1、课题 21.1 一元二次方程 课 型 新授课 课 时 1 教学 目标 1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程. 2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称. 教 学 重 点 难 点 重点：判定一个数是否是方程的根； 难点： 由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实 际问题的根 教 学 准 备 多媒体 教 学 过 程 （一）创设情境，导入新课 师： （板书：3x-5=0）这是一个什么方程？（稍停）3x-5=0 是一个一元 一次方程（板书：一元一次方程）. 师：哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程？ 生：（让几名同学回答） 师： （指准 3
2、x-5=0） 只含有一个未知数， 并且未知数的次数是 1 的方程， 叫做一元一次方程.（指准“一元一次方程” ）一元指的是含有一个未知数， 一次指的是未知数的次数是 1. 师：一元一次方程是我们在初一已经学过的，从今天开始，我们要学习 一种新的方程，叫做一元二次方程（板书：一元二次方程）. （二）尝试指导，讲授新课 师：什么样的方程是一元二次方程？（板书：x 2-x=56）x2-x=56 是一个 一元二次方程，（板书： 4x 2-9=0） 4x2-9=0 也是一元二次方程， （板书： x 2+3x=0） x 2+3x=0 也是一元二次方程， （板书：3y2-5y=7）3y2-5y=7也是一元二
3、次方程. 师：从这些一元二次方程，哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方 程？（等到有一部分同学举手再叫学生） 生：（多让几名同学回答） 师： （指准 x 2-x=56）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2， 这样的方程叫做一元二次方程. （师出示下面的板书） 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二 次方程. 师：请大家把一元二次方程的定义读两遍.（生读） 师：根据一元二次方程的定义， （指准方程）我们很容易判断 x 2-x=56， 4x 2-9=0，x2+3x=0，3y2-5y=7 这些方程都是一元二次方程.（板书： 3x(x-1)=5(x+2)）现在请大家
4、判断，这个方程是不是一元二次方程？为什 么？（让生思考一会儿） 生：（让几名学生发表看法） 师：把这个方程两边去括号，得到 3x 2-3x=5x+10（边讲边板书： 3x 2-3x=5x+10） ，去括号后容易看出，这个方程是一元二次方程. 师： （指 3x 2-3x=5x+10） 这个方程还可以继续整理， 怎么继续整理？ （指 准方程）先把右边的 5x 和 10都移到左边去，再合并，得到 3x 2-8x-10=0（边 讲边板书：3x 2-8x-10=0）. 师： （指原方程和 3x 2-8x-10=0）大家可以比较这两个方程，这个方程是 这个方程经过整理得到的，这个方程的形式又简单又整齐，我
5、们把这种形式 叫做一元二次方程的一般形式（板书：一元二次方程的一般形式）. 师：从这个例子大家可以看到，任何一个一元二次方程，经过整理，都 可以化成一般形式，一般形式就是 ax 2+bx+c=0 这样的形式（边讲边板书： ax 2+bx+c=0）. 师： （指准 ax 2+bx+c=0）在一元二次方程的一般形式中，我们把 ax2叫做 二次项，a 是二次项系数（板书：其中 a 是二次项系数） ；bx 叫做一次项，b 是一次项系数 （板书： b 是一次项系数） ； c 叫做常数项 （板书： c 是常数项） . 师： （指准 3x 2-8x-10=0）譬如，在这个方程中，二次项是 3x2，二次项 系
6、数是 3；一次项是-8x，一次项系数是-8；常数项是-10. 师： （指 x 2+3x=0）大家看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？ 生：二次项是 x 2，二次项系数是 1.（多让几名同学回答） 师： （指 x 2+3x=0）它的一次项、一次项系数是什么？ 生：一次项是 3x，一次项系数是 3.（多让几名同学回答） 师： （指 x 2+3x=0）它的常数项是什么？ 生：常数项是 0.（多让几名同学回答，如有必要师作解释） 师：（指 4x 2-9=0） 大家再看这个方程， 它的二次项、 二次项系数是什么？ 生：二次项是 4x 2，二次项系数是 4. 师： （指 4x 2-9=0）它的一次项
7、、一次项系数是什么？ 生：（多让几名同学回答） 师：这个方程的一次项可以写成 0 x（边讲边板书：0 x） ，所以这个方程 的一次项是 0 x，一次项系数是 0. 师： （指 4x 2-9=0）它的常数项是什么？ 生：常数项是-9. 师：前面我们学习了一元二次方程的概念和一般形式，下面请大家利用 这些知识来做几个练习. 作 业 布 置 完成同步练习 课堂 总结 本节课我们学习了一元二次方程根的概念， 还学习了用直接开平方法解一元二 次方程.用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步把原方程化成什 么 2=常数这种形式；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程，也就 是把二次降为一次；第
8、三步解一元一次方程，得到两个根. 课题 21.2 21.2 一元二次方程的解法复习课一元二次方程的解法复习课 课 型 新授课 课 时 1 教学 目标 能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点。会根据不同的方 程特点选用恰当的方法， 是解题过程简单合理， 通过揭示各种解法的本质联系， 渗透降次化归的思想方法。 教 学 重 点 难 点 重点：重点：会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理。 难点：难点：通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想。 教 学 准 备 多媒体 教 学 过 程 1用不同的方法解一元二次方程 3 x 2-5x-2=0(配方法，公式法，因式分解 发)
9、 教师点评： 三种不同的解法体现了同样的解题思路把一元二次方程 “降 次”转化为一元一次方程求解。 2 把下列方程的最简洁法选填在括号内。 (A)直接开平方法 (B) 配方法 (C) 公式法 (D)因式分解法 （1） 7x-3=2 x 2 ( ) (2)4(9x-1) 2=25 ( ) (3)(x+2)(x-1)=20 ( ) (4) 4x 2+7x=2 ( ) (5)2(0.2t+3) 2-12.5=0 ( ) (6) x2+2 2x-4=0 ( ) 说明:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、 公式法， 若没有特 殊说明一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一 元二
