1、第二章第二章 概率概率 章末复习章末复习 学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及分布列的概念.2.掌握超几何分布及二项 分布，并能进行简单的应用，了解分布密度曲线的特点及表示的意义.3.理解条件概率与事件 相互独立的概念.4.会计算简单的离散型随机变量的均值和方差，并能利用均值和方差解决一 些实际问题 一、离散型随机变量的分布列 1定义 设离散型随机变量 X 的取值为 a1，a2，随机变量 X 取 ai的概率为 pi(i1,2，)，记作： P(xai)pi(i1,2，)， 或把上式列成下表 Xai a1 a2 P(Xai) p1 p2 上述表或式称为离散型随机变量 X 的分布列 2求随
2、机变量的分布列的步骤 (1)明确随机变量 X 的取值 (2)准确求出 X 取每一个值时的概率 (3)列成表格的形式 3离散型随机变量分布列的性质 (1)pi0，i1,2，. (2)p1p21. 二、条件概率与独立事件 1A 发生时 B 发生的条件概率为 P(B|A)PAB PA . 2对于两个事件 A，B，如果 P(AB)P(A)P(B)，则称 A，B 相互独立若 A 与 B 相互独立， 则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也相互独立 3求条件概率的常用方法 (1)定义：即 P(B|A)PAB PA . (2)借助古典概型公式 P(B|A)nAB nA . 三、离散型随机变量的均值与
3、方差 1定义：一般地，设随机变量 X 所有可能取的值是 a1，a2，an，这些值对应的概率是 p1，p2，pn，则 EXa1p1a2p2arpr叫作这个离散型随机变量 X 的均值E(XEX)2 是(XEX)2的均值，并称之为随机变量 X 的方差，记为 DX. 2意义：均值刻画的是 X 取值的“中心位置”，而方差刻画的是一个随机变量的取值与其 均值的偏离程度方差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小 四、超几何分布与二项分布 1超几何分布 一般地，设有 N 件产品，其中有 M(MN)件次品，从中任取 n(nN)件产品，用 X 表示取出 n 件产品中次品的件数 那么 P(Xk)C k MC nk
4、 NM CnN (kN)，X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，其均值 EXnM N. 2二项分布 在 n 次相互独立的试验中，每次试验“成功”的概率均为 p，“失败”的概率均为 1p.用 X 表示这 n 次独立重复试验中成功的次数， 则 P(Xk)Cknpk(1p)n k(k0,1,2，n) 称为 X 服从参数为 n，p 的二项分布其均值为 EXnp，方差为 DXnp(1p) 五、正态分布 1正态分布的分布密度函数为 f(x) 1 2exp x2 22 ，x0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦” (3)P(X)68.3%. P(2X2)95.4%. P(3Xy， 解得 x1 2， y1 3
5、. 所以甲地降雨的概率为1 2，乙地降雨的概率为 1 3. (2)在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为 PP(A B )P( A B)P(A)P( B )P( A )P(B) 1 2 2 3 1 2 1 3 1 2. X 的可能取值为 0,1,2,3. P(X0)C03 1 2 31 8， P(X1)C13 1 2 1 11 2 23 8， P(X2)C23 1 2 2 11 2 3 8， P(X3)C33 11 2 31 8， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 所以 EX01 81 3 82 3 83 1 8 3 2. 方差 DX1 8 03 2
6、23 8 13 2 23 8 23 2 21 8 33 2 23 4. 反思与感悟 (1)求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题 “P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件， 也是解答相互独立事件概率问 题的唯一工具 涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系 公式“P(AB)1P( A B )”常应用于相互独立事件至少有一个发生的概率 (2)二项分布的判定 与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定： 每次试验中，事件发生的概率是相同的 各次试验中的事件是相互独立的 每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生 随机
7、变量是这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数 跟踪训练 2 在一次抗洪抢险中， 准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐， 已知只有 5 发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独 立的，且命中的概率都是2 3. (1)求油灌被引爆的概率； (2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为 ，求 不小于 4 的概率 考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题 题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题 解 (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击 5 次只击中一次 或一次也没有击中，故该事件的概率为 PC152 3 1 3 4
8、1 3 5， 所以所求的概率为 1P1 C152 3 1 3 4 1 3 5 232 243. (2)当 4 时，记事件为 A， 则 P(A)C132 3 1 3 22 3 4 27， 当 5 时，意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件 B. 则 P(B)C142 3 1 3 3 1 3 41 9， 所以所求概率为 P(AB)P(A)P(B) 4 27 1 9 7 27. 类型三 离散型随机变量的均值与方差 例 3 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客 从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之
