1、北师大版八年级上册数学勾股定理北师大版八年级上册数学勾股定理综合检测试卷综合检测试卷 时间：100 分钟 总分：120 分 姓名： 班级： 等级： 题号 选项 一 选择题（30 分）. 1. 一架 250cm 的梯子斜靠在墙上，这时梯足距墙底端距离为 70cm，如果梯子顶 端沿墙下滑 40cm，那么梯足将向外滑动( ) A.40cm B.80cm C.90cm D.150cm 2. 如图，一棵大树在离地面 9m 高的 B 处断裂，树顶 A 落在离树底 BC12m 处，则 大树断裂之前的高度为( ) 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 A.9m B.15m C.21m D.24m 3. 在
2、 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，CE 平分ACD 交 AB 于 E，则下列 结论一定成立的是（ ） ABC=EC BEC=BE CBC=BE DAE=EC 4. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有 记载如图 1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正 方形纸片按图 2 的方式放置在最大正方形内若知道图中阴影部分的面积，则一 定能求出（ ） A直角三角形的面积 B最大正方形的面积 C较小两个正方形重叠部分的面积 D最大正方形与直角三角形的面积和 5. 满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是( ) A.b 2=c2-a2 B.abc
3、=345 C.C=A-B D.ABC=121315 6. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( ) A. 51 B 51 C. 51 D. 5 7. 一块木板如图所示，已知 AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，B=90，则木板的 面积为( ) 第 7 题图 第 8 题图 第 10 题图 A.60 B.30 C.24 D.12 8. 如图，长方体的底面边长为 1cm 和 3cm，高为 6cm.如果用一根细线从点 A 开 始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要( ) A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm 9. 如图，四边形 ABCD 是边长为
4、 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的 B处，点 A 的对应点为 A，且 BC3，则 AM 的长是( ) A1.5 B2 C2.25 D2.5 10. 历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形： 其中两个全等的直角 三角形边 AE，EB 在一条直线上，其中用到的面积相等关系是( ) A.SEDA=SCEB B.SEDA+SCEB=SCDE C.S四边形 CDAE=S四边形 CDEB D.SEDA+SCDE+SCEB=S四边形 ABCD 二 填空题（40 分）. 11. 若在ABC 中，AB=5cm，BC=6cm，BC 边上的中线 AD=4cm，则ADC 的度
5、数是 _. 12. 如图，在高 3 米，坡面线段距离 AB 为 5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度 至少需_米. 第 12 题图 第 14 题图 第 15 题图 13.已知 a，b，c 是ABC 的三边长，且满足(c 2-a2-b2)2+|a-b|=0.则 ABC 的形状为_. 14. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，若正方形 A、B、C、D 的面积分别为 2，5，1，2.则最大的正方 形 E 的面积是_ 15. 如图，在 22 的正方形网格中有 9 个格点，已经取定点 A 和 B，在余下的 7 个点中任取一点 C，使ABC 为直角三角形的点
6、C 有_ _个. 16. 如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，连接 AC，BD.若ACB90，ACBC,AB BD,则ADC 17. 如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，P 为 AD 上一点，将ABP 沿 BP 翻折至 EBP，PE 与 CD 相交于点 O，且 OE=OD，则 AP 的长为_. 第 17 题图 第 19 题图 第 20 题图 18. 若一个三角形的三边之比为 94041，且周长为 180cm，则它的面积为 _cm 2. A C B E D 19. 如图，RtABC 中，AB3，AC6 2，点 D，E 分别是边 BC，AC 上的动点， 则 DADE 的最小值为 20