10、次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右 边为 0 的特点的一元二次方程时，非常简便。 将下列方程化成一般形式，在选择恰当的方法求解。 (1)3x 2=x+4 (2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1) 2+2 (3)(x+3)(x-4)=-6（4）(x+1) 2-2(x-1) 2=6x-5 说明：将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能， 而节能为揭发的选择提供基础。 4.阅读材料，解答问题： 材料：为解方程(x 2-1) 2-5(x2-1) 2+4=0,我们可以视（x2-1）为一个整体， 然后设 x 2-1=y,原方程可化为 y 2-5y+4=0.解得
11、 y 1=1,y2=4。当 y1=1 时， x 2-1=1 即 x2=2，x= 2.当 y2=4 时，x 2-1=4 即 x2=5, x=5。原方程的 解为 x1= 2,x2=- 2,x3=5, x4=-5 解答问题： （1）填空：在由原方程得到的过程中利用_法，达到了 降次的目的，体现_的数学思想。 （2）解方程 x 4x26=0. 作 业 布 置 完成同步练习 课堂 总结 (1)说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识 (消元、降次、化归的思想) (2)三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别： 联系降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降 次
12、 公式法是由配方法推导而得到 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元 二次方程 区别：配方法要先配方，再开方求根 公式法直接利用公式求根 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘， 另一边为 0， 再分别使 各一次因式等于 0 课题 21.2.121.2.1 配方法 课 型 新授课 课 时 1 教学 目标 理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具 体问题 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax 2c0，根据平方根的意义 解出这个方程，然后知识迁移到解 a(exf) 2c0 型的一元二次方程 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程， 并能熟练应用
13、它解决一些 具体问题 通过复习可直接化成 x 2p(p0)或(mxn)2p(p0)的一元二次方程的 解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤 了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决 一些具体题目 教 学 重 点 难 点 重点 运用开平方法解形如(xm) 2n(n0)的方程， 领会降次转化的数学 思想 讲清直接降次有困难，如 x 26x160 的一元二次方程的解题步骤 讲清配方法的解题步骤 难点 对于用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程，通常把常数项移到方 程右边后，两边加上的常数是一次项系数
14、一半的平方；对于二次项系数不为 1 的一元二次方程，要先化二次项系数为 1，再用配方法求解 将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧 通过根据平方根的意义解形如 x 2n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义 解形如(xm) 2n(n0)的方程 教 学 准 备 多媒体 教 学 过 程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题 1：填空 (1)x 28x_(x_)2；(2)9x212x_(3x _) 2；(3)x2px_(x_)2. 解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p 2) 2 p 2. 问题 2：目前我们都学过哪些方程？二元怎
15、样转化成一元？一元二次方程 与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪 些降次的方法？ 二、探索新知 上面我们已经讲了 x 29，根据平方根的意义，直接开平方得 x3，如 果 x 换元为 2t1，即(2t1) 29，能否也用直接开平方的方法求解呢？ (学生分组讨论) 老师点评：回答是肯定的，把 2t1 变为上面的 x，那么 2t13 即 2t13，2t13 方程的两根为 t11，t22 例 1 解方程：(1)x 24x41 (2)x26x92 分析：(1)x 24x4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x2)2 1. (2)由已知，得：(x3) 22 直接开平方，
16、得：x3 2 即 x3 2，x3 2 所以，方程的两根 x13 2，x23 2 解：略 例 2 市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10 m 2提高到 14.4 m2， 求每年人均住房面积增长率 分析：设每年人均住房面积增长率为 x，一年后人均住房面积就应该是 10 10 x10(1x)； 二年后人均住房面积就应该是 10(1x)10(1x)x10(1 x) 2 解：设每年人均住房面积增长率为 x， 则：10(1x) 214.4 (1x) 21.44 直接开平方，得 1x1.2 即 1x1.2，1x1.2 所以，方程的两根是 x10.220%，x22.2 因为每年人均住房面积的增长率应
17、为正的，因此，x22.2 应舍去 所以，每年人均住房面积增长率应为 20%. (学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次” ，转化为两个一元一次方程我 们把这种思想称为“降次转化思想” 三、巩固练习 教材第 6 页 练习 一、复习引入 (学生活动)请同学们解下列方程： (1)3x 215 (2)4(x1)290 (3)4x216x169 (4)4x216x 7 老师点评：上面的方程都能化成 x 2p 或(mxn)2p(p0)的形式，那么 可得 x p或 mxn p(p0) 如： 4x 216x16(2x4)2， 你能把 4x216x7
