1、第第 2 课时课时 排列的应用排列的应用 学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公 式解决简单的实际问题 知识点 排列及其应用 1排列数公式 Am nn(n1)(n2)(nm1)(n，mN *，mn) n！ nm！. Annn(n1)(n2)21n！(叫做 n 的阶乘)另外，我们规定 0！1. 2应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤 类型一 无限制条件的排列问题 例 1 (1)有 7 本不同的书， 从中选 3 本送给 3 名同学， 每人各 1 本， 共有多少种不同的送法？ (2)有 7 种不同的书，要买 3 本送给 3 名同学，每
2、人各 1 本，共有多少种不同的送法？ 考点 排列的应用 题点 无限制条件的排列问题 解 (1)从 7 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，相当于从 7 个元素中任取 3 个元素的一个排 列，所以共有 A37765210(种)不同的送法 (2)从7种不同的书中买3本书， 这3本书并不要求都不相同， 根据分步计数原理， 共有777 343(种)不同的送法 反思与感悟 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原 理求其方法种数排列的概念很清楚，要从“n 个不同的元素中取出 m 个元素”即在排列 问题中元素不能重复选取，而在用分步计数原理解决的问题中，元素可以重复选取 跟
3、踪训练 1 (1)有 5 个不同的科研小课题，从中选 3 个由高二(6)班的 3 个学习兴趣小组进行 研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ (2)有 5 个不同的科研小课题，高二(6)班的 3 个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题， 共有多少种不同的报名方法？ 考点 排列的应用 题点 无限制条件的排列问题 解 (1)从 5 个不同的课题中选出 3 个，由兴趣小组进行研究，对应于从 5 个不同元素中取出 3 个元素的一个排列，因此不同的安排方法有 A3554360(种) (2)由题意知 3 个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题 由于每个兴趣小组都有 5 种不
4、同的选择，且 3 个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步 计数原理得共有 555125(种)报名方法 类型二 排队问题 命题角度 1 元素“相邻”与“不相邻”问题 例 2 3 名男生，4 名女生，这 7 个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法 (1)男、女各站在一起； (2)男生必须排在一起； (3)男生不能排在一起； (4)男生互不相邻，且女生也互不相邻 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把 3 名男生进行全排列，有 A33种排法， 女生必须站在一起，即把 4 名女生进行全排列，有 A44种排法， 全体男生、女生各
5、看作一个元素全排列有 A22种排法， 由分步计数原理知共有 A33 A44 A22288(种)排法 (2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全排列， 故有 A33 A55720(种)不同的排法 (3)(不相邻问题插空法)先排女生有 A44种排法，把 3 名男生安排在 4 名女生隔成的 5 个空中， 有 A35种排法，故有 A44 A351 440(种)不同的排法 (4)先排男生有 A33种排法让女生插空，有 A33A44144(种)不同的排法 反思与感悟 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则元素相 邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个
6、元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排 列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将 不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素 跟踪训练 2 排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单 (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 解 (1)先排歌唱节目有 A55种， 歌唱节目之间以及两端共有 6 个空位， 从中选 4 个放入舞蹈节 目，共有 A46种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有 A55 A464
7、3 200(种)方法 (2)先排舞蹈节目有 A44种方法， 在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位， 恰好供 5 个歌唱节目 放入所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有 A44 A552 880(种)方法 命题角度 2 特殊元素与特殊位置问题 例 3 从包括甲、乙两名同学在内的 7 名同学中选出 5 名同学排成一列，求解下列问题： (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，乙不在末位的排法有多少种？ 考点 排列的应用 题点 特殊元素与特殊位置问题 解 (1)方法一 把同学作为研究对象 第
8、一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他 6 名同学中取出 5 名放在 5 个位置上，有 A56种 第二类：含有甲，甲不在首位：先从 4 个位置中选出 1 个放甲，再从甲以外的 6 名同学中选 出 4 名排在没有甲的位置上， 有 A46种排法 根据分步计数原理， 含有甲时共有 4A46种排法 由分类计数原理，共有 A564A462 160(种)排法 方法二 把位置作为研究对象 第一步，从甲以外的 6 名同学中选 1 名排在首位， 有 A16种方法 第二步，从占据首位以外的 6 名同学中选 4 名排在除首位以外的其他 4 个位置上，有 A46种方 法 由分步计数原理，可得共有 A16 A462 16
9、0(种)排法 方法三 (间接法)即先不考虑限制条件，从 7 名同学中选出 5 名进行排列，然后把不满足条 件的排列去掉 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有 A57种；甲在首位的情况有 A46种，所以符合要求 的排法有 A57A462 160(种) (2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置 第一步，从甲以外的 6 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置上，有 A26种方法 第二步，从未排上的 5 名同学中选出 3 名排在中间 3 个位置上，有 A35种方法 根据分步计数原理，有 A26 A351 800(种)方法 (3)把位置作为研究对象 第一步，从甲、乙以外的 5 名同学中选 2 名排在首
10、末 2 个位置，有 A25种方法 第二步，从未排上的 5 名同学中选出 3 名排在中间 3 个位置上，有 A35种方法 根据分步计数原理，共有 A25 A351 200(种)方法 (4)用间接法 总的可能情况是 A57种，减去甲在首位的 A46种，再减去乙在末位的 A46种注意到甲在首位同 时乙在末位的情况被减去了两次， 所以还需补回一次A35种， 所以共有A572A46A351 860(种) 排法 反思与感悟 “在”与“不在”排列问题解题原则及方法 (1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入 手，原则是谁特殊谁优先 (2)方法：从元素入手时，先给特殊