7、. 把两个同样大小含 45的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺 的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 A,且另外三个锐角顶点 B,C,D 在同一直线上,若 AB2,则 CD_. 解答题（50 分）. 21. 如图，在四边形 ABCD 中，ABBCCDDA=2231，且ABC= 90，求DAB 的度数. 22. 如图，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13米， 此人以0.5米每秒的速度收绳 问6秒后船向岸边移动了多少米(假 设绳子始终是直的，结果保留根号)? 23. 如图，在ABC 中，ACB90，AB13cm，BC5cm，CDAB 于 D，求
8、： (1)AC 的长； (2)SABC； (3)CD 的长 24. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，的顶点 ， ， 均在格 点上. （1）ACB 的大小为_（度） ； （2） 在如图所示的网格中，是边上任意一点.A 为中心， 取旋转角等于BAC， 把点 逆时针旋转， 点 的对应点为 .当最短时， 请用无刻度 的直尺， 画出点 ， 并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明）_ 25. 如图，铁路上 A，B 两点相距 25km，C，D 为两村庄，DAAB 于点 A，CBAB 于点 B， 已知 DA=15km， CB=10km， 现在要在铁路 AB 附近建一个土特产收购站 E， 使得
9、 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在距 A 站多少千米处？ 26. 已知：整式A=(n 2 1) 2+(2n)2，整式 B0 尝试 化简整式A 发现 A=B 2，求整式 B 联想 由上可知，B 2=(n2 1) 2+(2n)2，当 n1 时，n 2 1，2n，B为直角三角 形的三边长，如图填写下表中B的值： 直角三角形三边 n 2 1 2n B 勾股数组 / 8 _ 勾股数组 35 / _ 27. 如图，长方体的长BE15cm，宽AB10cm，高AD20cm，点M在CH上， 且CM5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最 短距离是多少？ 北师大版八年级
10、上册数学勾股定理 综合检测试卷（答案版） 时间：100 分钟 总分：120 分 姓名： 班级： 等级： 题号 选项 三 选择题（30 分）. 1. 一架 250cm 的梯子斜靠在墙上，这时梯足距墙底端距离为 70cm，如果梯子顶 端沿墙下滑 40cm，那么梯足将向外滑动( ) A.40cm B.80cm C.90cm D.150cm 【解析】选 B.因为梯子与墙壁、地面可构成一个直角三角形，由勾股定理，得 250 2-702=2402， 所以未滑动前梯子顶端距地面 240cm， 下滑 40cm 后距地面 200cm， 再次利用勾股定理，得 250 2-2002=1502，知下滑后梯足距墙底端
11、150cm，故梯足 将向外滑动 150-70=80(cm).即选 B. 2. 如图，一棵大树在离地面 9m 高的 B 处断裂，树顶 A 落在离树底 BC12m 处，则 大树断裂之前的高度为( ) 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 A.9m B.15m C.21m D.24m 【解析】选 D.由题意得 BC=9m，AC=12m， 在直角三角形 ABC 中， 根据勾股定理得：AB 2=92+122=225， 所以 AB=15m，所以大树的高度是 15+9=24(m). 3. 在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，CE 平分ACD 交 AB 于 E，则下列 结论一定成立的是（
12、） ABC=EC BEC=BE CBC=BE DAE=EC 【解析】根据同角的余角相等可得出BCD=A，根据角平分线的定义可得出 ACE=DCE， 再结合BEC=A+ACE、 BCE=BCD+DCE 即可得出BEC=BCE， 利用等角对等边即可得出 BC=BE， ACB=90， CDAB， ACD+BCD=90， ACD+A=90，BCD=ACE 平分ACD，ACE=DCE 又BEC=A+ACE， BCE=BCD+DCE， BEC=BCE， BC=BE 故选 C 4.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记 载如图 1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的
