1、已知一个关于 a 的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是 （ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 3 （3 分）下列语句是真命题的是（ ） A对顶角相等 B底边相等的两个等腰三角形全等 C已知 a24，求 a 的值 D若 ab，则 a2b2 4 （3 分）已知实数 x，y 满足，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周 长是（ ） A20 或 16 B20 C16 D以上答案均不对 5 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，AB12cm，BC3cm，CD4
2、cm，C90若ABD 90，则 AD 为（ ） A13cm B6cm C12cm D6cm 第 2 页（共 26 页） 6（3 分） 对于命题 “如果1+290， 那么12” ， 能说明它是假命题的反例是 （ ） A150，240 B150，250 C1245 D140，240 7 （3 分）满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是（ ） Ab2c2a2 Ba：b：c5：12：13 CA：B：C3：4：5 DCAB 8 （3 分）如图，已知 ABAD，那么添加下列一个条
3、件后，仍无法判定ABCADC 的 是（ ） ACBCD BBACDAC CBCADCA DBD90 9 （3 分）若方程组的解 x，y 满足 0 x+y1，则 k 的取值范围是（ ） A1k0 B4k0 C0k8 Dk4 10 （3 分）如图所示，BEAC 于点 D，且 ADCD，BDED，若ABC54，则E （ ） A25 B27 C30 D45 11 （3 分）如图，ABC 中，ACB90，B30，AD 是角平分线，DEAB 于 E， AD、CE 相交于点 H，则图中的等腰三角形有（ ） A2 个 B
4、3 个 C4 个 D5 个 第 3 页（共 26 页） 12 （3 分）如图，RtABC 中，C90，AC3，BC4分别以 AB、AC、BC 为边在 AB 的同侧作正方形 ABEF、 ACPQ、 BCMN， 四块阴影部分的面积分别为 S1、 S2、 S3、 S4 则 S1+S2+S3+S4等于（ ） A14 B16 C18 D20 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）命题“如果 a0，那么 a20”的逆命题为 14 （3 分）ABC 中，
5、若A80，B50，AC5，则 AB 15 （3 分）不等式组有 3 个整数解，则 m 的取值范围是 16 （3 分）如图所示，将长方形 ABCD 沿着 BD 折叠得到BDE，若 AB4，BC8，则 BOD 的面积为 17 （3 分）选做题：如图，在锐角ABC 中，AB2，BAC60，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 18 （3 分）如图，ABC 中，C90，AB5cm，BC3cm若动点 P
6、 从点 C 开始， 按 CABC 的路径运动， 且速度为每秒 1cm， 设出发的时间为 t 秒， 问 t 为 秒 时，BCP 为等腰三角形 第 4 页（共 26 页） 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （6 分） （1）解不等式：2（x+1）13x+2，并把它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出它的所有非负整数解 20 （6 分）如图，在ABC 和ADE 中，ABAE，BE，12 求证：BCED 21 （6
7、 分）如图，点 C、D 为AOB 内的两点，求作一点 P，使 PCPD，且 P 到 OA、OB 的距离相等 （不写作法，保留作图痕迹） 22 （3 分）如图，阴影部分是由 5 个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在 如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形 23 （3 分）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共 10 辆，其中轿车至少要购买 3 辆，轿车 每辆 7 万元，面包车每辆 4 万元，公司可投入的购车款不超过 55 万元； 第 5 页（共 26 页） （1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
8、 （2）如果每辆轿车的日租金为 200 元，每辆面包车的日租金为 110 元，假设新购买的这 10 辆车每日都可租出，要使这 10 辆车的日租金不低于 1500 元，那么应选择以上哪种购 买方案？ 24 （10 分）如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 BC，AB，AC 上，连结 CE，DE， EF，AD，若 AEAC，EFBC，EC 平分DEF 求证：EDCD，ADEC 25 （10 分）如图，在等边三角形 ABC 的 AC，BC 边上各取一点 P，Q，使 APCQ，连结 AQ，BP 相交于点 O （1）写出图中所有的全等
