1、32 回归分析回归分析 学习目标 1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.能通过相关系数判断两个 变量间的线性相关程度.3.了解非线性回归分析 知识点一 线性回归模型 思考 某电脑公司有 5 名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表： 推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限 x/年 3 5 6 7 9 年推销金额 y/万元 2 3 3 4 5 请问如何表示年推销金额y与工作年限x之间的相关关系？y关于x的线性回归方程是什么？ 答案 画出散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示两变量 之间的相关关系 设所求的线性回归方程为y b xa ， 则b i1
2、5 xi x yi y i1 5 xi x 2 10 200.5， a y b x 0.4. 所以年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程为 y 0.5x0.4. 梳理 线性回归模型 (1)随机误差 具有线性相关关系的两个变量的取值 x，y，y 的值不能由 x 完全确定，可将 x，y 之间的关系 表示为 yabx，其中 abx 是确定性函数， 称为随机误差 (2)随机误差产生的主要原因 所用的确定性函数不恰当引起的误差； 忽略了某些因素的影响； 存在观测误差 (3)线性回归模型中 a，b 值的求法 yabx 称为线性回归模型 a，b 的估计值为a ，b ，则 b i1 n xiyin
3、x y i1 n x2in x 2 ， a y b x . (4)回归直线和线性回归方程 直线y a b x 称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，a 称为回归截距，b 称为回归系 数，y 称为回归值 知识点二 样本相关系数 r 具有相关关系的两个变量的线性回归方程为y b xa . 思考 1 变量y 与真实值 y 一样吗？ 答案 不一定 思考 2 变量y 与真实值 y 之间误差大了好还是小了好？ 答案 越小越好 梳理 样本相关系数 r 及其性质 (1)r i1 n xiyin x y i1 n x2in x 2 i1 n y2in y 2 . (2)r 具有以下性质： |r|1； |r|
4、越接近于 1，x，y 的线性相关程度越强； |r|越接近于 0，x，y 的线性相关程度越弱 知识点三 对相关系数 r 进行显著性检验的基本步骤 1提出统计假设 H0：变量 x，y 不具有线性相关关系； 2如果以 95%的把握作出判断，那么可以根据 10.950.05 与 n2 在教材附录 2 中查出 一个 r 的临界值 r0.05(其中 10.950.05 称为检验水平)； 3计算样本相关系数 r； 4作出统计推断：若|r|r0.05，则否定 H0，表明有 95%的把握认为 x 与 y 之间具有线性相关 关系；若|r|r0.05，则没有理由拒绝原来的假设 H0，即就目前数据而言，没有充分理由认
5、为 y 与 x 之间有线性相关关系 1求线性回归方程前可以不进行相关性检验( ) 2在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号( ) 3利用线性回归方程求出的值是准确值( ) 类型一 求线性回归方程 例 1 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y b xa ； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为 9 的同学的判断力 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 解 (1)散点图如图： (2) i
6、1 4 xiyi6283105126158， x 681012 4 9， y 2356 4 4， i1 4 x2i6282102122344， b 158494 344492 14 200.7， a y b x 40.792.3， 故线性回归方程为y 0.7x2.3. (3)由(2)中线性回归方程可知，当 x9 时，y 0.792.34，预测记忆力为 9 的同学的判 断力约为 4. 反思与感悟 (1)求线性回归方程的基本步骤 画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系 计算： x ， y ， i1 n x2i， i1 n xiyi. 代入公式求出y b xa 中参数b ，a 的值 写出
7、线性回归方程并对实际问题作出估计 (2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义 跟踪训练 1 某班 5 名学生的数学和物理成绩如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 学科编号 A B C D E 数学成绩(x) 88 76 73 66 63 物理成绩(y) 78 65 71 64 61 (1)画出散点图； (2)求物理成绩 y 对数学成绩 x 的线性回归方程； (3)一名学生的数学成绩是 96，试预测他的物理成绩 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 解 (1)散点图如图 (2) x 1 5(8876736663)73.2， y 1 5(7865716461)
8、67.8. i1 5 xiyi88787665737166646361 25 054. i1 5 x2i88276273266263227 174. 所以b i1 5 xiyi5 x y i1 5 x2i5 x 2 25 054573.267.8 27 174573.22 0.625. a y b x 67.80.62573.222.05. 所以 y 对 x 的线性回归方程是y 0.625x22.05. (3)当 x96 时，y 0.6259622.0582，即可以预测他的物理成绩约是 82. 类型二 线性回归分析 例 2 现随机抽取了某中学高一 10 名在校学生， 他们入学时的数学成绩(x)
9、与入学后第一次考 试的数学成绩(y)如下表： 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问：这 10 名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？ 考点 题点 解 x 1 10(12010899108)107.8， y 1 10(84645771)68. i1 10 x2i120210829921082116 584. i1 10 y2i84264257271247 384. i1 10 xiyi1208410864995710871 73 79
10、6. 所以相关系数为 r 73 79610107.868 116 58410107.8247 38410682 0.751. 由检验水平 0.05 及 n28， 在附录 2 中查得 r0.050.632. 因为 0.7510.632， 由此可看出这 10 名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系 反思与感悟 相关关系的两种判定方法及流程 (1)利用散点图判定的流程 (2)利用相关系数判定的流程 跟踪训练 2 一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机 械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为 抽样试验的结果： 转速 x(转/秒
