1、1.2 排排 列列 第第 1 课时课时 排列与排列数公式排列与排列数公式 学习目标 1.了解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式及推导过程.3.能应用排列知 识解决简单的实际问题. 知识点一 排列的概念 从甲、乙、丙三名同学中选出 2 人参加一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，另 1 名同 学参加下午的活动. 思考 1 让你安排这项活动需要分几步？ 答案 分两步.第 1 步确定上午的同学； 第 2 步确定下午的同学. 思考 2 甲丙和丙甲是相同的排法吗？ 答案 不是. 梳理 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m
2、 个元素的一个排列. 知识点二 排列数 思考 1 从 1,2,3,4 这 4 个数字中选出 2 个能构成多少个无重复数字的两位数？ 答案 4312(个). 思考 2 从 1,2,3,4 这 4 个数字中选出 3 个能构成多少个无重复数字的 3 位数？ 答案 43224(个). 思考 3 从 n 个不同的元素中取出 m 个(mn)元素排成一列，共有多少种不同排法？ 答案 n(n1)(n2)(nm1)种. 梳理 排列数及排列数公式 排列数 全排列 定义 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个 元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排 列数 n 个不同元素全部取出的一个排列
3、， 叫 做 n 个不同元素的一个全排列 表示法 Am n Ann 公式 乘积形式 Am nn(n1) (n 2)(nm1) Annn(n1)(n2) 321 阶乘形式 Am n n！ nm！ Annn！ 性质 A0n1；0！1 1.a，b，c 与 b，a，c 是同一个排列.( ) 2.同一个排列中，同一个元素不能重复出现.( ) 3.在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.( ) 4.从 4 个不同元素中任取 3 个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列.( ) 类型一 排列的概念 例 1 判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价
4、格(假设来回的票价相同)； (2)选 2 个小组分别去植树和种菜； (3)选 2 个小组去种菜； (4)选 10 人组成一个学习小组； (5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班 40 名学生在假期相互通信. 考点 排列的概念 题点 排列的判断 解 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是 排列问题. (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题. (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问 题. (6)A 给 B 写信与 B 给 A 写
5、信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题. 所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题. 反思与感悟 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 跟踪训练 1 判断下列问题是否为排列问题. (1)会场有 50 个座位，要求选出 3 个座位，有多少种方法？若选出 3 个座位安排 3 位客人， 又有多少种方法？ (2)从集合 M1,2，9中，任取两个元素作为 a，b，可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭 圆方程x 2 a2 y2 b21？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲线方程 x2 a2 y2 b21? (3)平面上有 5 个点，其中任意 3 个点不共线，这 5
6、个点最多可确定多少条直线？可确定多少 条射线？ 考点 排列的概念 题点 排列的判断 解 (1)第一问不是排列问题， 第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题， 与顺序有关， 故选 3 个座位安排 3 位客人是排列问题. (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程x 2 a2 y2 b21 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 必有 ab，a，b 的大小关系一定；在双曲线x 2 a2 y2 b21 中，不管 ab 还是 ab，方程 x2 a2 y2 b2 1 均表示焦点在 x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题. (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题. 类型二 “树形图
7、”解决排列问题 例 2 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列. 考点 排列的概念 题点 列举所有排列 解 (1)由题意作“树形图”，如下. 故组成的所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有 12 个. (2)由题意作“树形图”，如下. 故所有的排列为 abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad， cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc
8、，dca，dcb. 反思与感悟 利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式. (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类， 再安排第二个元素， 并按此元素分类， 依次进行， 直到完成一个排列， 这样能做到不重不漏， 然后再按树形图写出排列. 跟踪训练 2 写出 A，B，C，D 四名同学站成一排照相，A 不站在两端的所有可能站法. 考点 排列的概念 题点 列举所有排列 解 由题意作“树形图”，如下， 故所有可能的站法是 BACD， BADC， BCAD， BDAC，
9、CABD， CADB， CBAD， CDAB， DABC， DACB，DBAC，DCAB. 类型三 排列数公式及应用 例 3 (1)用排列数表示(55n)(56n)(69n)(nN*且 n55)； (2)计算2A 5 87A 4 8 A88A59 ； (3)求证：Am n1A m nmA m1 n . 考点 排列数公式 题点 利用排列数公式计算 (1)解 因为 55n,56n， ， 69n 中的最大数为 69n， 且共有 69n(55n)115(个) 元素， 所以(55n)(56n)(69n)A15 69n. (2)解 2A587A48 A88A59 28765478765 876543219
10、8765 876587 87652491. (3)证明 方法一 因为 Am n1A m n n1！ n1m！ n！ nm！ n！ nm！ n1 n1m1 n！ nm！ m n1m m n！ n1m！mA m1 n ， 所以 Am n1A m nmA m1 n . 方法二 Am n1表示从 n1 个元素中取出 m 个元素的排列个数，其中不含元素 a1的有 A m n个. 含有 a1的可这样进行排列： 先排 a1，有 m 种排法，再从另外 n 个元素中取出 m1 个元素排在剩下的 m1 个位置上， 有 Am 1 n 种排法. 故 Am n1mA m1 n Am n， 所以 mAm 1 n Am n
11、1A m n. 反思与感悟 排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的 排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有 关的论证时，一般用阶乘式. 跟踪训练 3 已知 3An 1 8 4An 2 9 ，则 n_. 考点 排列数公式 题点 利用排列数公式计算 答案 7 解析 由已知 38！ 9n！ 49！ 11n！， 即 43 11n10n1，因为 n9， 解得 n7. 1.下列问题中属于排列问题的为_.(填序号) 从 10 个人中选 2 人分别去种树和扫地； 从 10 个人中选 2 人去扫地；
12、从班上 30 名男生中选出 5 人组成一个篮球队； 从数字 5,6,7,8 中任取两个不同的数作幂运算. 考点 排列的概念 题点 排列的判断 答案 解析 根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题. 2.从 2,3,5,7 四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有_个. 考点 排列的应用 题点 无限制条件的排列问题 答案 12 解析 符合题意的结果有 A244312(个). 3.已知 A2x30，则 x_. 考点 排列数公式 题点 解含排列数的方程或不等式 答案 6 解析 A2xx(x1)30，解得 x6 或5(舍去)， x6. 4.5A354A24_. 考点 排列数公式 题点 利用排列数
13、公式计算 答案 348 解析 原式5543443348. 5.写出下列问题的所有排列： (1)从编号为 1,2,3,4,5 的五名同学中选出两名同学任正、副班长； (2)A，B，C，D 四名同学排成一排照相，要求自左向右，A 不排第一，B 不排第四. 考点 排列的概念 题点 列举所有排列 解 (1)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有 A2520(种)选法，形成的排列是 12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54. (2)因为 A 不排第一，排第一位的情况有 3 类(可从 B，C，D 中任选一人排)，而此时兼顾分
14、析 B 的排法，列树形图如图. 所以符合题意的所有排列是 BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC， DBAC，DBCA，DCBA，共 14 种. 1.判断一个问题是否是排列的思路 排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关， 而且与元素的排列顺序有关.这就是说， 在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是 排列问题，否则不是排列问题. 2.关于排列数的两个公式 (1)排列数的第一个公式 Am nn(n1)(n2)(nm1)适用 m 已知的排列数的计算以及排列 数的方程和不等式.在运用时要注意它的特点，从 n 起连续写出 m 个数的乘积即可. (2)排列数的第二个公式 Am n n！ nm！用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在 具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，mN*，mn”的运 用.
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