11、元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置 入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置 提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底不能一会考虑元素，一会考 虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误 跟踪训练 3 3 名男生和 4 名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数 (1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； (2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； (3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； (4)全体站成两排，前排 3 人，后排 4 人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有 2 名男生丙和 丁因个子高要排在后排 考点 排列的应用 题点 排列的应用
12、解 (1)(特殊元素优先法)先考虑甲的位置，有 A13种方法，再考虑其余 6 人全排列，有 A66种方 法故有 A13A662 160(种)方法 (2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙的位置，有 A22种方法，再安排其余 5 人全排列，有 A55种方 法故有 A22A55240(种)方法 (3)方法一 (特殊元素优先法)按甲是否在最右端分两类： 第一类，甲在最右端有 A66种方法； 第二类，甲不在最右端时，甲有 A15个位置可选，乙也有 A15个位置可选，其余 5 人全排列， 有 A15A15A55种方法 故有 A66A15A15A553 720(种)方法 方法二 (间接法)无限制条件的排列方法
13、共有 A77种，而甲在最左端或乙在最右端的排法各有 A66种，甲在最左端且乙在最右端的排法有 A55种 故有 A772A66A553 720(种)方法 方法三 (特殊位置优先法)按最左端优先安排分步 对于最左端除甲外有 A16种排法，余下六个位置全排有 A66种排法，但要减去乙在最右端的排 法 A15A55种 故有 A16A66A15A553 720(种)方法 (4)将两排连成一排后，原问题转化为女生甲、乙要排在前 3 个位置，男生丙、丁要排在后 4 个位置，因此先排女生甲、乙有 A23种方法，再排男生丙、丁有 A24种方法，最后把剩余的 3 人全排列有 A33种方法 故有 A23A24A33
14、432(种)方法 类型三 数字排列问题 例 4 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ (1)六位奇数； (2)个位数字不是 5 的六位数； (3)不大于 4 310 的四位偶数 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题 解 (1)第一步，排个位，有 A13种排法； 第二步，排十万位，有 A14种排法； 第三步，排其他位，有 A44种排法 故共有 A13A14A44288(个)六位奇数 (2)方法一 (直接法) 十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同，因此需分两类 第一类，当个位排 0 时，有 A55个； 第二类，当个位不排 0 时，有
15、A14A14A44个 故符合题意的六位数共有 A55A14A14A44504(个) 方法二 (排除法) 0 在十万位和 5 在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有 0 在十万位 和 5 在个位的情况 故符合题意的六位数共有 A662A55A44504(个) (3)分三种情况，具体如下： 当千位上排 1,3 时，有 A12A13A24个 当千位上排 2 时，有 A12A24个 当千位上排 4 时，形如 4 02,4 20 的各有 A13个； 形如 4 1的有 A12A13个； 形如 4 3的只有 4 310 和 4 302 这两个数 故共有 A12A13A24A12A242A1
16、3A12A132110(个) 反思与感悟 数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入 手分析， 找出解题的思路 常见附加条件有： (1)首位不能为 0； (2)有无重复数字； (3)奇偶数； (4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数 跟踪训练 4 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)能被 5 整除的五位数； (2)能被 3 整除的五位数； (3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列an，则 240 135 是第几项 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题 解 (1)个位上的数字必须是 0 或 5.个位上是 0， 有 A45个
17、； 个位上是 5， 若不含 0， 则有 A44个； 若含 0，但 0 不作首位，则 0 的位置有 A13种排法，其余各位有 A34种排法，故共有 A45A44 A13A34216(个)能被 5 整除的五位数 (2)能被 3 整除的条件是各位数字之和能被 3 整除，则 5 个数可能有1,2,3,4,5和0,1,2,4,5两 种情况，能够组成的五位数分别有 A55个和 A14A44个 故能被 3 整除的五位数有 A55A14A44216(个) (3)由于是六位数， 首位数字不能为 0， 首位数字为 1 有 A55个数， 首位数字为 2， 万位上为 0,1,3 中的一个，有 3A44个数， 240
18、135 的项数是 A553A441193， 即 240 135 是数列的第 193 项. 1 现从 8 名学生干部中选出 3 名同学分别参加全校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营 活动，则不同的选派方案的种数是_ 考点 排列的应用 题点 无限制条件的排列问题 答案 336 解析 从 8 名学生干部中选出 3 名同学的排列：A38876336，故共有 336 种不同的选 派方案 26 位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序 共有_种 考点 排列的应用 题点 元素“在”与“不在”问题 答案 480 解析 第一步：排甲，共有 A14种不同的排法；第二步：排其他
19、人，共有 A55种不同的排法， 因此不同的演讲次序共有 A14A55480(种) 33 名男生和 3 名女生排成一排，男生不相邻的排法有_种 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 144 解析 第一步：排女生，共有 A33种不同的排法；第二步：男生插空，共有 A34种不同的排法， 因此共有 A33A34144(种)排法 4用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为_ 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题 答案 72 解析 由题意可知， 五位数要为奇数， 则个位数有 A13个， 再将剩下的 4 个数字排列得到 A44个， 则满足条件的五位数有
20、A13 A4472(个) 5用数字 0,1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字，并且比 20 000 大的五位偶数共_个 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题 答案 240 解析 分为两类： 当首位选 2 或 4 时， 末位有 A12种选法， 中间三位有 A34种排法， 故有 A12A12A34 96(种)排法 当首位选 3 或 5 时，末位有 A13种排法，中间位有 A34种排法，故有 A12A13A34144(种)排法 比 20 000 大的五位偶数共有 96144240(个) 求解排列问题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列， 同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题， 先考虑不受限制的元素的排列， 再将不相邻的元素插在前面元 素排列的空档中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反，等价转化的方法
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