1、4 二项分布二项分布 学习目标 1.理解 n 次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的 模型及二项分布解决一些简单的实际问题 知识点 二项分布 在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮 3 次，每次投篮的命中率都是 0.8，用 X 表示 3 次投篮投中的次数 思考 1 若把每一次投篮看成做了一次试验，则每次试验有几个可能的结果？ 答案 有 2 种结果：投中(成功)与未投中(失败) 思考 2 X2 表示何意义？求 P(X2) 答案 X2 表示 3 次投篮中有 2 次投中， 有 C23种情况， 每种情况发生的可能性为 0.820.2， 所以 P(X2)C230.820.
2、2. 梳理 二项分布 进行 n 次试验，如果满足以下条件： (1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败” (2)每次试验“成功”的概率均为 p，“失败”的概率均为 1p. (3)各次试验是相互独立的 用 X 表示这 n 次试验中成功的次数，则 P(Xk)Cknpk(1p)n k(k0,1,2，n) 若一个随机变量 X 的分布列如上所述，称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，简记为 XB(n， p) 1在连续抛掷三次骰子的试验中，每一次试验可能出现的结果有 6 种( ) 2在连续抛掷三次硬币的试验中，每一次试验可能出现的结果有 2 种( ) 3若 XB(n，p)，则 X
3、 的取值有 n1 个( ) 类型一 利用二项分布求概率 例 1 在人寿保险事业中， 很重视某一年龄段的投保人的死亡率 假如每个投保人能活到 70 岁的概率为 0.6，试问 3 个投保人中： (1)全部活到 70 岁的概率； (2)有 2 个活到 70 岁的概率； (3)有 1 个活到 70 岁的概率 考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 解 设 3 个投保人中活到 70 岁的人数为 X， 则 XB(3,0.6)， 故 P(Xk)Ck30.6k (10.6)3 k(k 0,1，2,3) (1)P(X3)C33 0.63 (10.6)00.216； 即全部活到 70 岁的概率为 0
4、.216. (2)P(X2)C23 0.62 (10.6)0.432. 即有 2 个活到 70 岁的概率为 0.432. (3)P(X1)C13 0.6 (10.6)20.288. 即有 1 个活到 70 岁的概率为 0.288. 反思与感悟 要判断 n 次独立重复试验中 A 发生的次数 X 是否服从二项分布，关键是看试 验是否为独立重复试验， 独立重复试验的特点为： (1)每次试验是在相同的条件下进行的 (2) 每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的(3)基本事件的概率可 知，且每次试验保持不变(4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生 跟踪训练 1 甲、乙两人各进
5、行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为1 2，乙每次击中目标的 概率为2 3，求： (1)甲恰好击中目标 2 次的概率； (2)乙至少击中目标 2 次的概率； (3)乙恰好比甲多击中目标 2 次的概率 考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 解 (1)甲恰好击中目标 2 次的概率为 C23 1 2 33 8. (2)乙至少击中目标 2 次的概率为 C23 2 3 2 1 3 C33 2 3 320 27. (3)设乙恰好比甲多击中目标 2 次为事件 A， 乙恰好击中目标 2 次且甲恰好击中目标 0 次为事 件 B1，乙恰好击中目标 3 次且甲恰好击中目标 1 次为事件 B2，则
6、AB1B2，B1，B2为互 斥事件 P(A)P(B1)P(B2) C23 2 3 2 1 3C 0 3 1 2 3C3 3 2 3 3 C1 3 1 2 3 1 18 1 9 1 6. 类型二 求二项分布的分布列 例 2 现有 10 道题，其中 6 道甲类题、4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答 (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率； (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题、1 道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率是3 5， 答对每道乙类题的概率是4 5，且各题答对与否相互独立，用 X 表示张同学答对题的个数，求 X 的分布列 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二项分布的分
7、布列 解 (1)设事件 A：“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”，则有 A ：“张同学所取的 3 道题都是甲类题” 因为 P( A ) C36 C310 1 6，所以 P(A)1P( A ) 5 6. (2)X 所有可能的取值为 0,1,2,3. P(X0)C02 3 5 0 2 5 21 5 4 125， P(X1)C12 3 5 1 2 5 11 5C 0 2 3 5 0 2 5 24 5 28 125， P(X2)C22 3 5 2 2 5 01 5C 1 2 3 5 1 2 5 14 5 57 125， P(X3)C22 3 5 2 2 5 0 4 5 36 125. 所以
8、X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 4 125 28 125 57 125 36 125 反思与感悟 求二项分布的分布列的一般步骤 (1)判断所述问题是否是相互独立试验 (2)建立二项分布模型 (3)求出相应概率 (4)写出分布列 跟踪训练 2 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B，系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 1 10和 p. (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49 50，求 p 的值； (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ，求 的分布列 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二项分布的分布
9、列 解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，那么 1P( C )1 1 10p 49 50，解得 p 1 5. (2)由题意， 的可能取值为 0,1,2,3. P(0)C03 1 10 3 1 1 10 0 1 1 000， P(1)C13 1 10 2 1 1 10 27 1 000， P(2)C23 1 10 1 1 10 2243 1 000， P(3)C33 1 10 0 1 1 10 3729 1 000. 所以随机变量 的分布列为 0 1 2 3 P 1 1 000 27 1 000 243 1 000 729 1 000 类型三 二项分布的综合应用 例 3 一名学生每