18、化成(2x4)29 吗？ 二、探索新知 列出下面问题的方程并回答： (1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ (2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？ 问题：要使一块矩形场地的长比宽多 6 m，并且面积为 16 m 2，求场地的长 和宽各是多少？ (1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三 个左边是含有 x 的完全平方式而后二个不具有此特征 (2)不能 既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次 解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化： x 26x160 移项x26x16 两边加(6/2) 2使左边配成 x22bxb2的形式
19、x26x32169 左边写成平方形式(x3) 225 降次x35 即 x35 或 x3 5 解一次方程x12，x28 可以验证：x12，x28 都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以 场地的宽为 2 m，长为 8 m. 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫 配方法 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次 方程来解 例 1 用配方法解下列关于 x 的方程： (1)x 28x10 (2)x22x1 20 分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法 化为完全平方式；(2)同上 解：略 三、巩固练习 教材第 9 页 练习
20、1，2.(1)(2) 一、复习引入 (学生活动)解下列方程： (1)x 24x70 (2)2x28x10 老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有 x 的完全平方形 式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题， 那么这两道题 也可以用上面的方法进行解题 解：略 (2)与(1)有何关联？ 二、探索新知 讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为 1； (3)常数项移到右边； (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方 式； (5)变形为(xp) 2q 的形式，如果 q0，方程的根是 xp q；如 果
21、 q0，方程无实根 例 1 解下列方程： (1)2x 213x (2)3x26x40 (3)(1x)22(1x)40 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来 完成，即配一个含有 x 的完全平方式 解：略 三、巩固练习 教材第 9 页 练习 2.(3)(4)(5)(6) 作 业 布 置 教材第 16 页 复习巩固 1 材第 17 页 复习巩固 2，3.(1)(2) 教材第 17 页 复习巩固 3.(3)(4) 补充：(1)已知 x 2y2z22x4y6z140，求 xyz 的值 (2)求证：无论 x，y 取任何实数，多项式 x 2y22x4y16 的值总是正 数. 课堂
22、 总结 本节课应掌握： 由应用直接开平方法解形如 x 2p(p0)的方程， 那么 x p 转化为应用直接开平方法解形如(mxn) 2p(p0)的方程，那么 mxn p，达到降次转化之目的若 p0 则方程无解 左边不含有 x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有 x的完全平方形 式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程 1配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤 2配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二 次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性在 今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到 课题 21.2.221.2.2 公式法 课
23、 型 新授课 课 时 1 教学 目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用 公式法解一元二次方程 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax 2bxc0(a 0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程 教 学 重 点 难 点 重点 求根公式的推导和公式法的应用 难点 一元二次方程求根公式的推导 教 学 准 备 多媒体 教 学 过 程 一、复习引入 1前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法” ，比如，方程 (1)x 24 (2)(x2)27 提问 1 这种解法的(理论)依据是什么？ 提问 2 这种解法的局限性是什么？(只对那种 “平方式等于非负
24、数” 的特 殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程) 2面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方 成能够“直接开平方”的形式) (学生活动)用配方法解方程 2x 237x (老师点评)略 总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评) (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为 1； (3)常数项移到右边； (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方 式； (5)变形为(xp) 2q 的形式，如果 q0，方程的根是 xp q；如 果 q0，方程无实根 二、探索新知 用配方法解方程： (1)ax 27x30 (2)ax2bx
