1、5.2 二项式系数的性质二项式系数的性质 学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2. 理解二项式系数的性质并灵活运用 知识点 二项式系数的性质 (ab)n的展开式的二项式系数，当 n 取正整数时可以表示成如下形式： 思考 1 同一行中，系数有什么规律？ 答案 两端都是 1，与两端 1 等距离的项的系数相等 思考 2 相邻两行，系数有什么规律？ 答案 在相邻两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即 Crn1Cr 1 n Crn. 梳理 “杨辉三角”蕴含的规律 (1)在同一行中，每行两端都是 1. (2)在相邻的两行中，除 1 以外的
2、每一个数都等于它“肩上”两数的和即二项式系数满足组 合数的性质 Crn1Cr 1 n Crn. (3)与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性，即 CrnCn r n . 特别提醒： 1二项式系数性质类似于组合数的两个性质 (1)CrnCn r n . (2)Crn1Cr 1 n Crn. 2从二项式系数表中可以看出(ab)n的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系 数的和等于 2n，即 C0nC1nC2nCnn2n. 1二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的( ) 2二项展开式的二项式系数和为 C1nC2nCnn.( ) 3(ab)n的展开式中，当
3、 n 为偶数时，二项展开式中中间一项系数最大( ) 4(ab)n的展开式中，二项式系数具有对称性，所以 C1nCnn.( ) 类型一 与杨辉三角有关的问题 例 1 (1)如图所示，满足如下条件： 第 n 行首尾两数均为 n； 表中的递推关系类似杨辉三角 则第 10 行的第 2 个数是_第 n 行的第 2 个数是_ (2)如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第 14 个数与第 15 个数的比为 23. 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 (1)46 n2n2 2 (2)34 解析 (1)由图表可知第 10 行的第 2 个数为： (1239)146， 第
4、n 行的第 2 个数为： 123(n1)1nn1 2 1n 2n2 2 . (2)设第 n 行中从左到右第 14 个数与第 15 个数的比为 23， 则 C13 nC 14 n23， 所以 3C13 n2C 14 n， 即 3 n！ 13！ n13！ 2 n！ 14！ n14！， 得 3 n13 2 14，所以 n34. 反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 跟踪训练 1 如图，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列： 1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前 n 项和为 S(n)，则 S(16)等于( ) A144 B146 C164 D461 考点 二
5、项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 C 解析 由题干图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，第 15 项是 C29，第 16 项是 C19，所以 S(16)C12C22C13C23C19C29 (C12C13C19)(C22C23C29) (C22C12C13C19C22)(C33C23C29) C210C3101164. 类型二 二项式系数和问题 例 2 已知(2x1)5a0 x5a1x4a2x3a3x2a4xa5. 求下列各式的值： (1)a0a1a2a5； (2)|a0|a1|a2|a5|； (3)a1a3a5. 考点
6、 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)令 x1，得 a0a1a2a51. (2)令 x1，得35a0a1a2a3a4a5. 由(2x1)5的通项 Tr1Cr5(1)r 25 r x5r 知 a1，a3，a5为负值， 所以|a0|a1|a2|a5| a0a1a2a3a4a535243. (3)由 a0a1a2a51， a0a1a2a535， 得 2(a1a3a5)135. 所以 a1a3a513 5 2 121. 引申探究 在本例条件下，求下列各式的值： (1)a0a2a4； (2)a1a2a3a4a5； (3)5a04a13a22a3a4. 解 (1)因为 a0a1
7、a2a51， a0a1a2a535. 所以 a0a2a413 5 2 122. (2)因为 a0是(2x1)5展开式中 x5的系数， 所以 a02532. 又 a0a1a2a51， 所以 a1a2a3a4a531. (3)因为(2x1)5a0 x5a1x4a2x3a3x2a4xa5. 所以两边求导数得 10(2x1)45a0 x44a1x33a2x22a3xa4. 令 x1 得 5a04a13a22a3a410. 反思与感悟 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN)的式子求其展开式的各项系数之 和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对(ax
8、by)n(a，bR，nN)的式子求其展开式各项系 数之和，只需令 xy1 即可 (2)一般地，若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0a2a4f1f1 2 ， 偶数项系数之和为 a1a3a5f1f1 2 . 跟踪训练 2 在二项式(2x3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9. (1)二项式系数之和为 C09C19C29C9929. (2)各项系数之
9、和为 a0a1a2a9， 令 x1，y1， 所以 a0a1a2a9(23)91. (3)令 x1，y1，可得 a0a1a2a959， 又 a0a1a2a91， 将两式相加可得 a0a2a4a6a85 91 2 ， 即所有奇数项系数之和为5 91 2 . 类型三 二项式系数性质的应用 例 3 已知 f(x)(3x23x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项 考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中系数最大(小)的项 解 令 x1，则二项式各项系数的和为 f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二