10、天骑自行车上学，从家到学校的途中有 5 个交通岗，假设他在各交通岗遇 到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 3. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数 的分布列； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数 的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用 解 (1)由 B 5，1 3 ，则 P(k)Ck5 1 3 k 2 3 5k，k0,1,2,3,4,5. 即 P(0)C05 1 3 0 2 3 532 243； P(1)C151 3 2 3 480 243； P(2)C25 1 3 2 2 3 380 2
11、43； P(3)C35 1 3 3 2 3 240 243； P(4)C45 1 3 42 3 10 243； P(5)C55 1 3 5 1 243. 故 的分布列为 0 1 2 3 4 5 P 32 243 80 243 80 243 40 243 10 243 1 243 (2) 的分布列为 P(k)P(前 k 个是绿灯，第 k1 个是红灯) 2 3 k 1 3，k0,1,2,3,4， 即 P(0) 2 3 01 3 1 3； P(1)2 3 1 3 2 9； P(2) 2 3 21 3 4 27； P(3) 2 3 31 3 8 81； P(4) 2 3 41 3 16 243； P(
12、5)P(5 个均为绿灯) 2 3 532 243. 故 的分布列为 0 1 2 3 4 5 P 1 3 2 9 4 27 8 81 16 243 32 243 (3)所求概率为 P(1)1P(0) 1 2 3 5211 243. 反思与感悟 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典 概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是 A B 还是 AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式； 最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求 解 跟踪训练 3 一个口袋内有 n
13、(n3)个大小相同的球，其中 3 个红球和(n3)个白球，已知从 口袋中随机取出 1 个球是红球的概率为 p.若 6pN，有放回地从口袋中连续 4 次取球(每次 只取 1 个球)，在 4 次取球中恰好 2 次取到红球的概率大于 8 27，求 p 与 n 的值 考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用 解 由题设知，C24p2(1p)2 8 27. p(1p)0，不等式化为 p(1p)2 9， 解得1 3p 2 3，故 26p4. 又6pN，6p3，即 p1 2.由 3 n 1 2，得 n6. 1下面随机变量 X 的分布列不属于二项分布的是( ) A某事业单位有 500 名在职人员，
14、人事部门每年要对在职人员进行年度考核，2017 年度考 核中每人考核优秀的概率是 0.15.设该单位在这一年里，个人年度考核是否优秀是相互独立 的，考核优秀的人数为 X B位于某汽车站附近的一个加油站，在每次汽车出站后，该汽车到这个加油站加油的概率 是 0.7， 节日期间每天有 50 辆汽车开出该站， 假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的， 其加油的汽车数为 X C某射手射击击中目标的概率为 p，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所 需的射击次数为 X D据某电视台报道，上周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒，网站下载数据 n 次中被感染这种病毒的次数 X 考点 二项分布
15、的概念 题点 判别二项分布 答案 C 解析 对 A，每人考核优秀的概率都是 0.15，每人被考核优秀是相互独立的，故 X 服从二 项分布；对 B，每辆汽车到这个加油站加油的概率是 0.7，每辆汽车到这个加油站加油是相 互独立的，故 X 服从二项分布；对 C，若第 k 次击中目标，则 Xk，也就是说明 k1 次都 没有击中，显然，击中与击不中的概率是不一样的，故 X 不服从二项分布；对 D，每次下 载都被病毒感染，即概率为 1，显然 X 服从二项分布 2某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率为4 5，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 ( ) A. 12 125 B. 48 125
16、C. 16 125 D. 96 125 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 答案 B 解析 播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率为 C23 4 5 2 14 5 48 125. 3 在 4 次独立重复试验中， 随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的概率， 则事件 A 在 1 次试验中发生的概率 p 的取值范围是( ) A0.4,1 B(0,0.4 C(0,0.6 D0.6,1 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案 A 解析 由题意知 C14p(1p)3C24p2(1p)2， 解得 p0.4， 又 p
17、1，故 0.4p1，故选 A. 4设 XB(2，p)，若 P(X1)5 9，则 p_. 考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用 答案 1 3 解析 因为 XB(2，p)， 所以 P(Xk)Ck2pk(1p)2 k，k0,1,2. 所以 P(X1)1P(X1)1P(X0) 1C02p0(1p)21(1p)2. 所以 1(1p)25 9， 结合 0p1，解得 p1 3. 5甲队有 3 人参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分 假 设甲队中每人答对的概率均为2 3，且各人答对正确与否相互之间没有影响用 表示甲队的 总得分，求随机变量 的分布列 考点 二项分布的
18、计算及应用 题点 求二项分布的分布列 解 由题意知， 的可能取值为 0,1,2,3， 且 P(0)C03 12 3 31 27， P(1)C132 3 12 3 22 9， P(2)C23 2 3 2 12 3 4 9， P(3)C33 2 3 38 27， 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 1 各次试验互不影响， 相互独立； 每次试验只有两个可能的结果， 且这两个结果是对立的； 两个结果在每次试验中发生的概率不变，是判断随机变量服从二项分布的三个条件 2二项式(1p)pn的展开式中，第 r1 项 Tr1Crn(1p)n rpr，可见 P(Xr)Cr np r(1 p)n r 就是二项式(1p)pn的展开式中的第 r1 项.
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