1、2 2020020- -20212021 学年度第一学期高三学情检测试卷学年度第一学期高三学情检测试卷 数学数学 一、选择题 1.设集合，则( ) A. B. C. D. 2.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （ ） A.( )2xf x B. ( )|f xx x C. 1 ( )f x x D.( )lg|f xx 3.函数ln(1)yxx的定义域为（ ） A.（0,1） B.0,1) C.(0,1 D.0,1 4已知三棱锥ABCD四个顶点均在半径为R的球面上，且 22ACBCAB，若该三棱锥体积的最大值为 1，则这个球的表面积为（ ） A. 81 500 B. 4 C. 9
2、25 D. 9 100 5 已知( )fx是函数( )f x的导函数， 且对任意的实数x都有 e23 x fxxf x， 01f，则不等式( )5 x f xe的解集为（ ） A4,1 B ( 1,4) C(, 4)(1,) U D( , 1)(4,) 6 函数的图象大致为（ ） 7已知定义在上的奇函数，对于都有，当 时，则函数在内所有的零点之和为 （ ） A6 B8 C10 D12 x y -1 0 1 A x y 1 0 2 -2 -1 B x y 1 2 -2 -1 0 C x y 1 -2 -1 0 2 D 8已知 1 3 24 1 ,log 3,log 7 2 abc ， 则a，b，
3、c的大小关系为（ ） Aabc Bbac Cacb D cab 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9若 0a1，bc1，则( ) A. b c a 1 B.ca ba c b C.c a1ba1 D.logcalogba 10. 关于函数 sinsinfxxx有下述四个结论，其中正确的结论是（ ） A. fx是偶函数 B. fx在区间, 2 单调递增 C. fx在 , 有四个零点 D. fx的最大值为 2 11.已知函数 f(x)= + 4 (n 为正整数
4、)，则下列判断正确的是 ( ) A.函数 f(x)始终为奇函数 B.当 n 为偶数时，函数 f(x)的最小值为 4 C.当 n 为奇数时，函数 f(x)的极小值为 4 D.当 n=1 时，函数 y= f(x)的图象关于直线 y=2x 对称 12.已知mN *,若对任意的 x1, 2, x+ 4 恒成立,则实数 m的值可以为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填写在题中的横线上。 13函数的单调递增区间是_ 14已知函数f（x）的定义域为（0，+），且满足f（x）+xf（x）0（f（x） 是f（x）的导函数），则不
5、等式（x-1）f（x 2-1）f（x+1）的解集为_ 15已知平面向量a(1,2)，b(4,2)，camb(mR)，且c与a的夹角等于c 与b的夹角，则m_. 16 已 知cba,分 别 为ABC三 个 内 角CBA,的 对 边 ， a=1 ， 且 (1)(sinsin)sin,bABcbC（则ABC面积的最大值为_ 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤。) 17设函数，其中 （1）当 m=0 时，求函数的极值； （2）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围 18. 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知bc2acosB
6、 (1)证明：A2B； (2)若ABC的面积S 2 4 ，求角A的大小 19.如图，在四棱锥 中，PA底面 ABCD，AD AB，ABCD,AD=DC=AP=2,AB=1.点为棱的中点。 （1）证明：PD面 ABE； （2）若F为棱PC上一点，满足 BFAC，求二面角 F AB D的余弦值。 20.2020 年 9 月 3 日，工业和信息化部消费品工业司发布 2020 年 17 月全国家用电 冰箱产量4691.3万台， 同比下降2.0%； 房间空气调节器产量12353.0万台， 同比下降14.0%； 家用洗衣机产量 3984.9 万台，同比下降 2.6%。为此，一公司拟定在 2020 年双 1
7、1 淘宝购 物节期间举行房间空气调节器的促销活动，经测算该产品的年销售量 P 万件（生产量与销 售量相等） 与促销费用 x 万元满足 = 30 200 +10(其中 ,a 为正常数).已知 2020 年生 产该产品还需投入成本 100+2P 万元（不含促销费用） ，产品的销售价格定为4 + 200 元/件. （）试将 2020 年该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； （）问：2020 年该公司促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 21. 已知椭圆：过点，右焦点是抛物线 的焦点 （1）求椭圆的方程； （2）已知动直线 l 过右焦点，且与椭圆分别交于，两点试问轴上是 否存在定