13、两张正方 形纸片按图 2 的方式放置在最大正方形内若知道图中阴影部分的面积，则一定 能求出 （ ） A直角三角形的面积 B最大正方形的面积 C较小两个正方形重叠部分的面积 D最大正方形与直角三角形的面积和 【解析】设直角三角形的斜边长为c,较长直角边为b，较短直角边为a，由勾 股定理得c 2=a2+b2，阴影部分的面积=c2 b 2 a(cb)=a 2 ac+ab=a(a+bc)， 较小两个正方形重叠部分的长=a(cb)，宽=a，则较小两个正方形 重叠部分底面积=a(a+bc)，知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小 两个正方形重叠部分的面积，故选 C 5. 满足下列条件的ABC，不是直角三
14、角形的是( ) A.b 2=c2-a2 B.abc=345 C.C=A-B D.ABC=121315 【解析】选 D.A 选项，由 b 2=c2-a2得 a2+b2=c2， 所以三角形是直角三角形； B 选项，设 a=3x，则 b=4x，c=5x， 经计算知 a 2+b2=c2，所以三角形是直角三角形； C 选项，由C=A-B， 知C+B=A，又A+B+C=180， 所以 2A=180，即A=90，所以三角形是直角三角形； D 选项，三角形不是直角三角形. 6. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( ) A. 51 B 51 C. 51 D. 5 解析： 先根据勾股定理求出三角形的
15、斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出 A点的坐标图中的直角三角形的两直角边为 1 和 2，斜边长为 1 222 5， 1 到A的距离是 5.那么点A所表示的数为 51.故选 C. 7. 一块木板如图所示，已知 AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，B=90，则木 板 的面积为( ) 第 7 题图 第 8 题图 第 10 题图 A.60 B.30 C.24 D.12 【解析】选 C.连接 AC，由勾股定理得 AC=5， 因为 AC 2+DC2=AD2，所以ACD=90， 所以这块木板的面积= ACCD- ABBC= 512- 43=24. 8. 如图，长方体的底面边长为 1cm 和 3c
16、m，高为 6cm.如果用一根细线从点 A 开 始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要( ) A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm 【解析】选 C.将长方体展开，连接 A，B， 则 AA=1+3+1+3=8(cm)，AB=6cm， 根据两点之间线段最短，AB 2=82+62=100， 所以 AB=10cm. 9. 如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的 B处，点 A 的对应点为 A，且 BC3，则 AM 的长是( ) A1.5 B2 C2.25 D2.5 解析： 连接 BM， MB.设 AMx， 在
17、 RtABM 中， AB 2AM2BM2.在 RtMDB中， MD 2DB2.MBMB，AB2AM2BM2BM2MD2DB2，即 92x2(9 x) 2(93)2，解得 x2，即 AM2.故选 B. 10. 历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形： 其中两个全等的直角 三角形边 AE，EB 在一条直线上，其中用到的面积相等关系是( ) A.SEDA=SCEB B.SEDA+SCEB=SCDE C.S四边形 CDAE=S四边形 CDEB D.SEDA+SCDE+SCEB=S四边形 ABCD 【解析】选 D.由 SEDA+SCDE+SCEB=S四边形 ABCD， 可知 ab+ c 2+ a
18、b= (a+b)2， 所以 c 2+2ab=a2+2ab+b2，整理得 a2+b2=c2， 所以用到的面积相等关系是： SEDA+SCDE+SCEB=S四边形 ABCD. 四 填空题（40 分）. 11. 若在ABC 中，AB=5cm，BC=6cm，BC 边上的中线 AD=4cm，则ADC 的度数是 _. 【解析】因为 AB=5cm，BC=6cm，AD=4cm， 又因为 AD 为 BC 边上的中线， 所以 BD=6 =3(cm)， 所以 AB 2=AD2+BD2， 所以ABD 为直角三角形， 所以ADC=ADB=90， 所以ADC 的度数是 90. 答案：90 12. 如图，在高 3 米，坡面