25、30 如果这个一元二次方程是一般形式 ax 2bxc0(a0)，你能否用上面 配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题 问题： 已知 ax 2bxc0(a0)， 试推导它的两个根 x 1b b 24ac 2a ， x2b b 24ac 2a (这个方程一定有解吗？什么情况下有解？) 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a，b，c 也当成一 个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解：移项，得：ax 2bxc 二次项系数化为 1，得 x 2b ax c a 配方，得：x 2b ax( b 2a) 2c a( b 2a) 2 即(x b 2a) 2b 24ac
26、4a 2 4a 20，当 b24ac0 时，b 24ac 4a 20 (x b 2a) 2( b 24ac 2a ) 2 直接开平方，得：x b 2a b 24ac 2a 即 xb b 24ac 2a x1b b 24ac 2a ，x2b b 24ac 2a 由上可知，一元二次方程 ax 2bxc0(a0)的根由方程的系数 a，b，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax 2bxc0，当 b2 4ac0 时，将 a，b，c 代入式子 xb b 24ac 2a 就得到方程的根 (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式 (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法
27、 公式的理解 (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 例 1 用公式法解下列方程： (1)2x 2x10 (2)x21.53x (3)x 2 2x1 20 (4)4x 23x20 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公 式即可 补：(5)(x2)(3x5)0 三、巩固练习 教材第 12 页 练习 1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6) 作 业 布 置 教材第 17 页 习题 4，5. 课堂 总结 本节课应掌握： (1)求根公式的概念及其推导过程； (2)公式法的概念； (3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式， 注意移项要变号
28、，尽量让 a0；2)找出系数 a，b，c，注意各项的系数包括符 号；3)计算 b 24ac，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求 根公式，算出结果 (4)初步了解一元二次方程根的情况 课题 21.2.321.2.3 因式分解法 课 型 新授课 课 时 1 教学 目标 掌握用因式分解法解一元二次方程 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法 因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题 教 学 重 点 难 点 重点 用因式分解法解一元二次方程 难点 让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解 题更简便 教 学 准 备 多媒体 教
29、 学 过 程 一、复习引入 (学生活动)解下列方程： (1)2x 2x0(用配方法) (2)3x26x0(用公式法) 老师点评：(1)配方法将方程两边同除以 2 后，x 前面的系数应为1 2， 1 2的一 半应为1 4，因此，应加上( 1 4) 2，同时减去(1 4) 2.(2)直接用公式求解 二、探索新知 (学生活动)请同学们口答下面各题 (老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？ (学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分 解 因此，上面两个方程都可以写成： (1)x(2x1)0 (2)3x(x2)0 因为两个因式乘积要等于
30、 0，至少其中一个因式要等于 0，也就是(1)x0 或 2x10，所以 x10，x21 2. (2)3x0 或 x20，所以 x10，x22.(以上解法是如何实现降次 的？) 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而 是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式， 再使这两个一次式 分别等于 0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法 例 1 解方程： (1)10 x4.9x 20 (2)x(x2)x20 (3)5x22x1 4x 22x3 4 (4)(x1) 2(32x)2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？ 解：略 (方程一边为 0，另一边可分
31、解为两个一次因式乘积) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( ) A(x3)(x5)102，x310，x52，x113，x27 B(25x)(5x2) 20，(5x2)(5x3)0，x 12 5，x 23 5 C(x2) 24x0，x 12，x22 Dx 2x，两边同除以 x，得 x1 三、巩固练习 教材第 14 页 练习 1，2. 作 业 布 置 教材第 17 页 习题 6，8，10，11. 课堂 总结 本节课要掌握： (1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及 其应用 (2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘， 另一边为 0， 再分别使 各一次因式等于 0
32、. 课题 21.2.421.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课 型 新授课 课 时 1 教学 目标 1掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用 2培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力 3渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律 4培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神 教 学 重 点 难 点 重点 根与系数的关系及其推导 难点 正确理解根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系是指一元 二次方程两根的和、两根的积与系数的关系 教 学 准 备 多媒体 教 学 过 程 一、复习引入 1已知方程 x 2ax3a0 的一个根是 6，则求 a 及另一个根的值 2由上题可知一