9、三角形，并选择其中一对加以证明； （2）求BOQ 的度数； （3）连结 OC，若 OCBP，求的值 26 （12 分）如图，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与点 A，B 重合） ，作直 线 CP，分别过点 A，B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为斜边 AB 的中点 第 6 页（共 26 页） （1）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 ，QE 与 QF 的数量 关系是 ； （2）如图 2，当点 P
10、在线段 AB 上（不与点 Q 重合）时，试猜想 QE 与 QF 的数量关系， 并说明理由； （3）如图 3，当点 P 在线段 BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否仍成立？请说明 理由 第 7 页（共 26 页） 2018-2019 学年浙江省宁波市八年级（上）期中数学试卷学年浙江省宁波市八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
11、;A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：A 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念 2 （3 分）已知一个关于 a 的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是 （ ） &nbs
12、p; Aa2 Ba2 Ca2 Da2 【分析】根据数轴得出不等式的解集即可 【解答】解：从数轴可知：关于 a 的不等式的解集是 a2， 故选：D 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，能根据数轴得出正确信息是解此题的 关键 第 8 页（共 26 页） 3 （3 分）下列语句是真命题的是（ ） A对顶角相等 B底边相等的两个等腰三角形全等 C已知 a24，求 a 的值 D若 ab，则 a2b2 【分析】根据对顶角相等，等腰三角形的判定，命题的定
13、义，不等式的性质对各选项分 析判断即可得解 【解答】解：A、对顶角相等，是真命题，故本选项正确； B、底边相等的两个等腰三角形全等，错误，因为两个底角不一定相等，故本选项错误； C、已知 a24，求 a 的值，不是命题，故本选项错误； D、若 ab，则 a2b2，错误，例如：a2，b3，则不成立，故本选项错误 故选：A 【点评】 本题主要考查命题的真假判断， 正确的命题叫真命题， 错误的命题叫做假命题 判 断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 4 （3 分）已知实数 x，y 满足，则以 x，y 的值为两边长
14、的等腰三角形的周 长是（ ） A20 或 16 B20 C16 D以上答案均不对 【分析】根据非负数的意义列出关于 x、y 的方程并求出 x、y 的值，再根据 x 是腰长和底 边长两种情况讨论求解 【解答】解：根据题意得 ， 解得， （1）若 4 是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8， 不能组成三角形； （2）若 4 是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， 能组成三角形，周长为 4+8+820 故选：B 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数
15、的性质及三角形三边关系；解题主要利 第 9 页（共 26 页） 用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三 角形做出判断根据题意列出方程是正确解答本题的关键 5 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，AB12cm，BC3cm，CD4cm，C90若ABD 90，则 AD 为（ ） A13cm B6cm C12cm D6cm 【分析】根据勾股定理得出 BD，进而利用勾股定理得出 AD 即可 【解答】解：BC3cm，CD4cm，C90， BDcm， ABD90，AB
16、12cm， ADcm， 故选：A 【点评】本题考查了勾股定理的运用，考查了勾股定理逆定理的运用，本题中准确运用 勾股定理是解题的关键 6（3 分） 对于命题 “如果1+290， 那么12” ， 能说明它是假命题的反例是 （ ） A150，240 B150，250 C1245 D140，240 【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子 【解答】解：A、满足条件1+290，也满足结论12，故 A 选项错误； B、不满足条件，故 B 选项错误； C、满足条