19、线段距离 AB 为 5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度 至少需_米. 第 12 题图 第 14 题图 第 15 题图 【解析】将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，已知 AB=5 米，AC=3 米， 且在RtABC中， AB为斜边， 则BC 2=AB2-AC2=16， 所以BC=4， 所以AC+BC=3+4=7(米). 答案：7 13.已知 a，b，c 是ABC 的三边长，且满足(c 2-a2-b2)2+|a-b|=0.则 ABC 的形状为_. 【解析】由(c 2-a2-b2)2+|a-b|=0 可得 c2-a2-b2=0，a-b=0，所以 c2=a2+b2，a=b.即 ABC
20、为等腰直角三角形. 答案：等腰直角三角形 14. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，若正方形 A、B、C、D 的面积分别为 2，5，1，2.则最大的正方 形 E 的面积是_ 解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形 A、B 的面积和为 S1，正方形 C、D 的面积和为 S2，S1S2S3，即 S3251210.故答案为 10. 15. 如图，在 22 的正方形网格中有 9 个格点，已经取定点 A 和 B，在余下的 7 个点中任取一点 C，使ABC 为直角三角形的点 C 有_ _个. 【解析】如图，C1，C2，C3，C4均可与点 A 和 B 组成直
21、角三角形. 答案：4 16. 如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，连接 AC，BD.若ACB90，ACBC,AB BD,则ADC 【解析】 过点D 作DE AB 于点E， 过点C作 CFAB垂足为F， 由ACB90， ACBC,得ABC是等腰直角三角形， 由三线合一得CF为中线， 从而推出2CF AB， 由 ABCD 得 DECF，由 ABBD 得 BD2DE，在 RtDEB 中利用三角函数可得 ABD30，再由 ABBD 得BADADB75，最后由 ABCD 得BAD ADC180求出ADC105. 17. 如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，P 为 AD 上一点，将ABP 沿
22、 BP 翻折至 EBP，PE 与 CD 相交于点 O，且 OE=OD，则 AP 的长为_. 第 17 题图 第 19 题图 第 20 题图 【解析】如图：设 AP=x，则 DP=AD-AP=6-x， 因为将ABP 翻折至EBP， 所以 EP=AP=x，EB=AB=8，E=A=90， 因为D=E=90，OE=OD，DOP=EOF，所以DOP EOF， 所以 EF=DP=6-x，OP=OF， 因为 OE=OD，所以 DF=PE=x，所以 CF=CD-DF=8-x， 因为 EF=6-x，BE=8， 所以 BF=BE-EF=8-(6-x)=x+2， 在 RtBCF 中，CF 2+BC2=BF2， 所以
23、(8-x) 2+62=(x+2)2，解得 x=4.8，所以 AP=4.8. 答案：4.8 A C B E D 18. 若一个三角形的三边之比为 94041，且周长为 180cm，则它的面积为 _cm 2. 【解析】 设三角形的三边分别为9xcm， 40 xcm和41xcm， 由题意得9x+40 x+41x=180， 解得 x=2.则 9x=18，40 x=80，41x=82.因为 18 2+802=822，所以此三角形为直角三 角形，所以这个三角形的面积为 1880=720(cm 2). 答案：720 19. 如图，RtABC 中，AB3，AC6 2，点 D，E 分别是边 BC，AC 上的动点
24、， 则 DADE 的最小值为 【解析】作 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AA，交 BC 于 F，过 A作 AEAC 于 E，交 BC 于 D，则 ADAD，此时 ADDE 的值最小，就是 AE 的长； （如答图） RtABC 中，BAC90，AB3，AC6 2， BC32(6 2)29， SABC1 2ABAC 1 2BCAF， 36 29AF，解得 AF2 2， AA2AF4 2， AFDDEC90，ADFCDE， AC， AEABAC90， AEABAC， AA AE BC AC，即 4 2 AE 9 6 2， AE16 3 ，即 ADDE 的最小值是16 3 ； 故答案为：16 3
