1、3 简谐运动的图像和公式简谐运动的图像和公式 学科素养与目标要求 物理观念：1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.知道简谐运动的数学表达式. 科学思维：1.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.2.能从 简谐运动的图像和表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息. 一、简谐运动的图像 1.图像的建立 以横轴表示做简谐运动的物体的运动时间 t，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平 衡位置的位移 x. 2.图像的特点：简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线. 3.由简谐运动的图像，可找出物体振动的周期和振幅. 二、简谐运动的表达式及相位 简谐
2、运动的表达式 xAsin (t). (1)式中 x 表示振动质点相对于平衡位置的位移；t 表示振动的时间. (2)A 表示振幅. (3) 称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动振动的快慢，与周期 T 及频率 f 的关系： 2 T 2f. 所以表达式也可写成： xAsin 2 T t 或 xAsin (2ft). (4)2ft 代表简谐运动的相位；其中 是 t0 时的相位，称为初相位或初相. 1.一质点做简谐运动，其位移 x 与时间 t 的关系曲线如图 1 所示，根据图像，判断下列说法的 正误. 图 1 (1)质点振动的频率是 4 Hz.( ) (2)质点振动的振幅是 2 cm.( ) (3)在
3、 t3 s 时，质点的速度最大.( ) (4)在 t4 s 时，质点所受的合外力为零.( ) 2.有一弹簧振子，振幅为 0.8 cm，周期为 0.5 s，初始时(t0)具有正的最大位移，则它的振动 方程是 x m. 答案 0.008sin (4t 2) 一、简谐运动的图像 1.甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的 xt 图像： 如图所示，取一张白纸，在正中间画一条直线 OO，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使 铅笔尖从 O 点沿垂直于 OO方向振动画线，乙同学沿 OO 方向水平向右匀速拖动白纸. (1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？ (2)乙同学匀速向右慢慢拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样
4、的？ (3)分析白纸慢慢拖动时画出的曲线，沿 OO与垂直 OO方向分别建立坐标轴，说说两坐 标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么物理意义？ 答案 (1)是一条垂直于 OO的线段. (2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线. (3)垂直 OO 方向的轴为位置坐标轴 x(如果以平衡位置为出发点，也可以说是位移坐标轴)， 沿OO方向的轴为时间轴t.图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以平衡位置为出发点) 或位置. 2.绘制简谐运动的 xt 图像 如图所示，使漏斗在竖直平面内做小角度摆动，并垂直于摆动平面匀速拉动薄板，则细沙在 薄板上形成曲线.若以漏斗的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立 x 轴
5、，垂直于振动方向 建立 t 轴，则这条曲线就是漏斗的位移时间图像.为什么这条曲线能描述漏斗的位移随时间 变化的规律？ 答案 当单摆(漏斗)摆动时，薄板从左向右匀速运动，所以薄板运动的距离与时间成正比， 因此可用薄板运动的距离代表时间轴，图像上每一个点的位置反映了不同时刻摆球(漏斗)离 开平衡位置的位移，即位移随时间变化的规律. 1.对 xt 图像的理解 xt 图像上的 x 坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标.它反映了振子位 移随时间变化的规律，不是振子的运动轨迹. 2.图像的应用 (1)确定振动物体在任一时刻的位移.如图 2 所示，对应 t1、t2时刻的位移分别为 x17 c
6、m，x2 5 cm. 图 2 (2)确定振动的振幅.由图可知，振动的振幅是 10 cm. (3)确定振动的周期和频率.由图可知，T0.2 s，频率 f1 T5 Hz. (4)确定各质点的振动方向.例如图中的 t1时刻， 质点正远离平衡位置向正方向运动； 在 t3时刻， 质点正从负方向向着平衡位置运动. (5)比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如在图中 t1时刻质点位移 x1为正，则加速度 a1为 负，t2时刻质点位移 x2为负，则加速度 a2为正，又因为|x1|x2|，所以|a1|a2|. 例 1 如图 3 所示为某一弹簧振子做简谐运动的图像，则( ) 图 3 A.振动的振幅为 6 m B.