17、件，不满足结论，故 C 选项正确； D、不满足条件，也不满足结论，故 D 选项错误 故选：C 【点评】理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键 7 （3 分）满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是（ ） Ab2c2a2 Ba：b：c5：12：13 CA：B：C3：4：5 DCAB 第 10 页（共 26 页） 【分析】 根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解 【解答】解：A、由 b2c2a2，可得：b2c2+a2，是直角三角形，故本
18、选项错误； B、由 a：b：c5：12：13，可得（5x）2+（12x）2（13x）2，是直角三角形，故本选 项错误； C、由A：B：C3：4：5，可得：C75，不是直角三角形，故选项正确； D、由CAB，可得A90，是直角三角形，故本选项错误； 故选：C 【点评】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆 定理 8 （3 分）如图，已知 ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC 的 是（ ） ACBCD BBACDAC CBCADCA DBD90 【分析
19、】要判定ABCADC，已知 ABAD，AC 是公共边，具备了两组边对应相等， 故添加 CBCD、BACDAC、BD90后可分别根据 SSS、SAS、HL 能判 定ABCADC，而添加BCADCA 后则不能 【解答】解：A、添加 CBCD，根据 SSS，能判定ABCADC，故 A 选项不符合题 意； B、添加BACDAC，根据 SAS，能判定ABCADC，故 B 选项不符合题意； C、添加BCADCA 时，不能判定ABCADC，故 C 选项符合题意； D、添加BD90，根据 HL，能判定ABCADC，故 D 选项不符合题意； 故选：C
20、 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法， 判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、 ASA、AAS、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与， 第 11 页（共 26 页） 若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 9 （3 分）若方程组的解 x，y 满足 0 x+y1，则 k 的取值范围是（ ） A1k0 B4k0 C0k8 Dk4 【分析】方程组两方程相加，表示出 x+y，代入已知不等式求出 k 的范围即可 【解答】解：方程组两方
21、程相加得：4x+4yk+4，即 x+y， 根据题意得：01，即 0k+44， 解得：4k0 故选：B 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各种解 法是解本题的关键 10 （3 分）如图所示，BEAC 于点 D，且 ADCD，BDED，若ABC54，则E （ ） A25 B27 C30 D45 【分析】根据题意中的条件判定ADBCDB 和ADBCDE，根据全等三角形的 性质可得ABDCBD 和EABD，即：EABDCBD，又因为ABC ABD+CBD54，所以EABDCBDAB
22、C，代入ABC 的值可求 出E 的值 【解答】解：在ADB 和CDB， BDBD，ADBCDB90，ADCD ADBCDB， ABDCBD， 又ABCABD+CBD54， ABDCBDABC27 在ADB 和EDC 中， ADCD，ADBEDC90，BDED， 第 12 页（共 26 页） ADBCDE， EABD EABDCBD27 所以，本题应选择 B 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和全等三角形的性质
23、通过全等证得ABD CBD 是解决本题的关键 11 （3 分）如图，ABC 中，ACB90，B30，AD 是角平分线，DEAB 于 E， AD、CE 相交于点 H，则图中的等腰三角形有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】根据等腰三角形的判定，运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质， 证得CADBAD30， CDED，ACAE，即ABD、CDE、ACE、BCE 是等腰三角形 【解答】解：ACB90，B30， BAC60， AD 是角平分线， CADBAD30，
24、ADBD ABD 是等腰三角形 AD 是角平分线，ACB90，DEAB， CDED ACAE CDE、ACE 是等腰三角形； 又CEB 也是等腰三角形 显然此图中有 4 个等腰三角形 故选：C 【点评】本题考查了等腰三角形的判定；要综合运用直角三角形的两个锐角互余和角平 第 13 页（共 26 页） 分线的性质，找到相等的线段，来判定等腰三角形 12 （3 分）如图，RtABC 中，C90，AC3，BC4分别以 AB、AC、BC 为边在 AB 的同
