1、第第 2 课时课时 两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用 学习目标 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.2.会正确应用这两 个计数原理计数 知识点一 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种类 不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 每类方案中的每一种方法 都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件 事(每步中的一种方法不能 独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 知识点二 两个计数原理的应用 解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用使用时要做到目的明确，层次 分
2、明，先后有序，还需特别注意以下两点： (1)合理分类，准确分步：处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分 类”还是“分步”， 要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准 分类时需要满足两个条件： 类与类之间要互斥(保证不重复)；总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的 分类标准分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不 干扰，并确保连续性 (2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元 素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想. 类型一 组数问题 例 1 用 0,1,2,3,
3、4 五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 考点 两个计数原理的应用 题点 两个原理在排数中的应用 解 (1)三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可以重复，每个位置都有 5 种排法，共 有 55553125(种) (2)三位数的首位不能为 0， 但可以有重复数字， 首先考虑首位的排法， 除 0 外共有 4 种方法， 第二、三位可以排 0，因此，共有 455100(种) (3)被 2 整除的数即偶数，末位数字可取 0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是 0， 则有 4312(种)排
4、法； 一类是末位数字不是 0， 则末位有 2 种排法， 即 2 或 4， 再排首位， 因 0 不能在首位，所以有 3 种排法，十位有 3 种排法，因此有 23318(种)排法因而 有 121830(种)排法即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复数字的三位数 引申探究 由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从 1,3 中任取一个，有 2 种方法；第二步定首位，把 1,2,3,4 中除去用过的一个剩下的 3 个中任取 一个，有 3 种方法；第三步，第四步把剩下的包括 0 在内的 3 个数字先排百位有 3
5、种方法， 再排十位有 2 种方法由分步乘法计数原理知共有 233236(个) 反思与感悟 对于组数问题，应掌握以下原则： (1)明确特殊位置或特殊数字， 是我们采用“分类”还是“分步”的关键 一般按特殊位置(末 位或首位)分类， 分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成； 如果正面分类较多， 可采用间接法求解 (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位 跟踪训练 1 从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中 奇数的个数为( ) A24 B18 C12 D6 考点 两个计数原理的应用 题点 两个原理在排数中的应用 答案
6、B 解析 由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况；奇偶奇，偶奇奇如果 是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3 种情况)，之后十位(2 种情况)，最后百位(2 种情况)，共 12 种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3 种情况)，十位(2 种情况)，百位(不能 是 0,1 种情况)，共 6 种，因此总共有 12618(种)情况故选 B. 类型二 选(抽)取与分配问题 例 2 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级 去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( ) A16 种 B18 种 C37 种 D48 种 考点 抽取(分配)问题 题点
7、 抽取(分配)问题 答案 C 解析 方法一 (直接法) 以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方 案只有 1 种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案 共有 339(种)；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配 方案共有 33327(种) 综上所述，不同的分配方案有 192737(种) 方法二 (间接法) 先计算 3 个班级自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即 444 33337(种)方案 反思与感悟 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、
8、框图法或者图表法 (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计 数原理 一般地， 若抽取是有顺序的就按分步进行； 若是按对象特征抽取的， 则按分类进行 间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即 可 跟踪训练 2 3 个不同的小球放入 5 个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种 方法？ 考点 抽取(分配)问题 题点 抽取(分配)问题 解 (以小球为研究对象)分三步来完成： 第一步：放第一个小球有 5 种选择； 第二步：放第二个小球有 4 种选择； 第三步：放第三个小球有 3 种选择， 由分步乘法计数原理得，总方
9、法数 N54360. 类型三 涂色与种植问题 例 3 (1)将 3 种作物全部种植在如图所示的 5 块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试 验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有_种 考点 种植问题 题点 种植问题 答案 42 解析 分别用 a，b，c 代表 3 种作物，先安排第一块田，有 3 种方法，不妨设放入 a，再安 排第二块田，有两种方法 b 或 c，不妨设放入 b，第三块也有 2 种方法 a 或 c. 若第三块田放 c： a b c 第四、五块田分别有 2 种方法，共有 224(种)方法 若第三块田放 a： a b a 第四块有 b 或 c 两种方法， ()若第四块放 c： a