7、振动的周期为 6 s C.t1.5 s 时和 t2.5 s 时，振子的速度相同 D.t2.5 s 时，振子的加速度正在减小，沿 x 轴的负方向 答案 C 解析 由题图知，振子运动的周期为 T4 s，振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由题图 知，振幅 A3 cm，故 A、B 错误；在 t1.5 s 时和 t2.5 s 时，据题图可知，振子关于平衡 位置对称，所以两时刻速度大小相等，方向相同，沿 x 轴的负方向，故 C 正确；t2.5 s 时， 振子正远离平衡位置，位移增大，其加速度增大，故 D 错误. 针对训练 如图 4 甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以 O 点为平衡位置，在 a、b
8、两点之间做简谐运动(以向右为正方向)，其振动图像如图乙所示.由振动图像可知( ) 图 4 A.振子的振动周期等于 t1 B.在 t0 时刻，振子的位置在 a 点 C.在 tt1时刻，振子的速度为零 D.从 t1到 t2，振子正从 O 点向 b 点运动 答案 D 解析 振子的振动周期是振子完成一个周期性变化所用的时间，由题图乙可直接读出其周期 T2t1，故 A 错误；由题图乙知在 t0 时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，所以振子 的位置在 O 点，故 B 错误；在 tt1时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，速度最大， 故 C 错误；从 t1到 t2，振子的位移从 0 变化到正向最大，说明振
9、子正从 O 点向 b 点运动，故 D 正确. 二、简谐运动的表达式及相位差 1.将两个相同的单摆向同一方向拉开相同的角度，然后同时静止释放.两个单摆的振动有什么 特点？它们的相位差是多大？ 答案 它们同时到达同侧的最大位移处，也同时到达平衡位置，它们总是“步调一致”，相 位相同，相位差为 0. 2.将两个摆长相同的单摆向相反方向拉开相同的角度，然后同时静止释放，观察两个单摆的 振动有什么特点？它们的相位差是多大？ 答案 它们各时刻的位移总是相反，相位差为 . 3.如图所示是弹簧振子做简谐运动的 xt 图像，它是一条正弦曲线，请根据数学知识写出此 图像的函数表达式，并说明各量的物理意义. 答案
10、表达式 xAsin (2 T t)，式中 A 表示振幅，T 表示周期， 表示初相位.图中 0，故 此图像表达式为 xAsin 2 T t. 1.简谐运动的表达式的理解 2.从表达式 xAsin (2ft)体会简谐运动的周期性.当 (2ft2)(2ft1)2n 时， t2n 2fnT，振子位移相同，每经过周期 T 完成一次全振动. 3.从表达式 xAsin (2ft)体会特殊点的值.当(2ft)等于 2n 2(n0,1,2)时，sin (2ft )1，即 xA；当(2ft)等于 2n3 2 (n0,1,2)时，sin (2ft)1，即 xA； 当(2ft)等于 n(n0,1,2)时，sin (2
11、ft)0，即 x0. 例 2 (多选)一弹簧振子 A 的位移 x 随时间 t 变化的关系式为 x0.1sin 2.5t，位移 x 的单位 为 m，时间 t 的单位为 s.则( ) A.弹簧振子的振幅为 0.2 m B.弹簧振子的周期为 1.25 s C.在 t0.2 s 时，振子的运动速度为零 D.若另一弹簧振子 B 的位移 x 随时间 t 变化的关系式为 x0.2sin 2.5t 4 ，则 A 滞后 B 4 答案 CD 解析 由振动方程 x0.1sin 2.5t， 可读出振幅为 0.1 m， 圆频率 2.5 rad/s， 故周期 T2 2 2.5 s0.8 s，故 A、B 错误；在 t0.2
12、 s 时，振子的位移最大，速度最小，为零，故 C 正 确；两振动的相位差 4，即 B 超前 A 4，或者说 A 滞后 B 4，D 正确. 学科素养 例 2 考查了对简谐运动表达式的理解.应用简谐运动的表达式解决相关问题时， 首先应明确振幅 A，周期 T、频率 f 的对应关系，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对 应，找到关系.在解题过程中，回顾了物理概念和规律，锻炼了学生从物理学视角对客观事物的 本质属性、内在规律及相互关系认识的能力，体现了“物理观念”与“科学思维”学科素养. 例 3 如图 5 所示，一弹簧振子在 M、N 间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点 O 为平衡位 置，MN8 cm.