33、元二次方程的系数与根有着密切的关系其实我们已学 过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的 关系？ 3由求根公式可知，一元二次方程 ax 2bxc0(a0)的两根为 x 1 b b 24ac 2a ，x2b b 24ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是b b 24ac与b b24ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？ 二、探索新知 解下列方程，并填写表格： 方程 x1 x2 x1x2 x1x2 x 22x0 x 23x40 x 25x60 观察上面的表格，你能得到什么结论？ (1)关于 x 的方程 x 2pxq0(p，q 为常数，p24q0)的两根
34、x 1，x2与 系数 p，q 之间有什么关系？ (2)关于 x 的方程 ax 2bxc0(a0)的两根 x 1，x2与系数 a，b，c 之间 又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？ 解下列方程，并填写表格： 方程 x1 x2 x1x2 x1x2 2x 27x40 3x 22x50 5x 217x6 0 小结：根与系数关系： (1)关于 x 的方程 x 2pxq0(p，q 为常数，p24q0)的两根 x 1，x2与 系数 p，q 的关系是：x1x2p，x1x2q(注意：根与系数关系的前提条件 是根的判别式必须大于或等于零) (2)形如 ax 2bxc0(a0)的方程，可以先将二次项系数化为 1，再利
35、 用上面的结论 即：对于方程 ax 2bxc0(a0) a0，x 2b ax c a0 x1x2b a，x 1x2c a (可以利用求根公式给出证明) 例 1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： (1)x 23x10 (2)2x23x50 (3)1 3x 22x0 (4) 2x2 6x 3 (5)x 210 (6)x22x10 例 2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 22 2x10 (x 1 21，x2 21) (2)2x 23x80 (x 17 73 4 ，x25 73 4 ) 例 3 已知一元二次方程的两个根是1 和 2， 请你写出一个符合条件的方 程(你有几种方法？
36、) 例 4 已知方程 2x 2kx90 的一个根是3，求另一根及 k 的值 变式一：已知方程 x 22kx90 的两根互为相反数，求 k； 变式二：已知方程 2x 25xk0 的两根互为倒数，求 k. 作 业 布 置 1不解方程，写出下列方程的两根和与两根积 (1)x 25x30 (2)9x2x2 (3)6x23x20 (4)3x 2x10 2已知方程 x 23xm0 的一个根为 1，求另一根及 m 的值 3已知方程 x 2bx60 的一个根为2，求另一根及 b 的值 课堂 总结 1根与系数的关系 2根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等 于零 课题 22.3 22
37、.3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程 课 型 新授课 课 时 1 教学 目标 1经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决 实际问题的一般步骤 2通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一 元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤 3通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方 程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准 4通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程 解决几何问题 5通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列 方程更容易 教 学 重 点 难 点 重点 利用一元二次方程解决传播问
38、题、百分率问题 通过实际图形问题， 培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能 力 难点 在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程 如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程， 找到传 播问题和百分率问题中的数量关系 教 学 准 备 多媒体 教 学 过 程 一、引入新课 1列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？ 2科学家在细胞研究过程中发现： (1)一个细胞一次可分裂成 2 个，经过 3 次分裂后共有多少个细胞？ (2)一个细胞一次可分裂成 x 个，经过 3 次分裂后共有多少个细胞？ (3)如是一个细胞一次可分裂成 2 个，分裂后原有细胞仍然存在并
39、能再次 分裂，试问经过 3 次分裂后共有多少个细胞？ 二、教学活动 活动 1：自学教材第 19 页探究 1，思考教师所提问题 有一人患了流感，经过两轮传染后，有 121 人患了流感，每轮传染中平均 一个人传染了几个人？ (1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人， 第一轮传染后共有_人患流感第二轮传染后共有_人患流感 (2)本题中有哪些数量关系？ (3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ 解答：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，则依题意第一轮传染后有 (x1)人患了流感，第二轮有 x(1x)人被传染上了流感于是可列方程： 1xx(1x)121 解方程
40、得 x110，x212(不合题意舍去) 因此每轮传染中平均一个人传染了 10 个人 变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？ 活动 2：自学教材第 19 页第 20 页探究 2，思考老师所提问题 两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元，生 产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ (1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？ (2)若设甲种药品年平均下降率为 x，则一年后，甲种药品的成本下降了 _元，此时成本为
