1、123 用样本分布估计总体分布用样本分布估计总体分布 12.3.1 频率分布表频率分布表 12.3.2 频率分布直方图频率分布直方图 12.3.3 频率折线图频率折线图 学习目标 1.学会列频率分布表，会画频率分布直方图.2.会用频率分布表或分布直方图估计 总体分布，并作出合理解释 知识链接 已知一组数分别为：2,3,5,7,8,10,11，则其中位数为 7；数据 2,3,5,7,8,10，则其中位数为 6. 预习导引 1频率分布表 为了能直观地显示样本的频率分布情况，通常我们会将样本的容量，样本中出现该事件的频 数以及计算所得的相应频率列在一张表中，这样的表就叫作频率分布表 2频率分布直方图
2、：在频率分布直方图中，横轴表示各组的端点，纵轴表示频率 注：有的频率分布直方图中，用纵轴表示频率/组距，那么各小长方形的面积就表示数据落在 各小组内的频率 3 频率分布折线图： 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点， 就得到频率分布折线图 题型一 频率分布直方图的绘制 例 1 调查某校高三年级男生的身高，随机抽取 40 名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如 下： 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 159 167 156 157 164 1
3、69 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161 (1)作出频率分布表； (2)画出频率分布直方图 解 (1)最低身高 151cm，最高身高 180cm，它们的差是 18015129，即极差为 29；确定 组距为 4，组数为 8，列表如下： 分组 频数 频率 149.5,153.5) 1 0.025 153.5,157.5) 3 0.075 157.5,161.5) 6 0.15 161.5,165.5) 9 0.225 165.5,169.5) 14 0.35 169.5,173.5) 3 0.075 173.5,177.5) 3 0.075 17
4、7.5,181.5 1 0.025 合计 40 1 (2)频率分布直方图如图所示 规律方法 1.组数的决定方法是：当样本容量是 n 时，可以参照经验公式将数据分成大约 K 14lgn 段 2 分点数的决定方法是： 若数据为整数， 则分点数据减去 0.5； 若数据是小数点后一位的数， 则分点减去 0.05，以此类推 3画频率分布直方图小长方形的高的方法是：假设频数为 1 的小长方形的高为 h，则频数为 k 的小长方形的高为 kh. 跟踪演练 1 美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于 1901 年就任，当时年仅 42 岁；就任时年纪最大的是里根，他于 1981 年就任，当时 69 岁下面
5、按时间顺序(从 1789 年 的华盛顿到 2009 年的奥巴马，共 44 任)给出了历届美国总统就任时的年龄： 57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51, 60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48 (1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图； (2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况 解 (1)以 4 为组距，列表如下： 分组 频数 频率 41.5,45.5) 2 0.0
6、455 45.5,49.5) 7 0.1591 49.5,53.5) 8 0.1818 53.5,57.5) 16 0.3636 57.5,61.5) 5 0.1136 61.5,65.5) 4 0.0909 65.5,69.5 2 0.0455 合计 44 1.00 频率分步直方图和频率分布折线图如图所示： (2)从频率分布表中可以看出 60%左右的美国总统就任时的年龄在 50 岁至 60 岁之间， 45 岁以 下以及 65 岁以上就任的总统所占的比例相对较小 题型二 频率分布直方图的综合应用 例 2 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将 所得数据整理后
7、，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为 24171593，第二小组的频数为 12. (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ 解 (1)由题意知，各频数之比与各长方形的面积之比相同，因此第二小组的频率为 4 241715930.08. 又因为第二小组的频率第二小组的频数 样本容量 ， 所以样本容量第二小组的频数 第二小组的频率 12 0.08150. (2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为 171593 24171593100%88%. 规律方法 1.频率分布
8、直方图的性质： (1)因为小矩形的高频率，所以各小矩形的高表示相应各组的频率这样，频率分布直方图 就以高的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小 (2)在频率分布直方图中，各小矩形的高之和等于 1. (3) 样本容量频数/相应的频率 跟踪演练 2 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 6 组： 40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直 方图已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 ( ) A588 B480 C450 D120 答案 B 解析 不少
9、于 60 分的学生的频率为 0.300.250.150.100.8，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数应为 6000.8480. 题型三 频率分布与数字特征的综合应用 例 3 已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表： 分组 频数 频率 121,123) 123,125) 125,127) 127,129) 129,131 合计 (2)作出频率分布直方图； (3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和均值 解 (
10、1) 分组 频数 频率 121,123) 2 0.1 123,125) 3 0.15 125,127) 8 0.4 127,129) 4 0.2 129,131 3 0.15 合计 20 1 (2) (3)在125，127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数 126，事实 上，众数的精确值为 125.图中虚线对应的数据作为中位数的近似值，是 12525 8126.25， 事实上中位数为 125.5.使用“组中值”求平均数的近似值：x 1220.11240.15 1260.41280.21300.15126.3，事实上，平均数的精确值为x 125.75. 规律方法 1.利用
11、频率分布直方图估计数字特征： (1)众数是最高的矩形的底边的中点 (2)中位数左右两侧直方图的面积相等 (3)平均数等于每个小矩形的高乘以小矩形底边中点的横坐标 2利用直方图求众数、中位数、均值均为估计值，与实际数据可能不一致 跟踪演练 3 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制 成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别 是 0.30，0.40，0.15，0.10，0.05. 求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数； (2)高一参赛学生的平均成绩 解 (1)由图可知众数为 65， 又第一个小矩形的面积为 3，所有矩形的面
12、积为 10， 设中位数为 60 x，则 3x0.45，得 x5， 中位数为 60565. (2)依题意，平均成绩为 550.3650.4750.15850.1950.0567， 平均成绩约为 67. 课堂达标 1用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是( ) A总体容量越大，估计越精确 B总体容量越小，估计越精确 C样本容量越大，估计越精确 D样本容量越小，估计越精确 答案 C 解析 由用样本估计总体的性质可得 2频率分布直方图中，小长方形的高表示( ) A组距 B频率 C组数 D频数 答案 B 3某校为了了解高三学生的身体状况，抽取了 100 名女生的体重将所得的数据整理后，
13、画 出了如图的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在 4045kg 的人数是( ) A10B2C5D15 答案 A 解析 由图可知体重在 4045kg 的频率为 0.1.0.110010 人 4一个容量为 n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为 40,0.125，则 n 的值为 ( ) A640B320C240D160 答案 B 解析 依题意得40 n 0.125，n 40 0.125320. 5某中学举办电脑知识竞赛，满分为 100 分，80 分以上为优秀(含 80 分)现将高一两个班 参赛学生的成绩进行整理后分成 5 组，绘制成频率分布直方图如下图所示 已知图中从左到右的第一、
14、三、四、五小组的频率分别为 0.30，0.15，0.10，0.05，而第二小 组的频数是 40，则参赛的人数是_，成绩优秀的频率是_ 答案 100 0.15 课堂小结 1 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小， 总体分布是指总体取值的频 率分布规律，我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布 2用同样的方法先后从总体中抽取两个大小相同的样本，但两次得到的样本频率分布表、样 本频率分布直方图、样本的均值和标准差仍然可能互不相同，这一现象其原因就在于样本的 随机性在随机抽样中，这种偏差是不可避免的如果抽样的方法比较合理，那么样本可以 反映总体的信息，特别是当样本容量很大时，这种反映比较接近总体的真实情况
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