1、第一章第一章 勾股定理勾股定理 1 1 探索勾股定理探索勾股定理 第第 1 1 课时课时 探索勾股定理探索勾股定理 基础题基础题 知识点知识点 1 1 认识勾股定理认识勾股定理 1 1(滨州中考)在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为(A) A5 B6 C7 D8 2 2下列说法正确的是(D) A若 a，b，c 是ABC 的三边，则 a 2b2c2 B若 a，b，c 是 RtABC 的三边，则 a 2b2c2 C若 a，b，c 是 RtABC 的三边，A90，则 a 2b2c2 D若 a，b，c 是 RtABC 的三边，A90，则 c 2b2a2 3 3已知在 RtABC 中，C90.
2、(1)若 a6，c10，则 b8； (2)若 a5，b12，则 c13； (3)若 c25，b15，则 a20. 知识点知识点 2 2 勾股定理的简单应用勾股定理的简单应用 4 4如图，做一个长 80 cm，宽 60 cm 的长方形木框，需在相对角的顶点钉一根加固木条，则木条的长为(B) A90 cm B100 cm C105 cm D110 cm 5 5(教材 P3 随堂练习 T1 变式)如图，在ABC 中，ABC90，分别以 BC，AB，AC 为边向外作正方形，面积分别 记为 S1，S2，S3，若 S26，S310，则 S14. 6 6如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“
3、捷径” ，在花圃内走出了一条“路” 他们仅仅少 走了 4 步路(假设 2 步为 1 m)，却踩伤了花草 易错点易错点 考虑不全而漏解考虑不全而漏解 7 7若一个直角三角形的三边长分别为 a，b，c，已知 a 225，b2144，则 c2(D) A169 B119 C13 或 25 D169 或 119 中档题中档题 8 8(资阳中考)如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足AEB90，AE6，BE8，则阴影部分的面积是(C) A48 B60 C76 D80 9 9如图，若BADDBC90，AB3，AD4，BC12，则 CD13 10.10.(教材 P4 习题 T3 变式)如图所示为一种“羊头
4、”形图案，其作法是：从正方形开始，以它的一边为斜边，向 外作等腰直角三角形， 然后再以其直角边为边， 分别向外作正方形和， ， 依此类推， 若正方形的面积为 64， 则正方形的面积为 4 1111如图所示，已知在ABC 中，ACB90，AB5 cm，BC3 cm，CDAB 于点 D，求 CD 的长 解：因为ABC 是直角三角形，AB5 cm，BC3 cm， 由勾股定理，得 AC 2AB2BC2， 所以 AC4 cm. 又因为 SABC1 2ABCD 1 2BCAC， 所以 CDACBC AB 12 5 . 所以 CD 的长是12 5 cm. 综合题 1212 【分类讨论思想】在ABC 中，AB
5、17，AC10，BC 边上的高 AH8，则 BC9 或 21 第第 2 2 课时课时 验证勾股定理及其计算验证勾股定理及其计算 基础题基础题 知识点知识点 1 1 验证勾股定理验证勾股定理 1 1用如图 1 所示的 4 个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图 2 所示的正方形，下面 我们利用这个图形验证勾股定理 (1)图 2 中大正方形的边长是(ab)，里面小正方形的边长为 c； (2)大正方形面积可以表示为(ab) 2，也可以表示为1 2ab4c 2； (3)对比这两种表示方法，可得出(ab) 21 2ab4c 2，整理得 c2a2b2 2 2(教材 P7 习题 T2
6、变式)历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形，其中两个全等的直角三角形边 AE，EB 在 一条直线上证明中用到面积相等关系的是(D) ASEDASCEB BSEDASCEBSCDE CS四边形 CDAES四边形 CDEB DSEDASCDESCEBS四边形 ABCD 知识点知识点 2 2 勾股定理的实际应用勾股定理的实际应用 3 3为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为 2.5 m 的木梯， 准备把梯子架到 2.4 m 高的墙上，则梯脚与墙角的距离为(A) A0.7 m B0.8 m C0.9 m D1.0 m 4 4(教材 P6 习题 T1 变式
7、)一木杆在离地面 5 m 处折断，木杆顶端落在木杆底端 12 m 处，则木杆折断前高为(A) A18 m B13 m C17 m D12 m 5 5如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 100mm. 6.6.如图， 从电线杆离地面12 m处向地面拉一条长为13 m的钢缆， 则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为5_m 7 7甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东 45方向走了 48 米，乙往南偏东 45方向走了 36 米，这时两人 相距 60 米 8 8如图是某小区一健身中心的平面图，活动区是面积为 200 m
