1、2.4 二项分布二项分布 学习目标 1.了解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模 型及二项分布解决一些简单的实际问题 知识点一 独立重复试验 思考 1 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验，试验的条件有什么要求？ 答案 条件相同 思考 2 试验结果有哪些？ 答案 正面向上或反面向上 思考 3 各次试验的结果有无影响？ 答案 无，即各次试验相互独立 梳理 n 次独立重复试验的特点 (1)由 n 次试验构成 (2)每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即 A 与 A . (3)每次试验中 P(A)p0. 特别地，n 次独立重复试验也称为伯
2、努利试验 知识点二 二项分布 在体育课上， 某同学做投篮训练， 他连续投篮 3 次， 每次投篮的命中率都是 0.8， 用 Ai(i1,2,3) 表示第 i 次投篮命中这个事件，用 Bk表示仅投中 k 次这个事件 思考 1 用 Ai如何表示 B1，并求 P(B1) 答案 B1(A1A2 A3)( A1A2A3)( A1 A2A3)， 因为 P(A1)P(A2)P(A3)0.8， 且 A1A2 A3， A1A2A3， A1 A2A3两两互斥， 故 P(B1)0.80.220.80.220.80.22 30.80.220.096. 思考 2 试求 P(B2)和 P(B3) 答案 P(B2)30.20
3、.820.384， P(B3)0.830.512. 梳理 一般地， 在 n 次独立重复试验中， 每次试验事件 A 发生的概率均为 p(0p1)， 即 P(A) p，P( A )1pq. 若随机变量 X 的分布列为 P(Xk)Cknpkqn k， 其中 0p1，pq1，k0,1,2，n，则称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记作 X B(n，p) 1有放回地抽样试验是独立重复试验( ) 2在 n 次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响( ) 3在 n 次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同( ) 4如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个
4、事件恰好发生 k 次的概率 P(Xk)Cknpk(1p)n k，k0,1,2，n.( ) 类型一 求独立重复试验的概率 例 1 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是2 3和 3 4，假设每次射击是否击中目标相 互之间没有影响(结果需用分数作答) (1)求甲射击 3 次，至少有 1 次未击中目标的概率； (2)求两人各射击 2 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 1 次的概率 考点 独立重复试验的计算 题点 用独立重复试验的概率公式求概率 解 (1)记“甲射击 3 次，至少有 1 次未击中目标”为事件 A1，由题意，射击 3 次，相当于 3 次独立重复试验，故 P(A1)1P( A
5、1)1 2 3 319 27. (2)记“甲射击 2 次，恰有 2 次击中目标”为事件 A2，“乙射击 2 次，恰有 1 次击中目标”为 事件 B2， 则 P(A2)C22 2 3 24 9， P(B2)C12 3 4 1 13 4 3 8， 由于甲、乙射击相互独立，故 P(A2B2)4 9 3 8 1 6. 引申探究 若本例条件不变，求两人各射击 2 次，甲、乙各击中 1 次的概率 解 记“甲击中 1 次”为事件 A4，记“乙击中 1 次”为事件 B4， 则 P(A4)C122 3 12 3 4 9， P(B4)C123 4 13 4 3 8. 所以甲、乙各击中 1 次的概率为 P(A4B4
6、)4 9 3 8 1 6. 反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤 (1)判断：依据 n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验 (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆 (3)计算：就每个事件依据 n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公 式计算 跟踪训练 1 9 粒种子分别种在甲、乙、丙 3 个坑内，每坑 3 粒，每粒种子发芽的概率为1 2. 若一个坑内至少有 1 粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子 (1)求甲坑不需要补种的概率； (2)记 3 个坑中恰好有 1 个坑不需要补种的概率为 P1，另记有坑需要补种的概率为 P2，求 P1 P
7、2的值 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 解 (1)因为甲坑内 3 粒种子都不发芽的概率为 11 2 31 8， 所以甲坑不需要补种的概率为 11 8 7 8. (2)3 个坑恰有 1 个坑不需要补种的概率为 P1C137 8 1 8 221 512. 由于 3 个坑都不需补种的概率为 7 8 3， 则有坑需要补种的概率为 P21 7 8 3169 512， 所以 P1P2 21 512 169 512 95 256. 类型二 二项分布 例 2 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球， 这些球除颜
8、色外完全相同 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球， 若摸出的白球不少于 2 个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在 1 次游戏中， 摸出 3 个白球的概率； 获奖的概率； (2)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的概率分布 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二项分布的概率分布 解 (1)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i0,1,2,3)，则 P(A3)C 2 3 C25 C12 C23 1 5. 设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 BA2A3. 又 P(A2)C 2 3 C25 C22 C23 C13C12 C25 C12 C23 1 2，且 A
9、2，A3 互斥， 所以 P(B)P(A2)P(A3)1 2 1 5 7 10. (2)由题意可知，X 的所有可能取值为 0,1,2， 则 P(X0) 1 7 10 2 9 100， P(X1)C12 7 10 1 7 10 21 50， P(X2) 7 10 249 100. 所以 X 的概率分布如下表： X 0 1 2 P 9 100 21 50 49 100 反思与感悟 (1)当 X 服从二项分布时，应弄清 XB(n，p)中的试验次数 n 与成功概率 p. (2)解决二项分布问题的两个关注点 对于公式 P(Xk)Cknpk(1p)n k(k0,1,2， ， n)， 必须在满足独立重复试验时
10、才能应用， 否则不能应用该公式； 判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发 生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了 n 次 跟踪训练 2 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为3 4， 某班 3 名同学商定明天分别就同 一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数 X 的概率分布 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二项分布的分布列 解 由题意可知 XB 3，3 4 ， 所以 P(Xk)Ck3 3 4 k 1 4 3k，k0,1,2,3， 即 P(X0)C03 3 4 0 1 4 31 64； P(X1)C133 4 1