25、侧作正方形 ABEF、 ACPQ、 BCMN， 四块阴影部分的面积分别为 S1、 S2、 S3、 S4 则 S1+S2+S3+S4等于（ ） A14 B16 C18 D20 【分析】过 F 作 AM 的垂线交 AM 于 D，通过证明 S1+S2+S3+S4RtABC 的面积3， 依此即可求解 【解答】解：过 F 作 AM 的垂线交 AM 于 D， 可证明 RtADFRtABC，RtDFKRtCAT， 所以 S2SRtABC 由 RtDFKRtCAT 可进一步证得：RtFPTRtEMK， S3SFPT， &nb
26、sp;又可证得 RtAQFRtACB， S1+S3SRtAQFSRtABC 易证 RtABCRtEBN， S4SRtABC， S1+S2+S3+S4 （S1+S3）+S2+S4 SRtABC+SRtABC+SRtABC SRtABC3 4323 18 故选：C 第 14 页（共 26 页） 【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面 积公式进行灵活的结合和应用 二、填空题（每小题
27、二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）命题“如果 a0，那么 a20”的逆命题为 “如果 a20，那么 a0” 【分析】根据命题的概念确定命题的题设和结论，写出逆命题 【解答】解：命题“如果 a0，那么 a20”的逆命题为“如果 a20，那么 a0” ， 故答案为： “如果 a20，那么 a0” 【点评】本题考查的是命题和定理，掌握命题的概念以及互逆命题的概念是解题的关键 14 （3 分）ABC 中，若A80，B50，AC5，则 AB 5 【分析】由已知条件先求出C 的度数
28、是 50，根据等角对等边的性质求解即可 【解答】解：A80，B50， C180805050， ABAC5 故填 5 【点评】本题考查了等腰三角形的性质；求出C 的度数是解题的关键 15 （3 分）不等式组有 3 个整数解，则 m 的取值范围是 2m3 【分析】首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定 【解答】解：不等式的整数解是 0，1，2则 m 的取值范围是 2m3 故答案是：2m3 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般
29、先求出其 中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小； 第 15 页（共 26 页） 大小小大中间找；大大小小找不到 16 （3 分）如图所示，将长方形 ABCD 沿着 BD 折叠得到BDE，若 AB4，BC8，则 BOD 的面积为 10 【分析】设 AOx，则 BODO8x，在直角ABO 中利用勾股定理即可列方程求得 x 的值，然后根据三角形面积公式求解 【解答】解：设 AOx，则 BODO8x， 在直角ABO 中，AB2+AO2BO2，即 42+x2（8x）2， &nb
30、sp;解得：x3， 则 AO3，DO835， 则 SBDOABDO4（83）10 故答案为：10 【点评】 解本题考查了图形的折叠以及勾股定理， 正确利用勾股定理求得 AE 的长是解决 本题的关键 17 （3 分）选做题：如图，在锐角ABC 中，AB2，BAC60，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 【分析】作点 B 关于 AD 的对称点 B，过点 B作 BNAB 于 N 交 AD 于 M，根据轴 对称确定最短路线问题，BN 的长度即为 B
31、M+MN 的最小值，根据BAC60判断出 ABB是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可 【解答】解：如图，作点 B 关于 AD 的对称点 B， 由垂线段最短，过点 B作 BNAB 于 N 交 AD 于 M，BN 最短， 由轴对称性质，BMBM， 第 16 页（共 26 页） BM+MNBM+MNBN， 由轴对称的性质，AD 垂直平分 BB， ABAB， BAC60， ABB是等边三角形， AB2， BN2， 即 BM+MN 的最小
32、值是 故答案为： 【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点 M、 N 的位置是解题的关键，作出图形更形象直观 18 （3 分）如图，ABC 中，C90，AB5cm，BC3cm若动点 P 从点 C 开始， 按 CABC 的路径运动，且速度为每秒 1cm，设出发的时间为 t 秒，问 t 为 3 秒或 5.4 秒或 6 秒或 秒时，BCP 为等腰三角形 【分析】先根据勾股定理计算出 AC4cm，然后分类讨论：当 CPCB 时，BCP 为等 腰三角形，若点 P 在 AC 上得 t3（s） ，若点 P 在 AB 上，则
