)(2k1)2(2k1)3k(3k1)4
10、k24k18k(2k1)22(k1)12.右边2(k1)12，即当nk1时，猜想也成立根据知，猜想对任意nN*都成立反思与感悟(1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少(2)由nk到nk1时，除等式两边变化的项外还要利用当nk时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明跟踪训练4数列an满足：a11，an1an1.(1)写出a2，a3，a4；(2)求数列an的通项公式解(1)因为a11，an1an1，所以a2a111.a3a211.a4a311.(2)方法一猜想an，nN*.下面用
11、数学归纳法证明当n1时，a11，满足上式，显然成立；假设当nk(k1，kN*)时，ak，那么当nk1时，ak1ak111，满足上式，即当nk1时，猜想也成立，由可知，对于nN*，都有an.方法二因为an1an1，所以an12an12，即an12(an2)设bnan2，则bn1bn，即bn是以b11为首项，为公比的等比数列，所以bnb1qn1，所以anbn2，nN*.1观察按下列顺序排序的等式：9011,91211,92321,93431，猜想第n(nN*)个等式应为_答案9(n1)n10n9解析由已知中的式子，我们观察后分析：等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，等式右边是一个等差数列根据
12、已知可以推断：第n(nN*)个等式为9(n1)n10n9.2在平面直角坐标系中，方程1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为_考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案1解析在平面直角坐标系中，方程1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”类比到空间坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为1.3猜想数列，的通项公式是_答案an(nN*)解析分析式子，的规律，可得分子均为1，分母为连续相邻的两个偶数的乘积4用反证法证明命题：“设a，b为
13、实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是_答案方程x3axb0没有实根解析方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根5函数列fn(x)满足f1(x)(x0)，fn1(x)f1(fn(x)(1)求f2(x)，f3(x)；(2)猜想fn(x)的表达式，并证明解(1)f1(x)(x0)，f2(x)，f3(x).(2)猜想fn(x)(nN*)，下面用数学归纳法证明：当n1时，命题显然成立；假设当nk(kN*)时，fk(x)，那么fk1(x).这就是说当nk1时命题也成立由可知，fn(x)对所有nN*均成立故fn(x)(nN*)1归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到
14、一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明2演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性3直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法4数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时，它的两个步骤缺一不可它的第一步(归纳奠基)当nn0(kn，kN*)时，结论成立第二步(归纳递推)假设当nk时，结论成立，推得当nk1时，结论也成立数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立
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