1、2 超几何分布超几何分布 学习目标 1.理解超几何分布的概念.2.掌握超几何分布的公式 知识点 超几何分布 已知在 10 名学生中，有 4 名男生，现任选 3 人，用 X 表示选到的男生的人数 思考 1 X 可能取哪些值？ 答案 0,1,2,3. 思考 2 “X2”表示的试验结果是什么？P(X2)的值呢？ 答案 任选 3 人中恰有 2 人为男生，P(X2)C 2 4C 1 6 C310 . 思考 3 如何求 P(Xk)(k0,1,2,3)? 答案 P(Xk)C k 4C 3k 6 C310 . 梳理 超几何分步 一般地，设有 N 件产品，其中有 M(MN)件次品从中任取 n(nN)件产品，用
2、X 表示取 出的 n 件产品中次品的件数，那么 P(Xk)C k MC nk NM CnN (其中 k 为非负整数) 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布 特别提醒：(1)超几何分布，实质上就是有总数为 N 的两类物品，其中一类有 M(MN)件， 从所有物品中任取 n 件，则这 n 件中所含这类物品的件数 X 是一个离散型随机变量，它取 值为 k 时的概率为 P(Xk)C k MC nk NM CnN (kl，l 是 n 和 M 中较小的一个) (2)在超几何分布中，只要知道 N，M 和 n，就可以根据超几何分布的公式求出 X 取不同值时 的概率
3、P，从而写出 X 的分布列 1超几何分布就是一种概率分布模型( ) 2一个袋子里装有 4 个白球，5 个黑球和 6 个黄球，从中任取 4 个球，则所拿黑球个数 X 就服从超几何分布( ) 3超几何分布中，只要知道 M，N，n，就可以利用公式求出 X 取不同 k 的概率 P(Xk)， 从而求出 X 的分布列( ) 类型一 超几何分布 例 1 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有 6 名男生，4 名女生，从中选出 4 人参加 数学竞赛考试，用 X 表示其中的男生人数求 X 的分布列 考点 超几何分布 题点 求超几何分布的分布列 解 依题意随机变量 X 服从超几何分布， 所以 P(Xk)C k 6
4、C 4k 4 C410 (k0,1,2,3,4) 所以 P(X0)C 0 6C 4 4 C410 1 210， P(X1)C 1 6C 3 4 C410 4 35， P(X2)C 2 6C 2 4 C410 3 7， P(X3)C 3 6C 1 4 C410 8 21， P(X4)C 4 6C 0 4 C410 1 14， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 210 4 35 3 7 8 21 1 14 引申探究 如果把本例中的条件“从中选出4人参加数学竞赛考试”改为“从中选出5人参加数学竞赛 考试”，如何求解？ 解 由题意得：P(Xk)C k 6C 5k 4 C510 (k
5、1,2,3,4,5)， 所以 P(X1)C 1 6C 4 4 C510 1 42， P(X2)C 2 6C 3 4 C510 5 21， P(X3)C 3 6C 2 4 C510 10 21， P(X4)C 4 6C 1 4 C510 5 21， P(X5)C 5 6C 0 4 C510 1 42. 故 X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 反思与感悟 (1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几 何分布 (2)在超几何分布公式中，P(Xk)C k MC nk NM CnN ，k0,1,2，m，其中 mminM
6、，n，且 0nN,0kn,0kM,0nkNM. (3)如果随机变量 X 服从超几何分布，只需代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变 量 X 的所有取值 (4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示 跟踪训练 1 10 件工艺品中，有 3 件二等品，7 件一等品，现从中抽取 5 件，求抽得二等品 件数 X 的分布列 考点 超几何分布 题点 求超几何分布的分布列 解 X 的可能取值为 0,1,2,3. 由题意知 X 服从超几何分布， 所以 P(X0)C 0 3C 5 7 C510 21 252 1 12， P(X1)C 1 3C 4 7 C510 105 252 5 12， P(X2
7、)C 2 3C 3 7 C510 105 252 5 12， P(X3)C 3 3C 2 7 C510 21 252 1 12. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 12 5 12 5 12 1 12 类型二 转换随机变量以服从超几何分布 例 2 交 5 元钱， 可以参加一次摸奖， 一袋中有同样大小的球 10 个， 其中 8 个标有 1 元钱， 2 个标有 5 元钱，摸奖者只能从中任取 2 个球，他所得奖励是所抽 2 球的钱数之和，求抽奖 人所得钱数的分布列 考点 超几何分布 题点 求超几何分布的分布列 解 设抽奖人所得钱数为随机变量 ，则 2,6,10. P(2) C28 C2