9、和为该顾客 所获的奖励额 (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求： 顾客所获的奖励额为 60 元的概率； 顾客所获的奖励额的分布列及均值； (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元， 并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的 两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符 合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的 设计，并说明理由 考点 均值与方差的应用 题点 均值与方差的综合应用 解 (1)设顾客所获的奖励额为 X， 依题意，
10、得 P(X60)C 1 1 C 1 3 C24 1 2， 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为1 2. 依题意得 X 的所有可能取值为 20,60， P(X20)C 2 3 C24 1 2，P(X60) 1 2， 即 X 的分布列为 X 20 60 P 1 2 1 2 所以这位顾客所获奖励额的均值为 EX201 260 1 240. (2)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为 60 元，所以先寻找均值为 60 元的可能方案 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为 60 元是面值之和 的最大值，所以均值不可能为 60 元 如果选择(50,5
11、0,50,10)的方案，因为 60 元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为 60 元， 因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案 1，对于面值由 20 元和 40 元组成的情况，同理可排 除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)， 记为方案 2， 以下是对这两个方案的分析： 对于方案 1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为 X1，则 X1的分布列为 X1 20 60 100 P 1 6 2 3 1 6 X1的均值 EX1201 660 2 3100 1 660. X1的方差 DX1(2060)21
12、 6(6060) 22 3(10060) 21 6 1 600 3 . 对于方案 2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为 X2，则 X2的分布列为 X2 40 60 80 P 1 6 2 3 1 6 X2的均值 EX2401 660 2 380 1 660， X2的方差 DX2(4060)21 6(6060) 22 3(8060) 21 6 400 3 .由于两种方案的奖励额的 均值都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 小，所以应该选择方案 2. 反思与感悟 求离散型随机变量 X 的均值与方差的步骤 (1)理解 X 的意义，写出 X 可能的全部取值； (2)求 X
13、 取每个值的概率或求出函数 P(Xk)； (3)写出 X 的分布列； (4)由分布列和均值的定义求出 EX； (5)由方差的定义，求 DX，若 XB(n，p)，则可直接利用公式求，EXnp，DXnp(1p) 跟踪训练 3 某产品按行业生产标准分成 8 个等级， 等级系数 X 依次为 1,2， ， 8， 其中 X5 为标准 A，X3 为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙 厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的 执行标准 (1)已知甲厂产品的等级系数 X1的分布列如下表： X1 5 6 7 8 P 0.4 a
14、 b 0.1 且 X1的均值 EX16，求 a，b 的值； (2)为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组 成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2的均值； (3)在(1)(2)的条件下， 若以“性价比”为判断标准， 则哪个工厂的产品更具有可购买性？请说 明理由 注：产品的“性价比”产品的等级系数的均值 产品的零售价 ； “性价比”高的产品更具有可购买性 考点 均值与方差的应用 题点
15、 均值与方差的综合应用 解 (1)EX16，50.46a7b80.16，即 6a7b3.2，又由 X1的分布列得 0.4 ab0.11，即 ab0.5. 由 6a7b3.2， ab0.5， 解得 a0.3， b0.2. (2)由已知得，样本的频率分布表如下： X2 3 4 5 6 7 8 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 X2的分布列如下： X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 EX230.340.250.260.170.180.14.8， 即乙厂产品的等级系数的均 值为
16、 4.8. (3)乙厂的产品更具有可购买性，理由如下： 甲厂产品的等级系数的均值为 6，价格为 6 元/件， 其性价比为6 61， 乙厂产品的等级系数的均值为 4.8，价格为 4 元/件， 其性价比为4.8 4 1.21. 乙厂的产品更具有可购买性 类型四 正态分布的应用 例 4 为了评估某大米包装生产设备的性能，从该设备包装的大米中随机抽取 100 袋作为样 本，称其重量为 重量 kg 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 合 计 包数 1 1 3 5 6 19 34 18 3 4 2 1 2 1 1
