1、第第 2 课时课时 组合的应用组合的应用 学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问 题 知识点 组合应用题的解法 1无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答 2有限制条件的组合应用题的解法 常用解法有：直接法、间接法可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选 取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类. 类型一 有限制条件的组合问题 例 1 课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各有一名队长，现 从中选 5 人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少
2、有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 解 (1)C513C511825(种) (2)至多有 2 名女生当选含有三类： 有 2 名女生；只有 1 名女生；没有女生， 所以共有 C25C38C15C48C58966(种)选法 (3)分两类： 第一类女队长当选，有 C412495(种)选法， 第二类女队长没当选，有 C14C37C24C27C34C17C44295(种)选法， 所以共有 495295790(种)选法 反思与感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步
3、法，即“含”的先取出，“不含”的可把 所指元素去掉再取，分步计数； 二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要 不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏 跟踪训练 1 某食堂每天中午准备 4 种不同的荤菜，7 种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方 法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋 炒饭则每天不同午餐的搭配方法共有( ) A210 种 B420 种 C56 种 D22 种 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 答案 A 解析 由分类加法计数原理知， 两类配餐的搭配方法之和即为所求， 所以每天
4、不同午餐的搭 配方法共有 C24C27C14C27210(种) 类型二 与几何有关的组合应用题 例 2 如图，在以 AB 为直径的半圆周上，有异于 A，B 的六个点 C1，C2，C6，线段 AB 上有异于 A，B 的四个点 D1，D2，D3，D4. (1)以这 10 个点中的 3 个点为顶点可作多少个三角形？其中含 C1点的有多少个？ (2)以图中的 12 个点(包括 A，B)中的 4 个点为顶点，可作出多少个四边形？ 考点 组合的应用 题点 与几何有关的组合问题 解 (1)方法一 可作出三角形 C36C16 C24C26 C14116(个) 方法二 可作出三角形 C310C34116(个)，
5、 其中以 C1为顶点的三角形有 C25C15 C14C2436(个) (2)可作出四边形 C46C36 C16C26 C26360(个) 反思与感悟 (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形， 防止多算常用直接法，也可采用间接法 (2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决 跟踪训练 2 空间中有 10 个点，其中有 5 个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四 点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( ) A205 B110 C204 D200 考点 组合的应用 题点 与几何有关的组合问题 答案 A 解析 方法一 可以按从共面
6、的 5 个点中取 0 个、1 个、2 个、3 个进行分类，则得到所有 的取法总数为 C05C45C15C35C25C25C35C15205. 方法二 从 10 个点中任取 4 个点的方法数中去掉 4 个点全部取自共面的 5 个点的情况，得 到所有构成四面体的个数为 C410C45205. 类型三 分组、分配问题 命题角度1 不同元素分组、分配问题 例 3 6 本不同的书，分为 3 组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组 2 本(平均分组)； (2)一组 1 本，一组 2 本，一组 3 本(不平均分组)； (3)一组 4 本，另外两组各 1 本(局部平均分组) 考点 排列组合综合
7、问题 题点 分组分配问题 解 (1)每组 2 本，均分为 3 组的方法数为C 2 6C 2 4C 2 2 A33 1561 6 15. (2)一组 1 本，一组 2 本，一组 3 本的分组种数为 C36C23C1120360. (3)一组 4 本，另外两组各 1 本的分组种数为C 4 6C 1 2C 1 1 A22 152 2 15. 反思与感悟 一般地，n 个不同的元素分成 p 组，各组内元素数目分别为 m1，m2，mp， 其中 k 组元素数目相等，那么分组方法数是 312 112 C CCC A p p m mmm nnmnmmm k k . 跟踪训练 3 6 本不同的书，分给甲、乙、丙
8、3 人，在下列条件下各有多少种不同的分配方 法？ (1)甲 2 本，乙 2 本，丙 2 本； (2)甲 1 本，乙 2 本，丙 3 本； (3)甲 4 本，乙、丙每人 1 本； (4)每人 2 本； (5)一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； (6)一人 4 本，其余两人每人 1 本 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得： (1)共有 C26C24C2290(种)不同的分配方法； (2)共有 C16C25C3360(种)不同的分配方法； (3)共有 C46C12C1130(种)不同的分配方法 (
9、4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题分配给 3 人，同一本书给不同 的人是不同的分法，属于排列问题实际上可看作两个步骤：先分为 3 组，再把这 3 组分给 甲、 乙、 丙 3 人的全排列数 A33即可 因此， (4)共有 C26C24C22 A33A3390(种)不同的分配方法； (5)共有 C16C25C33A33360(种)不同的分配方法； (6)共有 C46C12C11 A22A3390(种)不同的分配方法 命题角度2 相同元素分配问题 例 4 将 6 个相同的小球放入 4 个编号为 1,2,3,4 的盒子， 求下列方法的种数 (1)每个盒子都不空； (2)恰有一