33、 t5.4s；当 PCPB 时， BCP 为等腰三角形，作 PDBC 于 D，如图，根据等腰三角形的性质得 BDCD，则 可判断 PD 为ABC 的中位线，则 APAB，易得 t（s） ；当 BPBC3 时， BCP 为等腰三角形，则 APABBP2，易得 t6（s） 第 17 页（共 26 页） 【解答】解：C90，AB5cm，BC3cm， AC4cm， 当 CPCB 时，BCP 为等腰三角形，若点 P 在 CA 上，t3（s） ； 若点 P 在 AB 上，CPCB3，作 CHAB 于 H，如图，CH，在 RtBC
34、H 中，BH ， 则 PB2BH， CA+AP4+55.4，此时 t5.4s； 当 PCPB 时，BCP 为等腰三角形，作 PDBC 于 D，如图， 则 BDCD， PD 为ABC 的中位线， APBP，即 APAB， t4+（s） ； 当 BPBC 时，BCP 为等腰三角形，即 BPBC3， APABBP2， t4+26（s） ， 综上所述，t 为 3s 或 5s 或 6s 或s 时，BCP 为等腰三角形 故答案为 3 秒或 5.4 秒或 6 秒
35、或 第 18 页（共 26 页） 【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等也考查了勾股定理和分类讨论的思想 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （6 分） （1）解不等式：2（x+1）13x+2，并把它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出它的所有非负整数解 【分析】 （1）根据解一元一次不等式的方法可以解答本题； （2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题 【解答】解：
36、 （1）2（x+1）13x+2， 去括号，得 2x+213x+2， 移项及合并同类项，得 x1， 系数化为 1，得 x1， 故原不等式的解集是 x1，在数轴上表示如下图所示， ； （2）， 由不等式，得 x4， 由不等式，得 x， 故原不等式组的解集是4x，该不等式组的所有非负整数解是：0，1，2 【点评】本题考查一元一次不等式的整数解、在数轴上表示不等式组的解集、解一元一 次不等式（组） ，解答本题的关键是明确解一
37、元一次不等式的方法 20 （6 分）如图，在ABC 和ADE 中，ABAE，BE，12 求证：BCED 第 19 页（共 26 页） 【分析】由12，推出BACEAD，由 ASA 证得ABCAED，即可得出结 论 【解答】证明：12， BACEAD， 在ABC 和AED 中， ABCAED（ASA） ， BCED 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题 的关键 21 （6 分）如图，点 C、D 为A
38、OB 内的两点，求作一点 P，使 PCPD，且 P 到 OA、OB 的距离相等 （不写作法，保留作图痕迹） 【分析】首先作出AOB 的角平分线以及作出线段 CD 的垂直平分线交点即为 P 点 【解答】解：如图所示：P 点即为所求 【点评】此题主要考查了角平分线以及线段垂直平分线的作法，正确掌握线段垂直平分 线以及角平分线的性质是解题关键 第 20 页（共 26 页） 22 （3 分）如图，阴影部分是由 5 个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在 如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形 &n
39、bsp; 【分析】利用轴对称图形的性质进而分析得出答案 【解答】解：如图所示： 【点评】本题考查了轴对称的性质和图案设计，熟练掌握轴对称的定义是关键，涂黑二 个小正方形后，以是否沿一条直线折叠后能重合，作为依据，能则组成轴对称图形，反 之则不能 23 （3 分）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共 10 辆，其中轿车至少要购买 3 辆，轿车 每辆 7 万元，面包车每辆 4 万元，公司可投入的购车款不超过 55 万元； （1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由； （2）如果每辆轿车的日租金为 200 元，每辆面包车的日
40、租金为 110 元，假设新购买的这 10 辆车每日都可租出，要使这 10 辆车的日租金不低于 1500 元，那么应选择以上哪种购 买方案？ 【分析】 （1）根据题意列出不等式，进行求解，确定购买方案 （2）进行分类讨论，将每种方案的日租金求出，若日租金不低于 1500 元，即符合要求 【解答】解： （1）设轿车要购买 x 辆，那么面包车要购买（10 x）辆，由题意得： 7x+4（10 x）55，解得：x5 又x3，则 x3，4，5 购车方案有三种： 方案一：轿车 3 辆，面包车 7 辆； 方案二：轿
41、车 4 辆，面包车 6 辆； 第 21 页（共 26 页） 方案三：轿车 5 辆，面包车 5 辆 （2）方案一的日租金为：3200+71101370（元） 方案二的日租金为：4200+61101460（元） 方案三的日租金为：5200+51101550（元） 答：为保证日租金不低于 1500 元，应选择方案三 【点评】本题考查不等式的应用，在解题过程中要用到分类讨论的方法 24 （10 分）如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 BC，AB，AC 上，连结 CE，DE， EF