17、00 经计算：样本的平均值 10.10，标准差 0.21. (1)为评判该生产线的性能，从该生产线中任抽取一袋，设其重量为 X(kg)，并根据以下不等 式进行评判 P(X)0.683； P( 2X2)0.954； P(3X3)0.997； 若同时满足三个不等式，则生产设备为甲级；满足其中两个，则为乙级；仅满足其中一个， 则为丙级；若全不满足，则为丁级请判断该设备的等级； (2)将重量小于或等于 2 与重量大于 2 的包装认为是不合格的包装，从设备的生产线 上随机抽取 5 袋大米，求其中不合格包装袋数 Y 的均值 EY. 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的综合应用 解 (1)由题意得 P(X
18、)P(9.890.683， P(2X2)P(9.68X10.52) 94 1000.940.954， P(3X3)P(9.47X10.73) 99 1000.990.997， 所以该生产设备为丙级 (2)由表知， 不合格的包装共有 6 袋， 则从设备的生产线上随机抽一袋不合格的概率 P 6 100 3 50， 由题意知 Y 服从二项分布，即 YB 5， 3 50 ， 所以 EY5 3 500.3. 反思与感悟 正态曲线的应用及求解策略 解答此类题目的关键在于将待求的问题向(，(2，2，(3，3这 三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思 想及数形结合思想
19、 跟踪训练 4 某市去年高考考生成绩 X 服从正态分布 N(500,502)，现有 25 000 名考生，试确 定考生成绩在 550 分600 分的人数 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 解 考生成绩 XN(500,502)，500，50， P(550X600) 1 2P(5002 50X5002 50)P(50050X50050) 1 2(0.9540.683)0.135 5. 故考生成绩在 550 分600 分的人数约为 25 0000.135 53 388. 1抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过 4，则出现的点数是奇数的概 率为( ) A.1 3 B. 1
20、 4 C. 1 6 D. 1 2 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 利用缩小基本事件空间求条件概率 答案 D 解析 设抛掷一枚骰子出现的点数不超过 4 为事件 A，抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事 件 B，则 P(B|A)nAB nA 2 4 1 2.故选 D. 2国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是1 3， 1 4， 1 5.假定三人的行动相互之间 没有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为( ) A.59 60 B. 3 5 C. 1 2 D. 1 60 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 B 解析 设“国庆节放假，甲、乙
21、、丙三人去北京旅游”分别为事件 A，B，C，则 A，B，C 相互独立且P(A)1 3， P(B) 1 4， P(C) 1 5， 至少有 1 人去北京旅游的概率为 1P( A B C ) 1P( A ) P( B ) P( C )1 11 3 11 4 11 5 12 5 3 5，故选 B. 3某班有 50 名学生，一次考试后的数学成绩 N(110,102)，若 P(100110)0.34，则 估计该班学生的数学成绩在 120 分以上(含 120 分)的人数为( ) A10 B9 C8 D7 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 C 解析 数学成绩 服从正态分布 N(110,10
22、2)， 且 P(100110)0.34， P(120)P(100)1 2(10.342)0.16， 该班数学成绩在 120 分以上的人数为 0.16508. 4设随机变量 的分布列为 P(k)m 2 3 k，k1,2,3，则 m 的值为_ 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求参数 答案 27 38 解析 因为 P(1)P(2)P(3)1， 即 m 2 3 2 3 2 2 3 3 1， 所以 m27 38. 5某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得 到甲公司面试的概率为2 3，得到乙、丙两公司面试的概率均为 p，且三个公司是否让其
23、面试是 相互独立的记 X 为该毕业生得到面试的公司个数，若 P(X0) 1 12，则随机变量 X 的均值 EX_. 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与分布列 答案 5 3 解析 随机变量 X 的可能取值是 0,1,2,3. 由题意知 P(X0)1 3(1p) 21 12， 所以 p 1 2， 于是 P(X1) 2 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3，P(X3) 2 3 1 2 1 2 1 6，P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)1 1 12 1 3 1 6 5 12，所 以均值 EX0 1 121 1 32 5 123 1 6 5 3. 1条件概率的两个求解策略 (1)定义法：计算 P(A)，P(B)，P(AB)，利用 P(A|B)PAB PB 或PB|APAB PA 求解 (2)缩小样本空间法：利用 P(B|A)nAB nA 求解 其中(2)常用于古典概型的概率计算问题 2求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的分 布列，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的 线性性质.
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