8、点，使得恒成立？若存在求出点的坐标；若不存在，说 明理由 22.已知函数，函数的图象在处的切线与直 线平行. （1）求实数a的值； （2） 若函数 ( )g x存在单调递减区间，求实数b的取值范围； （3）设 1212 xx xx， （）是函数( )g x的两个极值点，且 7 2 b ，试求 12 ()()g xg x的最小 值. 2020-2021 学年度第一学期高三学情检测试卷 数学参考答案 1-5 DBBDA 6-8 DC 9.AD 10.BCD 11. BC 12. ABC 13. （2,5） 14. (1,2) 15.m=1 2 16 3 4 17解：（）当 m=0 时，f(x)=
9、-x 2+3. 此时，则. 由，解得. 由; ; 在，上单调递减，在上单调递增. 所以有极小值，有极大值. （）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线 ，有且只有两个公共点”. 对函数求导，得. 由，解得，. 由; 由. 在，上单调递减，在上单调递增. 又因为， 所以当或时， 直线与曲线，有 且只有两个公共点. 当或时，函数在区间上有两个零点. 18. （）证明：b+c=2acosB， sinB+sinC=2sinAcosB， sinB+sin（A+B）=2sinAcosB sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB sinB=sinAcosB-cosAs
10、inB=sin（A-B） A，B是三角形中的角， B=A-B， A=2B； （）解：ABC的面积S= 2 4 ， bcsinA= 2 4 ， 2bcsinA=a 2， 2sinBsinC=sinA=sin2B， sinC=cosB， B+C=90，或C=B+90， A=90或A=45 19(1)证明见解析.(2) 10 10 . 详解：依题意，以点为原点，以、AD、AP为轴建立空间直角坐标系如图， 可得(1,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2) 由为棱的中点，得(1,1,1) （1）向量 = (0,1,1), = (0,2,2) 故 = 0, ,又 AB面 PAD.所以AB
11、面 PD。故 PD 面 ABE （2） = (1,2,0), = (2,2,2), = (2,2,0), = (1,0,0) 由点在棱上，设 = ,0 1 故 = + = + = (1 2,2 2,2) 由 ，得 = 0 因此，2(1 2) + 2(2 2) = 0, = 3 4 即 = ( 1 2, 1 2, 3 2) 设1 = (,)为平面的法向量，则1 = 0 1 = 0 ，即 = 0 1 2 + 1 2 + 3 2 = 0 不妨令 = 1，可得1 = (0,3,1)为平面的一个法向量 取平面的法向量2 = (0,0,1)，则cos1 ,2 = 1 2 | 1 |2 | = 1 10 =
12、 10 10 所以二面角 的余弦值为 10 10 20. （）由题意，得 y=(4+. = 30 200 +10,将其代入上式并化简，得 = 160 400 +10 （）. 此即为所求产品的利润y关于促销费用x的函数关系式. （）由（）得， 当且仅当 400 +10 = + 10，即x=10时，上式取等号. 当a时, 促销费用需投入10万元，厂家的利润最大； 2 当 0a10 时,易得 2 22 400400(10) 1 (10)(10) x y xx ,由于， 0a10， ， 函数在上单调递增， 当时,函数 = 160 400 +10 有最大值即促销费用投入 a 万元时，厂家的利 润最大.
13、综上,当 a时, 促销费用投入 10 万元，厂家的利润最大； 当 a10 时, 促销费用投入 a 万元，厂家的利润最大. 21. 【答案】 （1）； （2）存在， 【解析】 （1）因为椭圆过点，所以 又抛物线的焦点为，所以，所以， 解得（舍去）或 所以椭圆的方程为 （2）假设在轴上存在定点，使得， 当直线 l 的斜率不存在时，则， ，由，解得或； 当 直 线 l 的 斜 率 为时 ， 则， ，由，解得或 由可得，即点的坐标为 下面证明当时，恒成立， 当直线 l 的斜率不存在或斜率为 时，由知结论成立 当直线斜率存在或且不为时，设其方程为， ， 由，得， 直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点， 且， ， 所以 综上所述，在轴上存在定点，使得恒成立 22. 解：（），. 切线与直线平行， ，. （）易得()， (). 由题意，知函数存在单调递减区间,等价于在上有解， ，则故可设. 而，所以，要使在上有解， 则只须， 即， 故所求实数 b 的取值范围是. （）由（）知， 令，得. ()是函数的两个极值点， ()是方程的两个根， ，. 令， 且. ， 化简整理，得,解得或. 而，. 又，函数在单调递减， . 故的最小值为.
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