10、个空盒子； (3)恰有两个空盒子 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 解 (1)先把 6 个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间 5 个空隙中任选 3 个空隙各插一块隔板，有 C3510(种) (2)恰有一个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中 任选 2 个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有 C25种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意 一块并放形成空盒，如|0|000|00|，有 C14种插法，故共有 C25 C1440(种) (3)恰有两个空盒子，插板分两步进行 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中任
11、选 1 个空隙各插一块隔板，有 C15种插 法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒 这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子， 如|00|0000|，有 C23种插法 将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000|，有 C13种插法 故共有 C15 (C23C13)30(种) 反思与感悟 相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙 中插入了若干隔板， 相邻两块隔板形成一个“盒” 每一种插入隔板的方法对应着小球放入 盒子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题 (2)将 n 个相同的元
12、素分给 m 个不同的对象(nm)， 有 Cm 1 n1种方法 可描述为 n1 个空中插 入 m1 块板 跟踪训练 4 某同学有同样的画册 2 本， 同样的集邮册 3 本， 从中取出 4 本赠送给 4 位朋友， 每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有( ) A4 种 B10 种 C18 种 D20 种 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B 解析 由于只剩一本书， 且这些画册、 集邮册分别相同， 可以从剩余的书的类别进行分析 又 由于排列、组合针对的是不同的元素，应从 4 位朋友中进行选取 第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把 3 本相同的集邮册和 1 本画册分给 4 位朋友，只
13、 有 1 位朋友得到画册即把 4 位朋友分成人数为 1,3 的两队，有 1 个元素的那队分给画册， 另一队分给集邮册，有 C14种分法 第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把 2 本相同的画册和 2 本相同的集邮册分给 4 位朋友，有 2 位朋友得到画册，即把 4 位朋友分成人数为 2,2 的两队，一队分给画册，另一 队分给集邮册，有 C24种分法 因此，满足题意的赠送方法共有 C14C244610(种). 1某乒乓球队有 9 名队员，其中 2 名是种子选手，现在挑选 5 名选手参加比赛，种子选手 必须在内，那么不同选法共有( ) A26 种 B84 种 C35 种 D21 种 考点 组合的
14、应用 题点 有限制条件的组合问题 答案 C 解析 从 7 名队员中选出 3 人有 C37765 32135(种)选法 2身高各不相同的 7 名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一 个比一个低，则这样的排法种数是( ) A5 040 B36 C18 D20 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 答案 D 解析 最高的同学站中间， 从余下 6 人中选 3 人在一侧只有一种站法， 另 3 人在另一侧也只 有一种站法，所以排法有 C3620(种) 3直角坐标平面 xOy 上，平行直线 xn(n0,1,2，5)与平行直线 yn(n0,1,2， 5)组成的图形中，矩形共有(
15、) A25 个 B36 个 C100 个 D225 个 考点 组合的应用 题点 与几何有关的组合问题 答案 D 解析 从垂直于 x 轴的 6 条直线中任取 2 条，从垂直于 y 轴的 6 条直线中任取 2 条，四条直 线相交得出一个矩形，所以矩形总数为 C26C261515225. 4从 7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排 3 人，则不 同的安排方案共有_种(用数字作答) 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 140 解析 安排方案分为两步完成：从 7 名志愿者中选 3 人安排在周六参加社区公益活动，有 C37种方法； 再从剩下的 4 名志愿者中
16、选 3 人安排在周日参加社区公益活动， 有 C34种方法 故 不同的安排方案共有 C37C34765 3214140(种) 5正六边形顶点和中心共 7 个点，可组成_个三角形 考点 组合的应用 题点 与几何有关的组合问题 答案 32 解析 不共线的三个点可组成一个三角形，7 个点中共线的是：正六边形过中心的 3 条对角 线，即共有 3 种情况，故组成三角形的个数为 C37332. 1无限制条件的组合应用题其解题步骤为： (1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答 2有限制条件的组合应用题： (1)“含”与“不含”问题： 这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其 余则“一视同仁” 若正面入手不易， 则从反面入手， 寻找问题的突破口， 即采用排除法 解 题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的 确切含义，准确把握分类标准 (2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、 面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问 题来解决 (3)分组、 分配问题： 分组问题和分配问题是有区别的， 前者组与组之间只要元素个数相同， 是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的
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