8、 2的长方形，休息区是直角三角形，请你求出半圆形 餐饮区的面积 解：AD 的长为200 20 10(m) 由勾股定理可得 DE6 m. 所以半圆形餐饮区的面积 S1 2(62) 29 2(m 2) 答：半圆形餐饮区的面积为9 2 m 2. 中档题中档题 9 9 【关注数学文化】(泸州中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长 为 a，较短直角边长为 b.若 ab8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为(D) A9 B6 C4 D3 1010一辆装满货物，宽
9、为 2.4 m 的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于(A) A4.1 m B4.0 m C3.9 m D3.8 m 1111 【关注数学文化】(湘潭中考)九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折 竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，ACB90，ACAB10，BC3，求 AC 的长若设 ACx，则可列方程为 x 232(10 x)2 1212如图，有一个由传感器 A 控制的灯，要装在门上方离地面 4.5 m 的墙上，任何东西只要移至该灯 5 m 及 5 m 内， 灯就会自动发光，小
10、明身高 1.5 m，他走到离墙 4_m 的地方灯刚好发光 1313如图，将一根 20 cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为 4 cm，3 cm 和 12 cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒 露在盒外面的最短长度是 7cm. 1414(西安雁塔区月考)中华人民共和国道路交通安全法规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过 70 km/h. 如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方 50 m 处，过了 4 s 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为 130 m这辆小汽车超速了吗？ 解：依题意，得 AB130 m， AC50 m，由勾股定理 得 AB 2BC2
11、AC2， 即 130 2BC2502，所以 BC120 m. 小汽车速度为 120430(m/s)108(km/h) 因为小汽车在城市道路上行驶速度不得超过 70 km/h， 所以这辆小汽车超速了 15154 个全等的直角三角形的直角边分别为 a，b，斜边为 c.现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图 形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试 解：图形的总面积可以表示为： c 221 2abc 2ab， 也可以表示为：a 2b221 2aba 2b2ab， 所以 c 2aba2b2ab，即 a2b2c2. 综合题综合题 1616十一国庆节快到了，某校各班都在开展丰富多彩的庆
12、祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都 在规定时间内完成一件手工作品陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是： 先裁下了一张长 BC20 cm，宽 AB16 cm 的长方形纸片 ABCD； 如图，将纸片沿着直线 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的 F 处 请你根据步骤计算 EC，FC 的长 解：因为ADE 与AFE 关于 AE 对称， 所以ADEAFE. 所以 DEFE，ADAF. 因为四边形 ABCD 是长方形， 所以 CDAB16 cm，AFADBC20 cm，C90. 在 RtABF 中，由勾股定理，得 BF12 cm. 所以 FC20128(cm) 设 CEx，则
13、 DEEF16x， 在 RtCEF 中，由勾股定理，得 (16x) 282x2. 解得 x6. 所以 EC6 cm. 2 2 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗 基础题基础题 知识点知识点 1 1 直角三角形的判定直角三角形的判定 1 1(南通中考)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(A) A3，4，5 B2，3，4 C4，6，7 D5，11，12 2 2在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且 a 2b2c2，则下列说法正确的是(C) AC 是直角 BB 是直角 CA 是直角 DA 是锐角 3 3如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC 为(A) A直角三