11、 4 29 64； P(X2)C23 3 4 21 4 27 64； P(X3)C33 3 4 327 64. 所以 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 1 64 9 64 27 64 27 64 类型三 二项分布的综合应用 例 3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有 5 个交通岗，假设他在各交通岗遇 到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 3. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数 的概率分布； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数 的概率分布； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用 解 (
12、1)由 B 5，1 3 ，则 P(k)Ck5 1 3 k 2 3 5k，k0,1,2,3,4,5. 即 P(0)C05 1 3 0 2 3 532 243； P(1)C151 3 2 3 480 243； P(2)C25 1 3 2 2 3 380 243； P(3)C35 1 3 3 2 3 240 243； P(4)C45 1 3 42 3 10 243； P(5)C55 1 3 5 1 243. 故 的概率分布如下表： 0 1 2 3 4 5 P 32 243 80 243 80 243 40 243 10 243 1 243 (2) 的分布列为 P(k)P(前 k 个是绿灯，第 k1
13、个是红灯) 2 3 k 1 3，k0,1,2,3,4. 即 P(0) 2 3 01 3 1 3； P(1)2 3 1 3 2 9； P(2) 2 3 21 3 4 27； P(3) 2 3 31 3 8 81； P(4) 2 3 41 3 16 243； P(5)P(5 个均为绿灯) 2 3 5. 故 的概率分布如下表： 0 1 2 3 4 5 P 1 3 2 9 4 27 8 81 16 243 32 243 (3)所求概率为 P(1)1P(0)1 2 3 5211 243. 反思与感悟 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典 概型、互斥事件、独立事件、独立重复
14、试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是 AB 还是 AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用加法或乘法公式；最后，选用 相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解 跟踪训练 3 某会议室用 5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同假定每盏灯能 否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1，寿命为 2 年以 上的概率为 p2，从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不 换 (1)在第一次灯泡更换工作中，求不需更换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率； (2)在第二次灯泡更换工作中，
15、对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率； (3)当 p10.8，p20.3 时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换 4 只灯泡的概率(结 果保留两位有效数字) 解 (1)在第一次更换灯泡工作中，不需更换灯泡的概率为 p51，需要更换 2 只灯泡的概率为 C25p31(1p1)2. (2)对该盏灯来说，在第一、二次都更换了灯泡的概率为(1p1)2，在第一次未更换灯泡而在第 二次需要更换灯泡的概率为 p1(1p2) 故所求的概率为 p(1p1)2p1(1p2) (3)至少换 4 只灯泡包括换 5 只和换 4 只两种情况 换 5 只的概率为 p5(其中 p 为(2)中所求，下同)； 换
16、 4 只的概率为 C45p4(1p) 故至少换 4 只灯泡的概率为 p3p5C45p4(1p) 又当 p10.8，p20.3 时，p0.220.80.70.6. 故 p30.65C450.64(10.6)0.34， 即至少需要更换 4 只灯泡的概率约为 0.34. 1一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率为4 5，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率为 _ 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 答案 48 125 解析 播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率为 C23 4 5 2 14 5 48 125. 2 在 4 次独立重复试验中， 随机事件 A
17、 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的概率， 则事件 A 在 1 次试验中发生的概率 p 的取值范围是_ 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案 0.4,1) 解析 由题意知，C14p(1p)3C24p2(1p)2， 解得 p0.4. 3某人进行射击训练，一次击中目标的概率为3 5，经过三次射击，此人至少有两次击中目标 的概率为_ 考点 独立重复试验的计算 题点 用独立重复试验的概率公式求概率 答案 81 125 解析 两次击中目标的概率为 P1C23 3 5 2 13 5 54 125，三次击中目标的概率为 P2 3 5 3 27 125，所以至少有两
18、次击中目标的概率为 PP1P2 81 125. 4设 XB(2，p)，若 P(X1)5 9，则 p_. 考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用 答案 1 3 解析 因为 XB(2，p)， 所以 P(Xk)Ck2pk(1p)2 k，k0,1,2. 所以 P(X1)1P(X1)1P(X0) 1C02p0(1p)21(1p)2. 所以 1(1p)25 9， 结合 0p1，解得 p1 3. 5 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯， 假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独 立的，并且概率都是2 5，设 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 的概率分布 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二
19、项分布的概率分布 解 由题意知 B 3，2 5 ， 则 P(0)C03 2 5 0 3 5 327 125， P(1)C13 2 5 1 3 5 254 125， P(2)C23 2 5 2 3 5 136 125， P(3)C33 2 5 3 8 125. 所以随机变量 的概率分布如下表： 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 1独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验 的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件发生，事件不发生 2如果 1 次试验中某事件发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次 的概率为 Pn(k)Cknpk(1p)n k.此概率公式恰为(1p)pn 展开式的第 k1 项，故称该公式 为二项分布公式.
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