1、2.2 超几何分布超几何分布 学习目标 1.了解超几何分布的实际背景.2.理解超几何分布的特征.3.能用超几何分布这一 概率模型解决相关问题 知识点 超几何分布 思考 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量 X 表示所选 3 人中女生 的人数 (1)X 的所有可能值是什么？ (2)X 的概率分布是什么？ 答案 (1)0,1,2. (2)P(X0)C 3 4 C36 4 20 1 5， P(X1)C 1 2C 2 4 C36 12 20 3 5， P(X2)C 2 2C 1 4 C36 4 20 1 5， X 的概率分布如下表： X 0 1 2 P 1 5 3 5 1
2、 5 梳理 超几何分布 (1)概念：一般地，若一个随机变量 X 的分布列为 P(Xr)C r MC nr NM CnN ，其中 r0,1,2,3，l， lmin(n，M)，则称 X 服从超几何分布 (2)记法：X 服从超几何分布，记为 XH(n，M，N)，并将 P(Xr)C r MC nr NM CnN 记为 H(r；n，M， N) (3)含义：在 H(r；n，M，N)中，r，n，M，N 的含义： 特别提醒：(1)超几何分布的模型特点 超几何分布中的正品、次品也可以理解为黑、白，男、女等有明显差异的两部分 超几何分布中“Xk”的含义是“取出的 n 件产品中恰好有 k 件次品” (2)超几何分布
3、的特征 超几何分布的抽取是不放回的 超几何分布本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与总次数的比 1超几何分布就是一种概率分布模型( ) 2一个袋子里装有 4 个白球，5 个黑球和 6 个黄球，从中任取 4 个球，则所拿黑球个数 X 就 服从超几何分布( ) 3超几何分布中，只要知道 M，N，n，就可以利用公式求出 X 取不同 k 的概率 P(Xk)，从 而求出 X 的分布列( ) 类型一 超几何分布求概率 例 1 从放有 10 个红球与 15 个白球的暗箱中， 随意摸出 5 个球， 规定取到一个白球得 1 分， 一个红球得 2 分，求某人摸出 5 个球，恰好得 7 分的概率 考点 题点
4、解 设摸出的红球个数为 X，则 X 服从超几何分布，其中 N25，M10，n5.由于摸出 5 个球，得 7 分，仅有两个红球的可能，那么恰好得 7 分的概率为 P(X2)C 2 10C 3 15 C525 0.385， 即恰好得 7 分的概率约为 0.385. 反思与感悟 解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布若满足，则直接 利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解 跟踪训练 1 在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 10 个红球和 20 个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出 5 个球，至少摸到 3 个红球中奖，求中 奖的概率(结果保留两位小
5、数) 考点 题点 解 设摸出红球的个数为 X，则 X 服从超几何分布，其中 N30，M10，n5.于是中奖的 概率为 P(X3)P(X3)P(X4)P(X5) C 3 10C 53 3010 C530 C 4 10C 54 3010 C530 C 5 10C 55 3010 C530 12019021020252 C530 27 252 142 506 0.19. 类型二 超几何分布求概率分布 例 2 一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，其中红球有 3 个，编号为 1,2,3；黑球有 2 个，编号为 1,2；白球有 1 个，编号为 1.现从袋中一次随机抽取 3 个球 (1)求取出的 3
6、 个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得 1 号球的个数为随机变量 X，求随机变量 X 的概率分布 考点 超几何分布 题点 求超几何分布的概率分布 解 (1)从袋中一次随机抽取 3 个球，基本事件总数 nC3620，取出的 3 个球的颜色都不相 同包含的基本事件的个数为 C13C12C116， 所以取出的 3 个球的颜色都不相同的概率为 P 6 20 3 10. (2)由题意知，X0,1,2,3. P(X0)C 3 3 C36 1 20，P(X1) C13C23 C36 9 20， P(X2)C 2 3C 1 3 C36 9 20，P(X3) C33 C36 1 20. 所以 X 的概率分布
7、为 X 0 1 2 3 P 1 20 9 20 9 20 1 20 引申探究 在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量 ，求随机变量 的概率分布 解 由题意可知 0,1，服从两点分布 又 P(1)C 2 5 C36 1 2，所以 的概率分布如下表： 0 1 P 1 2 1 2 反思与感悟 超几何分布的求解步骤 (1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女 生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分具有该特征的概率模型为超 几何分布模型 (2)算概率：可以直接借助公式 P(Xr)C r MC nr NM CnN 求解，也可以利用排列组合及概率
8、的知识求 解，需注意借助公式求解时应理解参数 M，N，n，r 的含义 (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来 跟踪训练 2 从 5 名男生和 3 名女生中任选 3 人参加奥运会火炬接力活动若随机变量 X 表 示所选 3 人中女生的人数，求 X 的概率分布及 P(X2) 考点 超几何分布 题点 求超几何分布的概率分布 解 由题意分析可知，随机变量 X 服从超几何分布，其中 N8，M3，n3. 所以 P(X0)C 3 5C 0 3 C38 5 28，P(X1) C25C13 C38 15 28， P(X2)C 1 5C 2 3 C38 15 56，P(X3) C05C33 C38 1 56