14、角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D以上答案都不对 4 4木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为 60 cm，宽为 32 cm，对角线长为 68 cm，则这个桌面合格(填“合格” 或“不合格”) 5 5如图，在ABC 中，AB13，BC10，BC 边上的中线 AD12，则 AC13，SABC60 6 6如图，ABC 中，ADBC，垂足为 D.如果 AD6，BD9，CD4，那么BAC 是直角吗？为什么？ 解：BAC 是直角 理由：因为 ADBC， 所以ADBADC90. 所以 AD 2BD2AB2，AD2CD2AC2. 因为 AD6，BD9，CD4， 所以 AB 2117，AC252. 因为 BC
15、BDCD13， 所以 BC 2169. 所以 AB 2AC2BC2. 所以BAC90. 知识点知识点 2 2 勾股数勾股数 7 7下列一组数是勾股数的是(B) A6，7，8 B5，12，13 C0.3，0.4，0.5 D10，15，18 8 8有一组勾股数，知道其中的两个数分别是 17 和 8，则第三个数是 15 9 9将勾股数 3，4，5 扩大 2 倍，3 倍，4 倍，可以得到勾股数 6，8，10；9，12，15；12，16，20；，则我 们把 3，4，5 这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：答案不唯一，如 5， 12，13；7，24，25 等 1010 【
16、关注数学文化】阅读下面材料： 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三条边长分别为 a， b， c， 且满足 a 2b2c2， 那么这个三角形是直角三角形 能 够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数例如：3 24252，3，4，5 是一组勾股数 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果 m 表示大于 1 的整数，a2m，bm 21，cm21，那么 a，b，c 为勾股 数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数 解：正确理由： 因为 m 表示大于 1 的整数，a2m，bm 21，cm21， 所以 a，b，c 都是正整数，且 c 是最大边 因为(2m) 2(m21)2(m21)2
17、， 所以 a 2b2c2，即 a，b，c 为勾股数 当 m3 时，可得一组勾股数 6，8，10. 中档题中档题 1111满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是(D) Ab 2c2a2 Babc345 CCAB DABC345 1212有五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(C) A B C D 1313如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这 个三角形为(B) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D锐角三角形或钝角三角形 1414 【关注数学文化】勾股定理 a 2b2c2本
18、身就是一个关于 a，b，c 的方程，满足这个方程的正整数解(a，b，c) 通常叫做勾股数组毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3， 4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，.分析上面勾股数组可以发现：41(31)，122(51)，243(7 1)，分析上面规律，第 5 个勾股数组为(11，60，61) 1515(教材 P9 例题变式)如图，在四边形 ABDC 中，A90，AB4，AC3，CD13，BD12，求这个四边形的 面积 解：连接 BC. 在ABC 中，A90，AB4，AC3， 由勾股定理，得 BC 2AC2AB2324225，则 B
19、C5. 在BDC 中，CD13，BD12，BC5， BD 2BC212252169，CD2132169， 所以 BD 2BC2CD2. 所以BDC 为直角三角形，且CBD90. 所以四边形 ABDC 的面积为1 2ABAC 1 2BCBD 1 243 1 251236. 综合题综合题 1616如图，正方形 ABCD 是由 9 个边长为 1 的小正方形组成的，每个小正方形的顶点都叫格点，连接 AE，AF，则 EAF45 1717如图，在ABC 中，ABC90，AB6 cm，AD24 cm，BC 与 CD 的长度之和为 34 cm，其中点 C 是直线 l 上的一个动点，请你探究当点 C 离点 B
20、多远时，ACD 是以 DC 为斜边的直角三角形 解：因为 BC 与 CD 的长度之和为 34 cm， 所以设 BCx cm，则 CD(34x)cm. 因为在ABC 中，ABC90，AB6 cm， 所以 AC 2AB2BC262x2. 因为ACD 是以 DC 为斜边的直角三角形，AD24 cm， 所以 AC 2CD2AD2(34x)2242. 所以 6 2x2(34x)2242. 解得 x8， 即 BC8 cm. 答：当点 C 离点 B 8 cm 时，ACD 是以 DC 为斜边的直角三角形 3 3 勾股定理的应用勾股定理的应用 基础题基础题 知识点知识点 1 1 勾股定理在生活中的应用勾股定理在