42、，AD，若 AEAC，EFBC，EC 平分DEF 求证：EDCD，ADEC 【分析】由平行线的性质得出FECDCE，由角平分线的性质得出FECDEC， 推出DCEDEC，则 EDCD，由 SSS 证得AEDACD，得出EDACDA， 由等腰三角形的三线合一性质得出 ADEC 【解答】证明：EFBC， FECDCE， EC 平分DEF， FECDEC， DCEDEC， EDCD， 在AED 和ACD 中， AEDACD（SSS） ， EDACDA， E
43、DCD， ADEC 第 22 页（共 26 页） 【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰 三角形的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，证明三角形是等腰三角形是解题的关键 25 （10 分）如图，在等边三角形 ABC 的 AC，BC 边上各取一点 P，Q，使 APCQ，连结 AQ，BP 相交于点 O （1）写出图中所有的全等三角形，并选择其中一对加以证明； （2）求BOQ 的度数； （3）连结 OC，若 OCBP，求的值 【分析】 （1）ABPAC
44、Q，ABQBCP，证明一组即可； （2）由全等三角形的性质及三角形的外角性质，可以推出答案； （3）过点 B 作 BDAQ 交 AQ 于点 D，证明ABDBCO （AAS） ，得 ADBO， 在 RtBOD 中，求得OBD30，利用 30角所对的直角边等于斜边的一半，BO 2OD 从而 AD2OD，故点 O 为 AD 的中点，比值即可求 【解答】解： （1）ABPACQ，ABQBCP 证明ABPACQ ABC 是等边三角形 BAPACQABQ，ABACBC 在ABP 和ACQ 中 &nb
45、sp; ABPACQ （SAS） （2）ABPACQ ABPCAQ，BAQ+CAQ60 BAQ+ABP60 第 23 页（共 26 页） BOQBAQ+ABP BOQ60 （3） 如图所示，过点 B 作 BDAQ 交 AQ 于点 D 由（1）知ABQBCP（SAS） BADOBC 在ABD 和BCO 中 ABDBCO （AAS） ADBO 在 RtBOD 中，BOD60，OBD30 BO2OD &
46、nbsp;AD2OD 点 O 为 AD 的中点 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、30角所对的直角边等于斜边的一半等 知识点，具有较强的综合性 26 （12 分）如图，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与点 A，B 重合） ，作直 线 CP，分别过点 A，B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为斜边 AB 的中点 第 24 页（共 26 页） （1）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 AEBF ，QE 与 Q
47、F 的 数量关系是 QEQF ； （2）如图 2，当点 P 在线段 AB 上（不与点 Q 重合）时，试猜想 QE 与 QF 的数量关系， 并说明理由； （3）如图 3，当点 P 在线段 BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否仍成立？请说明 理由 【分析】 （1）证BFQAEQ 即可； （2）证FBQDAQ，推出 QFQD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可； （3）证AEQBDQ，推出 DQQE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可 【解答】解： （1）AEBF，QEQF， 理由是：如图 1，Q 为 AB
48、 中点， AQBQ， BFCP，AECP， BFAE，BFQAEQ90， 在BFQ 和AEQ 中， BFQAEQ（AAS） ， QEQF， 故答案为：AEBF；QEQF （2）QEQF， 第 25 页（共 26 页） 理由是：如图 2，延长 FQ 交 AE 于 D， Q 为 AB 中点， AQBQ， BFCP，AECP， BFAE， QADFBQ， 在FBQ 和DAQ 中
49、 FBQDAQ（ASA） ， QFQD， AECP， EQ 是直角三角形 DEF 斜边上的中线， QEQFQD， 即 QEQF （3） （2）中的结论仍然成立， 理由是：如图 3， 延长 EQ、FB 交于 D， 由（2）知： QEQD， BFCP， FQ 是斜边 DE 上的中线， QEQF 第 26 页（共 26 页） 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注 意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是：全等 三角形的对应边相等，对应角相等
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