10、 b a c 第五块有 2 种方法； ()若第四块放 b： a b a b 第五块只能种作物 c，共 1 种方法 综上，共有 32(2221)42(种)方法 (2)将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的 4 个小方格内，每格涂一种 颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 考点 涂色问题 题点 涂色问题 解 第 1 个小方格可以从 5 种颜色中任取一种颜色涂上，有 5 种不同的涂法 当第 2 个、第 3 个小方格涂不同颜色时，有 4312(种)不同的涂法，第 4 个小方格有 3 种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有 5123180(种)不同的
11、涂法 当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时，有 4 种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第 4 个小方格也有 4 种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有 54480(种)不同的涂法 由分类加法计数原理可得共有 18080260(种)不同的涂法 引申探究 本例(2)中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？ 解 依题意，可分两类情况：不同色；同色 第一类： 不同色， 则所涂的颜色各不相同， 我们可将这件事情分成 4 步来完成 第一步涂，从 5 种颜色中任选一种，有 5 种涂法； 第二步涂，从余下的 4 种颜色中任选一种，有 4 种涂法； 第三步涂与第四步涂时，分别有 3
12、种涂法和 2 种涂法 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法为 5432120(种) 第二类：同色，则不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成 第一步涂，有 5 种涂法；第二步涂，有 4 种涂法；第三步涂，有 3 种涂法 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有 54360(种) 综上可知，所求的涂色方法共有 12060180(种) 反思与感悟 解决涂色(种植)问题的一般思路 涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法： (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析 (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析 (3)将空间问题平面化
13、，转化为平面区域的涂色问题 种植问题按种植的顺序分步进行， 用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类， 用分类加法计数原理计数 跟踪训练 3 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个 端点异色，如果只有 5 种颜色可供使用，则不同染色方法的总数为_ 考点 涂色问题 题点 涂色问题 答案 420 解析 按照 SABCD 的顺序进行染色，按照 A，C 是否同色分类： 第一类，A，C 同色，则有 54313180(种)不同的染色方法 第二类，A，C 不同色，则有 54322240(种)不同的染色方法 根据分类加法计数原理，共有 180240420(种)不同的染色
14、方法. 1有 A，B 两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种 车床，丙只会操作 A 种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的 选派方法有( ) A6 种 B5 种 C4 种 D3 种 考点 分类加法计数原理 题点 分类加法计数原理的应用 答案 C 解析 不同的选派情况可分为 3 类：若选甲、乙，有 2 种方法；若选甲、丙，有 1 种方法； 若选乙、丙，有 1 种方法根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有 2114(种) 2用 0,1，9 这 10 个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A243 B252 C261 D648 考点
15、两个计数原理的应用 题点 两个原理在排数中的应用 答案 B 解析 0,1,2， ， 9共能组成91010900(个)三位数， 其中无重复数字的三位数有998 648(个)，所以有重复数字的三位数有 900648252(个) 3某班有 3 名学生准备参加校运会的 100 米、200 米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每 项限报 1 人，则这 3 名学生的参赛的不同方法有( ) A24 种 B48 种 C64 种 D81 种 考点 分步乘法计数原理 题点 分步乘法计数原理的应用 答案 A 解析 由于每班每项限报 1 人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分 步乘法计数原理，共有 43
16、224(种)不同的参赛方法 4火车上有 10 名乘客，沿途有 5 个车站，则乘客下车的可能方式有( ) A510种 B105种 C50 种 D500 种 考点 分步乘法计数原理 题点 分步乘法计数原理的应用 答案 A 解析 分 10 步 第 1 步：考虑第 1 名乘客下车的所有可能有 5 种； 第 2 步：考虑第 2 名乘客下车的所有可能有 5 种； ； 第 10 步：考虑第 10 名乘客下车的所有可能有 5 种 故共有乘客下车的可能方式有 105 5 5 55 个 510(种) 5如图，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A，B，C，D 中，要求相邻的矩形涂色不同， 则不同的涂法有_种. A
17、 B C D 考点 涂色问题 题点 涂色问题 答案 108 解析 A 有 4 种涂法， B 有 3 种涂法， C 有 3 种涂法， D 有 3 种涂法， 共有 4333108(种) 涂法 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答后面 将要学习的排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础 2应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数 原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤 3一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏 4若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些.
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