21、生活中的应用 1 1如图，湖的两端有 A，B 两点，从与 BA 方向成直角的 BC 方向上的点 C 测得 CA130 m，CB120 m，则 AB 为(C) A30 m B40 m C50 m D60 m 2 2一个圆柱形的油桶高 120 cm，底面直径为 50 cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为(D) A5 cm B100 cm C120 cm D130 cm 3 3国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照如图所示的探宝图，他们从门口 A 处出发先往东走 8 km，又往北 走 2 km，遇到障碍后又往西走 3 km，再向北走到 6 km 处往东拐，仅走了 1 km，就找到了宝藏，则门口 A
22、 到藏宝点 B 的直线距离是(D) A20 km B14 km C11 km D10 km 4 4你听说过亡羊补牢的故事吧为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高 0.9 m，宽 1.2 m 的长方形栅栏门的相对角 顶点间加固一条木板，则这条木板至少需 1.5_m 长 5 5如图是一个滑梯示意图，若将滑梯 AC 水平放置，则刚好与 AB 一样长，已知滑梯的高度 CE3 m，CD1 m，求 滑道 AC 的长 解：设 AC 的长为 x m， 则 ABACx m. 因为 EBCD1 m， 所以 AE(x1)m. 在 RtAEC 中，AEC90， 由勾股定理得 AC 2CE2AE2， 即 x 232(x1)
23、2. 解得 x5. 所以滑道 AC 的长为 5 m. 6 6如图，滑竿在机械槽内运动，ACB 为直角，已知滑竿 AB 长 2.5 m，顶端 A 在 AC 上运动，量得滑竿下端 B 距 C 点的距离为 1.5 m，当端点 B 向右移动 0.5 m 时，求滑竿顶端 A 下滑多少米？ 解：因为 ABDE2.5， BC1.5，C90， 所以 AC 2AB2BC2 2.5 21.52 4. 所以 AC2. 因为 BD0.5，所以 CDCBBD2 m. 所以 CE 2DE2CD2 2.5 222 2.25. 所以 CE1.5. 所以 AEACEC0.5. 答：滑竿顶端 A 下滑了 0.5 m. 知识点知识
24、点 2 2 立体图形中两点之间的最短距离立体图形中两点之间的最短距离 7 7如图，若圆柱的底面周长是 30 cm，高是 40 cm，从圆柱底部 A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部 B 处作装饰，则这 条丝线的最小长度是(D) A80 cm B70 cm C60 cm D50 cm 8 8如图所示，长方体的高为 3 cm，底面是正方形，边长为 2 cm，现使一绳子从点 A 出发，沿长方体表面到达 C 处， 则绳子最短是 5cm. 9 9如图，有一个圆柱，它的高为 5 cm，底面半径为12 cm，在点 A 的一只蚂蚁想吃到与点 A 相对的点 B 处的食物， 爬行的最短路程为 13_cm 中档题中档题
25、1010如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿 AB 竖直插到水底，此时竹竿 AB 离岸边点 C 处的距离 CD 1.5 米，竹竿高出水面的部分 AD 长 0.5 米如果把竹竿的顶端 A 拉向岸边点 C 处，竿顶和岸边的水面刚好相齐， 那么水渠的深度 BD 为(A) A2 米 B2.5 米 C2.25 米 D3 米 1111(绍兴中考)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7 m，顶 端距离地面 2.4 m如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2 m，那么小巷的宽度为(C) A0.7 m B1.5 m C2.2 m D2
26、.4 m 1212如图，在高 3 m、坡面线段距离 AB 为 5 m 的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需 7m. 1313如图是延安某地一个农家的窑洞的洞门示意图，其上方为半圆形若长方形的对角线 AC2.5 m，AD1.5 m， 则洞口的面积为 4.5m 2(取 3) 14.14.(本课时 T8T8 变式)如图，长方体的长为 4 cm，宽为 2 cm，高为 5 cm，若用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠 绕一圈到达点 B，则所用细线的长度最短为 13 cm. 1515 【关注数学文化】 算法统宗记载古人丈量田地的诗： “昨日丈量地回，记得长步整三十广斜相并五十步， 不知几亩及分厘 ”其
27、大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为 30 步，宽和对角线之和为 50 步不 知该田有几亩？请帮他算一算，该田有 2 亩(1 亩240 平方步) 1616如图，有两根长杆隔河相对，一杆高 3 m，另一杆高 2 m，两杆相距 5 m两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部 各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上 E 处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞下来夺鱼，结果两只 鱼鹰同时叼住小鱼求两杆底部距小鱼的距离各是多少米(假设小鱼在此过程中保持不动) 解：由题意可得 AEDE， 所以 AB 2BE2EC2DC2. 设 BE 的长为 x m， 则 2 2x2(5x)232. 解得 x3，即