11、) 16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数 y(件) 11 9 8 5 对变量 y 与 x 进行线性相关性检验 考点 题点 解 由题中数据可得 x 12.5， y 8.25， i1 4 xiyi438,4 x y 412.5， i1 4 x2i660， i1 4 y2i291， 所以 r i1 4 xiyi4 x y i1 4 x2i4 x 2 i1 4 y2i4 y 2 438412.5 660625291272.25 25.5 656.250.995. 由检验水平 0.05 及 n22，在教材附录表 2 中查得 r0.050.950，因为 rr0.05，所以 y 与 x 具有线性相
12、关关系 类型三 非线性回归分析 例 3 下表为收集到的一组数据： x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 (1)作出 x 与 y 的散点图，并猜测 x 与 y 之间的关系； (2)建立 x 与 y 的关系； (3)利用所得模型，估计当 x40 时 y 的值 考点 非线性回归分析 题点 非线性回归分析 解 (1)作出散点图如图，从散点图可以看出 x 与 y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以 发现样本点分布在某一条指数型函数曲线 y 2 1e c x c的周围，其中 c1，c2为待定的参数 (2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令 zl
13、n y，则有变换后的样本点应分布在直线 z bxa，aln c1，bc2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立 y 与 x 之间的非线性 回归方程，数据可以转化为 x 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 x 1 7(21233235)27.429， z 1 7(1.9462.3984.7455.784)3.612， i1 7 xizi733.741， i1 7 x2i5 414. 求得线性回归方程为 z 0.273x3.876， y e0.273x 3.876. (3)当 x40 时，y e0.27
14、3x 3.8761 146. 反思与感悟 非线性回归问题的处理方法 (1)指数型函数 yebx a 函数 yebx a 的图象 处理方法：两边取对数，得 ln yln ebx a，即 ln ybxa.令 zln y，把原始数据(x，y)转 化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出 a，b. (2)对数型函数 ybln xa 函数 ybln xa 的图象： 处理方法：设 xln x，原方程可化为 ybxa， 再根据线性回归模型的方法求出 a，b. (3)ybx2a 型 处理方法：设 xx2，原方程可化为 ybxa，再根据线性回归模型的方法求出 a，b. 跟踪训练 3 已知某种食品每千克的生产
15、成本 y(元)与生产该食品的重量 x(千克)有关， 经生产 统计得到以下数据： x 1 2 3 5 10 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 x 20 30 50 100 200 y 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 通过以上数据， 判断该食品的生产成本 y(元)与生产的重量 x(千克)的倒数1 x之间是否具有线性 相关关系若有，求出 y 关于1 x的回归方程，并估计一下生产该食品 500 千克时每千克的生产 成本约是多少(精确到 0.01) 考点 非线性回归分析 题点 非线性回归分析 解 设 u1 x，通过已知数据得到 y 与 u 的相应数据为 u1 x
16、1 0.5 0.33 0.2 0.1 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 u1 x 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005 y 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 根据上述数据可求得相关系数 r i1 10 ui yi10 u y i1 10 u2i10u 2 i1 10 y2i10y 2 0.999 8， 于是有很大的把握认为 y 与1 x具有线性相关关系 而b i1 10 ui yi10 u y i1 10 u2i10 u 2 8.973， a y b u 1.126， 于是 y 与1 x的回归方程为y 8.973 x 1.126. 当 x50
17、0 时，y 8.973 500 1.1261.14. 所以估计生产该食品 500 千克时每千克的生产成本约是 1.14 元. 1设有一个线性回归方程y 21.5x，当变量 x 增加 1 个单位时，y 平均_个单位 考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 减少 1.5 解析 由回归方程中两个变量之间的关系可以得到 2如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是_(填序号) 考点 回归分析 题点 散点图的应用 答案 解析 由图易知两个图中样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模型 3某厂节能降耗技术改造后，在生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨
18、) 的几组对应数据如表： x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 根据上表提供的数据， 求出y关于x的线性回归方程为y 0.7x0.35， 则上表中的t_. 考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 3 4下表是 x 和 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的回归直线必过点_. x 1 2 3 4 y 1 3 5 7 考点 线性回归方程 题点 样本点中心的应用 答案 (2.5,4) 解析 回归直线必过样本点中心( x ， y )，即(2.5,4) 5已知 x，y 之间的一组数据如下表： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 (1)分别计算： x ， y ，x1y1x2y2
19、x3y3x4y4，x21x22x23x24； (2)已知变量 x 与 y 线性相关，求出回归方程 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 解 (1) x 0123 4 1.5， y 1357 4 4， x1y1x2y2x3y3x4y40113253734， x21x22x23x240212223214. (2)b 3441.54 1441.52 2， a y b x 421.51， 故y 2x1. 回归分析的步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是自变量，哪个变量是因变量； (2)画出确定好的因变量关于自变量的散点图， 观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)； (3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y b xa )； (4)按一定规则估计回归方程中的参数.
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