10、项式系数之 和为 2n. 由题意知，4n2n992. (2n)22n9920， (2n31)(2n32)0， 2n31(舍去)或 2n32，n5. (1)由于 n5 为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为 T3C25 3 2 3 x (3x2)290 x6，T4C35 2 2 3 x (3x2)3270 22 3 x. (2)展开式的通项公式为 Tr1Cr5 3r 2(5 2 ) 3 r x ， 假设 Tr1项系数最大， 则有 Cr53rCr 1 5 3r 1， Cr53rCr 1 5 3r 1， 5！ 5r！r！3 5！ 6r！r1！， 5！ 5r！r！ 5！ 4r！r1
11、！3， 即 3 r 1 6r， 1 5r 3 r1， 7 2r 9 2，rN，r4， 展开式中系数最大的项为 T5C45 2 3 x(3x2)4405 26 3 x. 反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的 n 进行讨论 当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大 当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大 (2)展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化 情况进行分析如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设 展开式中各项系数分别为
12、A0，A1，A2，An，且第 r1 项最大，应用 ArAr1， ArAr1， 解出 r， 即得出系数的最大项 跟踪训练 3 写出(xy)11的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)项的系数绝对值最大的项； (3)项的系数最大的项和系数最小的项； (4)二项式系数的和； (5)各项系数的和 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)二项式系数最大的项为中间两项： T6C511x6y5，T7C611x5y6. (2)(xy)11展开式的通项为 Tr1Cr11x11 r(y)rCr 11(1) rx11ryr， 项的系数的绝对值为|Cr11 (1)r|Cr11，
13、项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6C511x6y5，T7 C611x5y6. (3)由(2)知中间两项系数绝对值相等， 又第 6 项系数为负，第 7 项系数为正， 故项的系数最大的项为 T7C611x5y6，项的系数最小的项为 T6C511x6y5. (4)展开式中，二项式系数的和为 C011C111C211C11 112 11. (5)令 xy1，得展开式中各项的系数和为 C011C111C211C11 11(11) 110. 1观察图中的数所成的规律，则 a 所表示的数是( ) A8 B6 C4 D2 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案
14、 B 解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以 4a10，得 a6. 2(1x)2n 1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( ) An，n1 Bn1，n Cn1，n2 Dn2，n3 考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项 答案 C 解析 2n1 为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第 2n11 2 1 项，第 2n11 2 1 项，即第 n1 项与第 n2 项，故选 C. 3已知 x 3 3 x n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64，则 n 等于 ( ) A4 B5 C6 D7 考点 二项式系数的性质
15、题点 二项式系数与项的系数问题 答案 C 解析 令 x1，各项系数和为 4n，二项式系数和为 2n，故有4 n 2n64，所以 n6. 4设(32x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 a0a1a2a3的值为_ 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 15 解析 令 x1，得 a0a1a2a3a41. 又 Tr1Cr4(3)4 r(2x)r， 当 r4 时，x4的系数 a416. 由得 a0a1a2a315. 5已知 1 42x n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37，则展开式中二项式系数最大 的项的系数为_ 考点 展开式中系数的和问题 题点 多项展开式中系数的和问题 答案 35 8 解析 由 C0nC1nC2n37，得 1n1 2n(n1)37，解得 n8(负值舍去)，则第 5 项的二项 式系数最大，T5C48 1 44(2x) 435 8 x4，该项的系数为35 8 . 1二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出 2求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据 所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母赋的值为 0,1 或1，但在解决具体问题时要 灵活掌握 3注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数 (2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中 r0，1,2，n.
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