28、 BE3 m. 所以 EC532(m) 答：两杆杆底到 E 处的水平距离分别是 3 m 和 2 m. 综合题综合题 17.17.如图，一根长度为 50 cm 的木棒的两端系着一根长度为 70 cm 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉 直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？ 解：分两种情况(设 AB 为木棒)： 如图 1，当B90时，设 BCx cm， 则 AC(70 x)cm. 在 RtABC 中，AC 2AB2BC2， 即(70 x) 2502x2，解得 x120 7 ， 所以 BC120 7 cm，AC70BC370 7 cm. 如图 2，当C
29、90时， 根据勾 3 股 4 弦 5 可知这两段绳子的长度分别为 30 cm 和 40 cm. 答：该点将绳子分成长度分别为120 7 cm 和370 7 cm 的两段或 30 cm 和 40 cm 的两段 小专题小专题 1 1 利用勾股定理解决最短路径问题利用勾股定理解决最短路径问题 教材教材 P19P19 复习题复习题 T12T12 的变式与应用的变式与应用 几何体中最短路径基本模型如下：几何体中最短路径基本模型如下： 图例 圆柱 长 方 体 阶梯 问题 基本 思路 将立体图形展开成平面图形利用两点之间线段最短确定最短 路线构造直角三角形利用勾股定理求解. 【教材母题】【教材母题】 (教材
30、 P19 复习题 T12)如图，长方体的长为 15 cm，宽为 10 cm，高为 20 cm，点 B 离点 C 的距离是 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短路程是 25cm. 【思路点拨】【思路点拨】 由长方体的展开，分三种情况： 把长方体的右侧表面剪开与前面形成一个长方形，如图 1； 把长方体的上侧表面剪开与右面形成一个长方形，如图 2； 把长方体的上侧表面剪开与后面形成一个长方形，如图 3. 结合图形，运用勾股定理，分别计算出三种情况下线段 AB 的长，比较得出最短的一种情况，即为所求 【母题变式】【母题变式】 有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，
31、假设其长 AD80 cm，高 AB60 cm，水深 AE40 cm，在 水面上紧贴内壁 G 处有一块面包屑，G 在水面线 EF 上，且 EG60 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的 A 点沿鱼缸壁爬进鱼 缸内的 G 处吃面包屑 (1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注； (2)蚂蚁爬行的最短路线长为 100cm. 提示： 如图， 作点 A 关于 BC 的对称点 A， 连接 AG 交 BC 于点 Q， 连接 AQ， 蚂蚁沿着 AQG 的路线爬行时， 路程最短 1 1如图是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为 8 dm，3 dm，2 dm.A 和 B 是这个台
32、阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为(B) A15 dm B17 dm C20 dm D25 dm 2 2如图，已知圆柱底面的周长为 24 cm，高为 5 cm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金 属丝的周长最小为 26 cm. 3.3. (黄冈中考)如图，圆柱形玻璃杯高为 14 cm，底面周长为 32 cm，在杯内壁离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 20 cm(杯
33、壁厚度不计) 小专题小专题 2 2 利用勾股定理解决折叠问题利用勾股定理解决折叠问题 【例】【例】 (阜新中考改编)如图，将等腰直角三角形 ABC(B90)沿 EF 折叠，使点 A 落在 BC 边的中点 A1处，BC 8，求线段 AE 的长 【思路点拨】【思路点拨】 先求得 A1B 的长，由翻折的性质可知 AEA1E，设 AEA1Ex，则 BE8x，在 RtA1BE 中，由勾 股定理列出关于 x 的方程求解即可 【解答】 因为 A1是 BC 的中点，所以 A1B1 2BC4. 因为ABC 是等腰直角三角形，且B90， 所以 ABBC8. 由翻折的性质可知 AEA1E， 设 AEA1Ex，则 B
34、E8x. 在 RtA1BE 中，由勾股定理，得 A1E 2A 1B 2BE2，即 x242(8x)2. 解得 x5. 所以线段 AE 的长为 5. 解决折叠问题的关键是抓住对称性勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段长时，可利用 勾股定理直接计算，也可设未知数，由勾股定理列出方程，运用方程思想分析和解决问题 1 1如图，长方形 ABCD 的边 AD 沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 上的点 F 处，已知 AB6，ABF 的面积是 24，则 FC 等 于(B) A1 B2 C3 D4 2 2如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC5 cm，BC10 cm，将ABC 折叠，使点