25、 20. 把两个同样大小含 45的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺 的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 A,且另外三个锐角顶点 B,C,D 在同一直线上,若 AB2,则 CD_. 【解析】在等腰直角ABC 中,AB2,BC2 2,过点 A 作 AMBD 于点 M,则 AMMC 1 2 BC2,在 RtAMD 中,ADBC2 2,AM2,MD6,CDMD MC62. 解答题（50 分）. 21. 如图，在四边形 ABCD 中，ABBCCDDA=2231，且ABC= 90，求DAB 的度数. 【解析】设 AB=2a，BC=2a，CD=3a，DA=a. 因为ABC=90，AB=BC
26、， 所以BAC=BCA=45， 在 RtABC 中，AC 2=AB2+BC2=(2a)2+(2a)2=8a2， 又 AD 2=a2，CD2=(3a)2=9a2. 所以 AC 2+AD2=CD2， 所以ACD 是以CAD 为直角的直角三角形， 所以CAD=90， 所以DAB=BAC+CAD =45+90=135. 22. 如图，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13米， 此人以0.5米每秒的速度收绳 问6秒后船向岸边移动了多少米(假 设绳子始终是直的，结果保留根号)? 解析：开始时，AC5 米，BC13 米，即可求得AB的值，6 秒后根据BC，AC长 度即可
27、求得AB的值，然后解答即可 解： 在 RtABC中，BC13 米，AC5 米， 则ABBC 2AC212 米.6 秒后， BC 130.5610 米，则ABBC 2AC25 3(米)，则船向岸边移动的距 离为(125 3)米 23. 如图，在ABC 中，ACB90，AB13cm，BC5cm，CDAB 于 D，求： (1)AC 的长； (2)SABC； (3)CD 的长 解析：(1)在ABC 中，ACB90，AB13cm，BC5cm，ACAB 2BC2 12cm； (2)SABC1 2CBAC 1 251230(cm 2)； (3)SABC1 2ACBC 1 2CDAB，CD ACBC AB 6
28、0 13cm 24. 如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中， 的顶点 ， ， 均在格点上. （1）的大小为_（度） ； （2）在如图所示的网格中， 是边上任意一点. 为中心，取旋转角等于，把点 逆 时针旋转，点 的对应点为 .当最短时，请用无刻度 的直尺，画出点 ，并简要说明点 的 位置是如何找到的（不要求证明）_ 【解析】分析： （1）利用勾股定理即可解决问题； （2）如图，取格点 ， ，连接交于点 ；取格点， ，连接交延长线于点 ； 取格点 ，连接交延长线于点 ，则点 即为所求. 详解： （1）每个小正方形的边长为 1， AC=，BC=，AB=, ABC 是直角三角形，且C=90 故答
29、案为 90； （2）如图，即为所求. 25. 如图，铁路上 A，B 两点相距 25km，C，D 为两村庄，DAAB 于点 A，CBAB 于点 B， 已知 DA=15km， CB=10km， 现在要在铁路 AB 附近建一个土特产收购站 E， 使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在距 A 站多少千米处？ 【解析】 设 AE=xkm， 因为 C， D 两村到 E 站的距离相等， 所以 DE=CE， 即 DE 2=CE2， 由勾股定理，得 15 2+x2=102+(25-x)2，x=10. 故 E 站应建在距 A 站 10km 处. 26. 已知：整式A=(n 2 1) 2+(2n)
30、2，整式 B0 尝试 化简整式A 发现 A=B 2，求整式 B 联想 由上可知，B 2=(n2 1) 2+(2n)2，当 n1 时，n 2 1，2n，B为直角三角 形的三边长，如图填写下表中B的值： 直角三角形三边 n 2 1 2n B 勾股数组 / 8 _ 勾股数组 35 / _ 【解析】A=(n 2 1) 2+(2n)2=n4 2n 2+ 1+4n 2=n4+2n2+1=(n2+1)2，A=B2， B0，B=n 2+1，当 2n=8 时，n=4， n 2+1=42+1=17；当 n2 1=35 时， n 2+1=37，故答案为 17；37. 27. 如图，长方体的长BE15cm，宽AB10cm，高AD20cm，点M在CH上， 且CM5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最 短距离是多少？ 解：分两种情况比较最短距离： 如图所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM10 2（205）25 29(cm)，如 图所示， 蚂蚁爬行最短路线为AM，AM 20 2（105）225(cm) 5 29 25，第二种短些，此时最短距离为 25cm. 答：需要爬行的最短距离是 25cm.
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