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    第13章 概 率 章末复习课导学案(含答案)

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    第13章 概 率 章末复习课导学案(含答案)

    1、第第 13 章章 概率概率 章末复习课章末复习课 网络构建 概率 试验与事件 事件 事件的运算 概率及其计算 古典概率模型 几何概率 频率与概率 核心归纳 1本章涉及的概念比较多,要真正理解它们的实质,搞清它们的区别与联系了解随机事件 发生的不确定性和频率的稳定性,要进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别 2应用互斥事件的概率加法公式,一定要注意首先确定事件彼此是否互斥,然后求出各事件 分别发生的概率,再求和求较复杂的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化为彼此互 斥的事件的和; 二是先求其对立事件的概率, 然后再应用公式 P(A)1P(A)(事件 A 与 A 互为对立事件)求解 3对于古典

    2、概型概率的计算,关键要分清基本事件的总数 n 与事件 A 包含的基本事件的个 数 m,再利用公式 P(A)m n求出概率有时需要用列举法把基本事件一一列举出来,在列举 时必须按某一顺序做到不重不漏 4对于几何概率的计算,关键是求得事件 A 所占区域和整个区域的几何度量,然后代入公 式求解 5学习本章的过程中,要重视教材的基础作用,重视过程的学习,重视基本数学思想和数学 方法的形成和发展,注意培养分析问题和解决问题的能力. 要点一 随机事件的概率 1有关事件的概念 (1)必然事件:我们把在条件 S 下,一定会发生的事件,叫作相对于条件 S 的必然事件,简称 必然事件 (2)不可能事件:在条件 S

    3、 下,一定不会发生的事件,叫作相对于条件 S 的不可能事件,简称 不可能事件 (3)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫作相对于条件 S 的随机事件,简 称随机事件 (4)事件的表示方法:确定事件和随机事件一般用大写字母 A,B,C,表示 2对于概率的定义应注意以下几点 (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验 (2)只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫作事件 A 的概率 (3)概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值 (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小 (5)必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0,故 0P(A)1. 例 1 对一批 U 盘

    4、进行抽检,结果如下表: 抽出件数 a 50 100 200 300 400 500 次品件数 b 3 4 5 5 8 9 次品频率b a (1)计算表中次品的频率; (2)从这批 U 盘中任抽一个是次品的概率约是多少? (3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售 2000 个 U 盘,至少需进货多少个 U 盘? 解 (1)表中次品频率从左到右依次为 0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数 a 越来越大时,出现次品的频率在 0.02 附近摆动,所以从这批 U 盘中任抽一 个是次品的概率约是 0.02. (3)设需要进货 x 个 U 盘,为保证其中

    5、有 2000 个正品 U 盘,则 x(10.02)2000,因为 x 是 正整数, 所以 x2041,即至少需进货 2041 个 U 盘 跟踪演练 1 某射击运动员为备战奥运会,在相同条件下进行射击训练,结果如下: 射击次数 n 10 20 50 100 200 500 击中靶心 次数 m 8 19 44 92 178 455 击中靶心 的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91 (1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少? (2)假设该射击运动员射击了 300 次,则击中靶心的次数大约是多少? (3)假如该射击运动员射击了 300 次,前 270 次都击中靶心

    6、,那么后 30 次一定都击不中靶心 吗? (4)假如该射击运动员射击了 10 次, 前 9 次中有 8 次击中靶心, 那么第 10 次一定击中靶心吗? 解 (1)由题意,击中靶心的频率与 0.9 接近,故概率约为 0.9. (2)击中靶心的次数大约为 3000.9270(次) (3)由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变化后 30 次中,每次击中 靶心的概率仍是 0.9,所以后 30 次不一定都击不中靶心 (4)不一定 要点二 互斥事件与对立事件的概率求法 1互斥事件与对立事件的概念的理解 (1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件;对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要 求

    7、二者必须有一个发生因此对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,对 立事件是互斥事件的特殊情况 (2)利用集合的观点来看,如果事件 AB,则两事件是互斥的,此时 AB 的概率就可用 加法公式来求,即为 P(AB)P(A)P(B);如果事件 AB,则可考虑利用古典概型的定 义来解决,不能直接利用概率加法公式 (3)利用集合的观点来看,如果事件 AB,AB,则两事件是对立的,此时 AB 就 是必然事件,可由 P(AB)P(A)P(B)1 来求解 P(A)或 P(B) 2互斥事件概率的求法 (1)若 A1,A2,An互斥,则 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) (2)利用这一

    8、公式求概率的步骤是:要确定这一些事件彼此互斥;先求出这一些事件分别 发生的概率,再求和 3对立事件概率的求法 P()P(A)P(A)1,由公式可得 P(A)1P(A) (这里 A 是 A 的对立事件, 为必 然事件). 4 互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式, 它能把复杂的概率问题转化为较为 简单的概率或转化为其对立事件的概率求解 例 2 现有 8 名 2020 东京奥运会志愿者,其中志愿者 A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓 俄语,C1,C2通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组 (1)求 A1被选中的概率; (2)求 B1和 C1不全

    9、被选中的概率 解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基本事件 空间 (A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1, B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3, C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2), 即由 18 个基本事件组成 由于每一个基本事件被抽取的机会均等, 因此这些基本事件的