8、10 28 45， P(6)C 1 8C 1 2 C210 16 45， P(10) C22 C210 1 45. 故 的分布列为 2 6 10 P 28 45 16 45 1 45 反思与感悟 超几何分布的求解步骤 (1)辨模型： 结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成， 如“男生、 女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分具有该特征的概率模型为 超几何分布模型 (2)算概率：可以直接借助公式 P(Xk)C k MC nk NM CnN 求解，也可以利用排列、组合及概率的知 识求解，需注意借助公式求解时应理解参数 M，N，n，k 的含义 (3)列分布表：把
9、求得的概率值通过表格表示出来 跟踪训练 2 在一次英语口语考试中，有备选的 10 道试题，已知某考生能答对其中的 8 道 试题，规定每次考试都从备选题中任选 3 道试题进行测试，至少答对 2 道试题才算及格，求 该考生答对试题数 X 的分布列，并求该考生及格的概率 考点 超几何分布 题点 求超几何分布的分布列 解 X1,2,3，P(X1)C 1 8C 2 2 C310 1 15； P(X2)C 2 8C 1 2 C310 7 15； P(X3)C 3 8C 0 2 C310 7 15. 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 15 7 15 7 15 该考生及格的概率为 P(X2)P(X
10、2)P(X3) 7 15 7 15 14 15. 类型三 超几何分布的应用 例 3 50 张彩票中只有 2 张有奖， 今从中任取 n 张， 为了使这 n 张彩票中至少有一张中奖的 概率大于 0.5，则 n 至少为多少？ 考点 超几何分布 题点 超几何分布的应用 解 设随机变量 X 表示“抽出中奖彩票的张数”，则 X 服从参数为 N50，M2，n 的超 几何分布， 可得至少有一张中奖的概率为P(X1)C 1 2C n1 48 Cn50 C 2 2C n2 48 Cn50 0.5， 又nN， 且n50， 解得 n15. 所以 n 至少为 15. 反思与感悟 利用超几何分布的知识可以解决与概率有关的
11、问题， 其关键是将实际问题转化 为超几何分布的模型 在利用超几何分布的模型时， 将实际问题与超几何分布的模型进行比 较，认清实质，把问题涉及的对象转化为“产品”“次品”进行分析 跟踪训练 3 生产方提供一批 50 箱的产品，其中有 2 箱不合格采购方接收该批产品的条 件是：从该批产品中任取 5 箱产品进行检测，若至多有 1 箱不合格产品，便接收该批产品， 则该批产品被接收的概率是多少？ 考点 超几何分布 题点 超几何分布的应用 解 从 50 箱产品中随机抽取 5 箱，用 X 表示“5 箱中不合格产品的箱数”，则 X 服从参数 为 N50，M2，n5 的超几何分布这批产品被接收的条件是 5 箱全
12、合格或只有 1 箱不 合格，所以被接收的概率为 P(X1)C 0 2C 5 48 C550 C 1 2C 4 48 C550 243 245. 所以该批产品被接收的概率为243 245. 1下列随机事件中的随机变量 X 服从超几何分布的是( ) A将一枚硬币连抛 3 次，正面向上的次数为 X B从 7 名男生、3 名女生共 10 名学生干部中选出 5 名优秀学生干部，选出女生的人数为 X C某射手的命中概率为 0.8，现对目标射击 1 次，记命中目标的次数为 X D盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，X 是首次摸出黑球时的已 摸次数 考点 超几何分布 题点 超几何
13、分布的理解 答案 B 2在 15 个村庄中，有 7 个村庄交通不方便，若用随机变量 X 表示任选 10 个村庄中交通不 方便的村庄的个数，则 X 服从超几何分布，其参数为( ) AN15，M7，n10 BN15，M10，n7 CN22，M10，n7 DN22，M7，n10 考点 超几何分布 题点 超几何分布的理解 答案 A 解析 根据超几何分布的概念可知，A 正确 3一批产品共 10 件，次品率为 20%，从中任取 2 件，则正好取到 1 件次品的概率是( ) A.28 45 B.16 45 C.11 45 D.17 45 考点 超几何分布 题点 利用超几何分布求概率 答案 B 解析 由题意
14、10 件产品中有 2 件次品，故所求概率为 PC 1 2C 1 8 C210 16 45. 4从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加数学竞赛，则所选 3 人中，女生的人数不超过 1 人的概率为_ 考点 超几何分布 题点 利用超几何分布求概率 答案 4 5 解析 设所选女生数为随机变量 X，则 X 服从超几何分布，所以 P(X1)P(X0)P(X 1)C 0 2C 3 4 C36 C 1 2C 2 4 C36 4 5. 5从某省立医院的 3 名医生、2 名护士中随机选派 2 人参加抗震救灾，设其中医生的人数 为 X，写出随机变量 X 的分布列 考点 超几何分布 题点 求超几何分布的分布列 解 由题意知，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2. P(X0)C 0 3C 2 2 C25 1 10， P(X1)C 1 3C 1 2 C25 6 10 3 5， P(X2)C 2 3C 0 2 C25 3 10， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 1超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品由较明显 的两部分组成 2在超几何分布中，只要知道 N，M 和 n，就可以根据公式求出随机变量 X 取 k 时的概率 P(Xk)，从而列出随机变量 X 的分布列
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