35、 B 与点 A 重合，折痕为 DE， 则 CD 的长为(D) A.25 2 cm B.15 2 cm C.25 4 cm D.15 4 cm 3 3如图，在长方形纸片 ABCD 中，AB8 cm，把长方形纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 交 DC 于点 F.若 AF25 4 cm，则 AD 的长为(C) A4 cm B5 cm C6 cm D7 cm 4 4(铜仁中考)如图，在长方形 ABCD 中，BC6，CD3，将BCD 沿对角线 BD 翻折，点 C 落在点 C处，BC交 AD 于点 E，则线段 DE 的长为(B) A3 B.15 4 C5 D.15 2 5 5(郑州月考
36、)如图，把长方形纸片 ABCD 折叠，使其对角顶点 A 与 C 重合若长方形的长 BC 为 8，宽 AB 为 4，则 FC 的长度为 5 6 6如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的点 B处，点 A 的对应点 为点 A，且 BC3，求 AM 的长 解：连接 BM，BM. 因为四边形 ABCD 为正方形， 所以AD90. 由题意，得 DB936，BMBM. 设 AMx，则 DM9x. 由勾股定理，得 x 292BM2，(9x)262BM2， 所以 x 292(9x)262， 解得 x2， 即 AM 的长为 2. 回顾与思考回顾与思考(
37、 (一一) ) 勾股定理勾股定理 分点突破分点突破 知识点知识点 1 1 勾股定理及其验证勾股定理及其验证 1 1下列选项中，不能用来证明勾股定理的是(D) 2 2如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC6 cm，BC8 cm，现将ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为(B) A4 cm B5 cm C6 cm D10 cm 3 3如图，在ABC 中，ABAC13，BC10，点 D 为 BC 的中点，DEAB，垂足为 E，则 DE60 13 知识点知识点 2 2 直角三角形的判别直角三角形的判别 4 4在ABC 中，AB12 cm，AC9 cm，BC15 cm
38、，则 SABC等于(A) A54 cm 2 B108 cm2 C180 cm 2 D90 cm2 5 5下列说法中，错误的是(D) A在ABC 中，CAB，则ABC 为直角三角形 B在ABC 中，若ABC523，则ABC 为直角三角形 C在ABC 中，若 a3 5c，b 4 5c，则ABC 为直角三角形 D在ABC 中，若 abc324，则ABC 为直角三角形 6 6在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 ca2b，ca1 2b，则ABC 是什么特殊三角形？ 解：因为 ca2b，ca1 2b， 所以(ca)(ca)2b1 2b. 所以 c 2a2b2，即 a2b2c2. 所
39、以ABC 是C90的直角三角形 知识点知识点 3 3 勾股定理的应用勾股定理的应用 7 7一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点 200 m， 他在水中实际游了 520 m，那么该河的宽度为(C) A440 m B460 m C480 m D500 m 8 8如图，铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇公路 PQ 上 A 处距离 O 点 240 m，与 MN 这条铁路的距离是 120 m如果 火车行驶时，周围 200 m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路 MN 上沿 ON 方向以 72 km/h 的速度行驶时，A 处 受噪音影响的时间
40、是多少？ 解：以 A 为圆心，200 m 为半径画弧交 MN 于点 B，C，连接 AB，AC，作 ADMN，垂足为 D. 因为 AD120 m， 所以 BD 2AB2AD220021202. 所以 BD160 m. BC1602320(m)0.32(km)， t0.32723 60016(s) 答：A 处受噪音影响的时间是 16 s. 易错题集训易错题集训 9 9在 RtABC 中，a，b，c 分别是A，B，C 的对边，若A90，则(B) Aa 2b2c2 Bb2c2a2 Cc 2a2b2 Dbac 1010在ABC 中，AB41，AC15，BC 上的高 AD 长为 9，则ABC 的面积为 2
41、34 或 126 常考题型演练常考题型演练 1111如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A，B，C， D 的边长分别是 4，9，1，4，则最大正方形 E 的面积是(B) A18 B114 C194 D324 1212如图，在 RtABC 中，C90，BC6 cm，AC8 cm，按图中所示方法将BCD 沿 BD 折叠，使点 C 落在 AB 边的 C点，那么ADC的面积是 6_cm 2. 1313(西安碑林区月考)如图，在ABC 中，AB5，AC13，BC 边上的中线 AD6，则ABD 的面积是 15 1414如图所示的一块地，ADC90，AD