41、_元；两年后，甲种药品下降了_元， 此时成本为_元 (3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为 a，增长率为 x，则一月(或 一年)后产量为 a(1x)； 二月(或二年)后产量为 a(1x) 2； n 月(或 n 年)后产量为 a(1x) n； 如果已知 n 月(n 年)后总产量为 M，则有下面等式：Ma(1x) n. (4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：_. 活动 1 1 创设情境 1长方形的周长_，面积_，长方体的体积公式_ 2如图所示： (1)一块长方形铁皮的长是 10 cm，宽是 8 cm，四角各截去一个边长为 2 cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是
42、_，高 是_，体积是_ (2)一块长方形铁皮的长是 10 cm，宽是 8 cm，四角各截去一个边长为 x cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是_，高 是_，体积是_ 活动 2 2 自学教材第 2020 页第 2121 页探究 3 3，思考老师所提问题 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封 面长宽比例相同的矩形， 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分 之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm) (1)要设计书本封面的长与宽的比是_，则正中央矩形的长与宽的 比是_ (2)为什么说上下
43、边衬宽与左右边衬宽之比为 97？试与同伴交流一下 (3)若设上、下边衬的宽均为 9x cm，左、右边衬的宽均为 7x cm，则中央 矩形的长为_cm，宽为_cm，面积为_cm 2. (4)根据等量关系：_，可列方程为：_. (5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验) (6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为 9x cm和 7x cm，你又怎样去求 上下、左右边衬的宽？ 活动 3 3 变式练习 如图所示，在一个长为 50 米，宽为 30 米的矩形空地上，建造一个花园， 要求花园的面积占整块面积的 75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占 25%， 求路的宽度 答案：路的宽度为 5 米
44、 作 业 布 置 教材第 2122 页 习题 21.3 第 27 题 课堂 总结 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答最后要检 验根是否符合实际 传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立 若平均增长(降低)率为 x， 增长(或降低)前的基准数是 a， 增长(或降低)n 次后的量是 b，则有：a(1x) nb(常见 n2) 成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的 药品，它的下降率不一定也较小 利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模 型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系 根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建
45、立一元二次方程，并能正确 解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验 课题 22.1.122.1.1 二次函数 课 型 新授课 课 时 1 教学 目标 1从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关 系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系 2理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式 3会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值 范围 教 学 重 点 难 点 重点 二次函数的概念和解析式 难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强 的概括能力 教 学 准 备 多媒体 教 学 过 程 一、创设情境，导入新课 问题 1 现有一
46、根 12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩 形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说 的有道理吗？ 问题 2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是 什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二 次函数”(板书课题) 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量 y 与 x 之间的关系： (1)圆的半径 x(cm)与面积 y(cm 2)； (2)王先生存入银行 2 万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动 转存为又一个一年定期，设一年定期的年存
47、款利率为 x，两年后王先生共得本 息 y 元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为 120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为 x (m)，种植面积为 y(m 2) (一)教师组织合作学习活动： 1先个体探求，尝试写出 y 与 x 之间的函数解析式 2上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流， 共同探讨 (1)yx 2 (2)y20000(1x)220000 x240000 x20000 (3)y(60 x4)(x2)x 258x112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法 教师归纳总结： 上述三个函数解析式经化简后都具有 yax 2bxc(a， b， c 是常数，a0)的形式 板书：我们把形如 yax 2bxc(其中 a，b，c 是常数，a0)的函数叫 做二次函数
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