13、从小球经过图中 N 点时开始计时，到第一次经过 O 点的时间为 0.2 s，则小球 的振动周期为 s，振动方程为 x cm. 图 5 答案 0.8 4cos 5 2 t 解析 从 N 点到 O 点刚好为T 4，则有 T 40.2 s， 故 T0.8 s；由于 2 T 5 2 rad/s，而振幅为 4 cm， 从最大位移处开始振动，所以振动方程为 x4cos 5 2 t cm. 三、简谐运动的周期性和对称性 如图 6 所示 图 6 (1)时间的对称 物体来回通过相同两点间的时间相等，即 tDBtBD. 物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等， 图中 tOBtBOtOAtAO，tODtD
14、O tOCtCO. (2)速度的对称 物体连续两次经过同一点(如 D 点)的速度大小相等，方向相反. 物体经过关于 O 点对称的两点(如 C 与 D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反. (3)位移的对称 物体经过同一点(如 C 点)时，位移相同. 物体经过关于 O 点对称的两点(如 C 与 D)时，位移大小相等、方向相反. 例 4 如图 7 所示， 弹簧振子以 O 点为平衡位置， 在 B、 C 两点间做简谐运动， 在 t0 时刻， 振子从 O、B 间的 P 点以速度 v 向 B 点运动；在 t0.2 s 时，振子速度第一次变为v；在 t 0.5 s 时，振子速度第二次变为v，已知 B
15、、C 之间的距离为 25 cm. 图 7 (1)求弹簧振子的振幅 A； (2)求弹簧振子的振动周期 T 和频率 f. 答案 (1)12.5 cm (2)1 s 1 Hz 解析 (1)弹簧振子以 O 点为平衡位置，在 B、C 两点间做简谐运动，所以振幅是 B、C 之间 距离的1 2，所以 A 25 2 cm12.5 cm. (2)由简谐运动的对称性可知从P 到B 的时间与从B 返回到P 的时间是相等的，所以tBP0.2 2 s 0.1 s 同理可知：tPO0.3 2 s0.15 s 又 tPOtBPT 4 联立得：T1 s，所以 f1 T1 Hz. 1.(简谐运动的图像)(多选)(2018 嘉兴
16、市高二第一学期期末)如图 8 所示为一质点的振动图像， 曲线满足正弦变化规律，则下列说法中正确的是( ) 图 8 A.该振动为简谐运动 B.该振动的振幅为 10 cm C.质点在前 0.12 s 内通过的路程为 20 cm D.0.04 s 末，质点的振动方向沿 x 轴负方向 答案 AD 解析 该图像表示质点的位移随时间周期性变化的规律，是简谐运动，故 A 正确；由题图可 知该振动的振幅为 5 cm，故 B 错误；由题图可知质点振动的周期为 0.08 s,0.12 s11 2T，质点 通过的路程为 6A30 cm，故 C 错误；根据振动规律可知，0.04 s 末质点的振动方向沿 x 轴 负方向
17、，故 D 正确. 2.(简谐运动的表达式)一个小球和轻质弹簧组成的系统， 按 x15sin (8t1 4) cm 的规律振动. (1)求该振动的周期、频率、振幅和初相； (2)另一简谐运动表达式为 x25sin (8t5 4) cm，求它们的相位差. 答案 (1)1 4 s 4 Hz 5 cm 4 (2) 解析 (1)已知 8 rad/s，由 2 T 得 T1 4 s， f1 T4 Hz. 由 x15sin (8t1 4) cm 知 A5 cm， 1 4. (2)由 (t2)(t1)21 得 5 4 4. 3.(简谐运动的表达式)如图 9 所示为 A、B 两个简谐运动的位移时间图像.请根据图像
18、回答： 图 9 (1)A 的振幅是 cm，周期是 s；B 的振幅是 cm，周期是 s. (2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式； (3)在 t0.05 s 时两质点的位移分别是多少？ 答案 (1)0.5 0.4 0.2 0.8 (2)xA0.5sin (5t) cm，xB0.2sin 2.5t 2 cm (3)xA 2 4 cm，xB0.2sin 5 8 cm 解析 (1)由题图知：A 的振幅是 0.5 cm，周期是 0.4 s；B 的振幅是 0.2 cm，周期是 0.8 s. (2)t0 时刻 A 中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，A，由 TA0.4 s，得 A2 TA 5
19、rad/s.则 A 简谐运动的表达式为 xA0.5sin (5t) cm.t0 时刻 B 中振动的质点从平衡 位置沿正方向已振动了1 4周期，B 2，由 TB0.8 s 得 B 2 TB2.5 rad/s，则 B 简谐运动的 表达式为 xB0.2sin 2.5t 2 cm. (3)将 t0.05 s 分别代入两个表达式中得：xA0.5sin (50.05) cm0.5 2 2 cm 2 4 cm，xB0.2sin 2.50.05 2 cm0.2sin 5 8 cm. 4.(简谐运动的周期性和对称性)如图 10 所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速 度通过 a、b 两点，经历时间 ta
20、b1 s，过 b 点后再经 t1 s 质点第一次反向通过 b 点.O 点 为平衡位置，若在这两秒内质点所通过的路程是 8 cm，试求该质点的振动周期和振幅. 图 10 答案 4 s 4 cm 解析 简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过 a、b 两点时的速度相同，根据简 谐运动的对称性，可知质点从 b 点返回 a 点所用的时间必与从 a 点到 b 点所用的时间相同， 即 tbatab1 s，质点从 a 点经最左端位置 d 再返回 a 点所用的时间 tada必与质点从 b 点经最 右端位置 c 再返回 b 点所用的时间 tbcb相等，即 tadatbcbt1 s. 综上所述，质点的振动周期为 Ttabtbcbtbatada4 s.由题图和简谐运动的对称性可知， 质点在一个周期内通过的路程为 s2 ab 2 bc 2 ad 2( ab 2 bc )28 cm16 cm. 所以质点的振幅为 As 44 cm.
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