42、12 m，CD9 m，AB25 m，BC20 m，求这块地的面积 解：连接 AC，则在 RtADC 中， AC 2AD2CD212292225， 在ABC 中，AB 2252625， AC 2BC2225202625， 所以 AB 2AC2BC2.所以ACB90. 所以这块地的面积为 SABCSACD 1 2ACBC 1 2ADCD 1 21520 1 2129 96(m 2) 答：这块地的面积是 96 m 2. 1515如图，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子拉直垂到地面还多 1 米，同学们把绳子的末端拉开 5 米后，发现绳子末端刚好接触地面，求旗杆的
43、高度(旗杆顶端滑轮上方的部分忽 略不计) 解：设旗杆的高度 AC 为 x 米，则绳子 AB 的长度为(x1)米， 在 RtABC 中，根据勾股定理可得：x 252(x1)2， 解得 x12. 答：旗杆的高度为 12 米 核心素养专练核心素养专练 1616 【关注数学文化】(东营中考)我国古代有这样一道数学问题： “枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自 根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则 该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛 藤的最短长度是 25
44、 尺 1717 【分类讨论思想】(黑龙江中考)RtABC 中，ABC90，AB3，BC4，过点 B 的直线把ABC 分割成两个 三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 3.6 或 4.32 或 4.8 单元测试单元测试( (一一) ) 勾股定理勾股定理 ( (时间：时间：4040 分钟分钟 满分：满分：100100 分分) ) 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 3 3 分，共分，共 3030 分分) ) 1 1将直角三角形的三边长同时扩大 2 倍，得到的三角形是(B) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等腰三角形 2 2下列几组数中是勾股数的一组是(C)
45、A3，4，6 B1.5，2，2.5 C9，12，15 D6，8，13 3 3小明在一个长方形的水池里游泳，长方形的长、宽分别为 30 m，40 m，小明在水池中沿直线最远可以游(C) A30 m B40 m C50 m D60 m 4 4下列条件能判定ABC 为直角三角形的是(D) Aa1 3，b 1 4，c 1 5 BABC124 Ca3 2，b42，c52 DABC 5 5如图，校园内有两棵树，相距 8 m，一棵树高 13 m，另一棵树高 7 m，一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶 端，小鸟至少要飞(B) A9 m B10 m C11 m D12 m 6 6如图是台阶的示意图，已知每个台
46、阶的宽度都是 30 cm，每个台阶的高度都是 15 cm，连接 AB，则 AB 等于(A) A195 cm B200 cm C205 cm D210 cm 7 7如图，小方格都是边长为 1 的正方形，则ABC 中 BC 边上的高是(A) A1.4 B1.5 C1.6 D2 8 8小刚想测量教学楼的高度，他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了 2 m，当他把绳子的下端拉开 6 m 后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高度是_m(D) A10 B12 C14 D8 9 9如图，已知长方形 ABCD 中，AB3 cm，AD9 cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF
47、，则ABE 的面积为(B) A12 cm 2 B6 cm2 C4 cm2 D3 cm2 1010在ABC 中，AB15，AC13，高 AD12，则ABC 的周长是(C) A42 B32 C42 或 32 D37 或 33 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 4 4 分，共分，共 2424 分分) ) 1111若直角三角形的两直角边长为 a，b，且满足(a3) 2|b4|0，则该直角三角形的斜边长为 5 1212在 RtABC 中，C90，AC9，BC12，则点 C 到 AB 的距离是36 5 . 1313如图，长为 8 cm 的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C 向上拉升 3 cm 至 D 点，则橡皮 筋被拉长了 2cm. 1414如图 1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图” 此图案的示意图 如图 2，其中四边形 ABCD 和四边形 EFGH 都是正方形，ABF、BCG、CDH、DAE 是四个全等的直角三角形若 EF2，
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