    10、发生 是等可能的 用 M 表示“A1被选中”这一事件,则 M(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1, B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),即事件 M 由 6 个基本事件组成故 P(M) 6 18 1 3. (2)用 N 表示“B1和 C1不全被选中”这一事件, 则其对立事件 N 表示“B1和 C1全被选中” 这一事件 因为 N(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1),即事件 N 由 3 个基本事件组成, 所以 P(N) 3 18 1 6. 由对立事件的概率公式得 P(N)1P(N)11 6 5 6. 跟踪演练 2

    11、甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有 5 个不同题目,选择题 3 个,判断题 2 个, 甲、乙两人各抽一题 (1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? 解 把 3 个选择题记为 x1,x2,x3,2 个判断题记为 p1,p2.“甲抽到选择题,乙抽到判断题” 的情况有:(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x2,p2),共 6 种; “甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有:(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2), (p2,x3),共 6 种

    12、; “甲、乙都抽到选择题”的情况有:(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2), 共 6 种;“甲、乙都抽到判断题”的情况有:(p1,p2),(p2,p1),共 2 种 (1)“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的概率为 6 20 3 10,“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的 概率为 6 20 3 10, 故“甲、 乙两人中有一个抽到选择题, 另一个抽到判断题”的概率为 3 10 3 10 3 5. (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为 2 20 1 10,故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题” 的概率为 1 1 10 9 10. 要点三 古典概型

    13、与几何概率 古典概型是一种最基本的概率模型,也是学习其他概率模型的基础,在高考题中,经常出现 古典概型的题目解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性在应 用公式 P(A)m n时,关键是正确理解基本事件与事件 A 的关系,求出 n,m. 几何概率同古典概型一样,是概率中最具有代表性的试验概型之一,在高考命题中占有非常 重要的位置我们要理解并掌握几何概率试验的两个基本特征,即:每次试验中基本事件的 无限性和每个事件发生的等可能性,并能求简单的几何概率试验的概率 例 3 某产品的三个质量指标分别为 x,y,z,用综合指标 Sxyz 评价该产品的等级若 S4,则该产品为一等品现从一

    14、批该产品中,随机抽取 10 件产品作为样本,其质量指标列 表如下: 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标 (x,y,z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标 (x,y,z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率 (2)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品, 用产品编号列出所有可能的结果; 设事件 B 为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于 4”,求事件 B 发生的 概率

    15、解 (1)计算 10 件产品的综合指标 S,如下表: 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中 S4 的有 A1,A2,A4,A5,A7,A9,共 6 件,故该样本的一等品率为 6 100.6,从而可 估计该批产品的一等品率为 0.6. (2)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品的所有可能结果为A1,A2,A1,A4,A1, A5,A1,A7,A1,A9,A2,A4,A2,A5,A2,A7,A2,A9,A4,A5,A4,A7, A4,A9,A5,A7,A5,A9,A7,A9,共 15 种 在该样本的一等品中,综

    16、合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1,A2,A5,A7,则事件 B 发 生的所有可能结果为A1,A2,A1,A5,A1,A7,A2,A5,A2,A7,A5,A7,共 6 种所以 P(B) 6 15 2 5. 跟踪演练 3 如图所示的大正方形面积为 13, 四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形, 较短的直角边长为 2,向大正方形内投掷飞镖,飞镖落在阴影部分的概率为( ) A. 4 13 B. 2 13 C. 1 13 D. 3 13 答案 C 解析 设阴影小正方形边长为 x,则在直角三角形中有 22(x2)2( 13)2,解得 x1 或 x 5(舍),阴影部分面积为 1,飞镖落在阴影

    17、部分的概率为 1 13. 要点四 数形结合思想 数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来,包含“以形 助数”和“以数辅形”两个方面 在本节中把几何概率问题利用坐标系转化成图形问题(或符 合条件的点集问题)去解决 例 4 甲、 乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另一个人一刻钟, 过时即可离去,求两人能会面的概率 解 以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的等价条件是 |xy|15.如图平面直角坐标系下, (x, y)的所有可能结果是边长为 60 的正方形, 而事件 A“两 人能够会面”的可能结果由图中的

    18、阴影部分表示,由几何概率的计算公式得 P(A)SA S 602452 602 7 16. 跟踪演练 4 三个人玩传球游戏, 每个人都等可能地传给另两人(不自传), 若从 A 发球算起, 经 4 次传球又回到 A 手中的概率是多少? 解 记三人为 A、B、C,则 4 次传球的所有可能可用树状图方式列出:如下图 每一个分支为一种传球方案,则基本事件的总数为 16,而又回到 A 手中的事件个数为 6 个, 根据古典概型概率公式得 P 6 16 3 8. 课堂小结 1两个事件互斥,它们未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥若事件 A1,A2, A3,An彼此互斥,则 P(A1A2An)P(A1)P

    19、(A2)P(An) 2关于古典概型,必须要解决好下面三个方面的问题: (1)本试验是否是等可能的? (2)本试验的基本事件有多少个? (3)事件 A 是什么,它包含多少个基本事件? 只有回答好了这三方面的问题,解题才不会出错 3几何概率的试验中,事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成 正比,而与 A 的位置和形状无关求几何概率,关键是求得事件所占区域和整个区域 的几 何度量,然后代入公式即可求解 4关于随机数与随机模拟试验问题 随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法,用计算器或计算机模拟试验,首先要把实际 问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量,我们可以从以下几个方面考虑: (1)确定产生随机数组数,如长度型、角度型(一维)一组,面积型(二维)二组 (2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围, 由事件 A 发生的条件确定随机数应 满足的关系式


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