9、. 故随机变量 X 的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P 5 28 15 28 15 56 1 56 所以 P(X2)P(X0)P(X1) 5 28 15 28 5 7. 类型三 超几何分布的综合应用 例3 在10件产品中， 有3件一等品， 4件二等品， 3件三等品 从这10件产品中任取3件 求： (1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的概率分布； (2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率 考点 超几何分布 题点 求超几何分布的概率分布 解 (1)由于从 10 件产品中任取 3 件的基本事件总数为 C310，从 10 件产品中任取 3 件，其中 恰有m(0m3且mN)
10、件一等品的基本事件个数为Cm 3C 3m 7 ， 那么从10件产品中任取3件， 其中恰有 m 件一等品的概率为 P(Xm)C m 3C 3m 7 C310 ，m0,1,2,3. 所以随机变量 X 的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P 7 24 21 40 7 40 1 120 (2)设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A，“恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品”为事件 A1，“恰好取出 2 件一等品”为事件 A2，“恰好取出 3 件一等品”为事 件 A3. 由于事件 A1，A2，A3两两互斥，且 AA1A2A3， 又因为 P(A1)C 1 3C 2 3 C310
11、3 40，P(A2)P(X2) 7 40， P(A3)P(X3) 1 120， 所以 P(A)P(A1)P(A2)P(A3) 3 40 7 40 1 120 31 120. 即取出的 3 件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为 31 120. 反思与感悟 识别超几何分布的三大标准 (1)总数为 N 件的物品只分为两类：M(MN)件甲类(或次品)，NM 件乙类(或正品) (2)从 N 件物品中行取 n(nN)件物品必须采用不放回抽样 (3)随机变量 X 表示从 N 件物品中任取 n(nN)件物品，其中所含甲类物品(或次品)的件数 跟踪训练 3 袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各
12、 2 个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球 上最大数字的 9 倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用 X 表示取出的 3 个小球上的最大 数字，求： (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量 X 的概率分布； (3)计算介于 20 分到 40 分之间的概率 考点 题点 解 (1)“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A，则 P(A)C 3 5C 1 2C 1 2C 1 2 C310 2 3. (2)由题意知，X 所有可能的取值为 2,3,4,5. P(X2)C 2 2C 1 2C 1 2C 2 2 C310 1 30， P(X3)C 2 4C 1
13、2C 1 4C 2 2 C310 2 15， P(X4)C 2 6C 1 2C 1 6C 2 2 C310 3 10， P(X5)C 2 8C 1 2C 1 8C 2 2 C310 8 15， 所以随机变量 X 的概率分布如下表： X 2 3 4 5 P 1 30 2 15 3 10 8 15 (3)“一次取球得分介于 20 分到 40 分之间”记为事件 C，则 P(C)P(X3)P(X4) 2 15 3 10 13 30. 1 盒中有4个白球， 5个红球， 从中任取3个球， 则取出1个白球和2个红球的概率是_ 考点 题点 答案 10 21 解析 设随机变量 X 为抽到白球的个数，X 服从超几
14、何分布，由公式，得 P(X1)C 1 4C 2 5 C39 410 84 10 21. 2由 12 名志愿者组成的医疗队中，有 5 名共产党员，现从中任选 6 人参加抗洪抢险，用随 机变量 X 表示这 6 人中共产党员的人数，则 P(X3)_. 答案 25 66 解析 由题意知，XH(6,5,12)，P(X3)C 3 5C 3 7 C612 25 66. 3有 10 位同学，其中男生 6 位，女生 4 位，从中任选 3 人参加数学竞赛用 X 表示女生人 数，则概率 P(X2)_. 考点 题点 答案 29 30 解析 P(X2)P(X1)P(X2)P(X0) C 1 4C 2 6 C310 C
15、2 4C 1 6 C310 C36 C310 29 30. 4从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加数学竞赛，则所选 3 人中，女生的人数不超过 1 人的概率为_ 考点 超几何分布 题点 利用超几何分布求概率 答案 4 5 解析 设所选女生数为随机变量 X，则 X 服从超几何分布，所以 P(X1)P(X0)P(X 1)C 0 2C 3 4 C36 C 1 2C 2 4 C36 4 5. 5从 1,2,3,4,5 中任取 3 个数，记最大的数为 ，则 P(4)_. 考点 题点 答案 3 10 解析 P(4)C 1 1C 2 3 C35 3 10. 1超几何分布的判断 判断随机变量是否服从超几何分布，可以从以下两个方面判断：一是超几何分布描述的是不 放回抽样问题；二是随机变量为抽到的某类个体的个数 2超几何分布的分布列的求法 (1)在超几何分布中，只要知道 N，M 和 n，就可以根据公式，求出 X 取不同 r 值时的概率 P(X r)，从而列出 X 的概率分布 (2)一旦掌握了 X 的概率分布，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该 试验
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